g.furnari: Le coniche come funzioni complesse parte II La Parabola e l Infinito; gli ipercerchi

La differenza con i grafici dell’ellisse (oppure dell’iperbole se nel caso la parabola sia A

2

Y

2

 B X = C o A

2

X

2

 B Y = C) consiste nel fatto per cui soltanto una delle due variabili dovrà essere rappresentata da un’iperbole equilatera, mentre l’altra si muoverà su di una retta.

Naturalmente, valori complessi di A, B e C faranno ruotare la famiglia di rette passanti per il punto comune C/2B rispetto alla famiglia di iperboli equilatere passanti per il punto (C/2 A

2

)

1/2

e si può individuare un’eccentricità complessa anche per la parabola, anche qui con una componente scalare ed una angolare.

LA PARABOLA

CHE GIUNGE DALL'INFINITO

Ma vediamo adesso come percorrere, algebricamente, questo cammino attraverso l'infinito, per giungere alla parabola partendo da un'ellisse: il lettore potrà provare che si può procedere ugualmente partendo da un'iperbole.

Anzitutto, non "ingrandiamo" l'ellisse in tutte le direzioni (con semiassi a e b infiniti) mantenendo il centro nell'origine degli assi: l'ellisse si "perderebbe"

nell'infinito.

Fissiamo allora un pun- to nel finito, ponendo

x = x  a

in modo che il centro si sposti verso destra proprio del semiasse a e che nel- l'origine resti sempre fisso l'estremo dell'asse orizzon- tale dell'ellisse, quello che diventerà il vertice della parabola.

L'equazione diventa:

(xa)

2

/a

2

+ y

2

/b

2

= 1

x

2

2ax+a

2

+ a

2

y

2

/b

2

= a

2

x

2

2ax+ a

2

y

2

/b

2

= 0

ed infine

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A questo punto potremo variare a e b, ma nella particolare condizione di mantenere costante il valore

a/b

2

.

Questo vuol dire che facendo crescere

a

verso l'infinito anche

b

crescerà verso l'infinito, ma in maniera più lenta, in modo da mantenere costante

a/b

2

=k

. Si passa allora per

2x=(1/a)x

2

+ky

2

che per

a

che diventa infinito si trasforma finalmente nella notissima equazione della parabola ad asse orizzontale 2x=ky

2

.

Vediamo cosa è rimasto dell'ellisse nel suo viaggio verso l'infinito.

Uno dei due fuochi non si perde necessariamente anch'esso verso l'infinito; infatti quello più vicino al vertice avrà coordinata

a  a

2

 b

2

= kb

2

 k

2

b

4

b

2

= kb

2

b k

2

b

2

1



kb

2

 kb

2

.

Questa espressione, per valori di

b

che tendono ad infinito, diventa una differenza di infiniti che, rimanendo indeterminata, può assumere un qualsiasi valore, anche finito. In affetti sappiamo che la parabola possiede un fuoco benché con caratteristiche alquanto differenti rispetto a quelle dei due fuochi dell'ellisse originaria.

Per l'eccentricità avremo invece un valore ben definito:

a

2

b

2

/a = a

2

a/k /a = a 11/ak /a = 1  1 / ak che vale

1

per

a

infinito.

Quindi la parabola è a tutti gli effetti un'ellisse con la massima eccentricità possibile, se si ricorda che per l'ellisse l'eccentricità è sempre inferiore ad

1

ed è nulla quando diventa una circonferenza.

Se, come già detto, gli stessi risultati possono essere raggiunti partendo dall'iperbole, per giungere alla parabola attraversando l'infinito, forse sono più interessanti le seguenti considerazioni:

Cosa effettivamente vuol dire passare attraverso valori infiniti? Si potrà mai

"afferrare" questo concetto?

E, se per qualsiasi valore finito l'ellisse è matematicamente sempre un'ellisse, non si trasformerà dunque mai in una parabola? Inoltre, per valori matematicamente grandi, esiste ancora un rapporto con le misure ed il significato fisico? Se manteniamo costante il semiasse verticale ed aumentiamo quello orizzontale fino ad avere, per esempio x

2

/10

800

+ y

2

= 1, quale misura “realistica” ci fa distinguere

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Dopo mille metri avremo per y un valore di 1  10 metri, con una variazione inferiore a qualsiasi valore subatomico, dell’ordine della costante di Plank, e quindi al di là di ogni misurabilità anche teorica.

Inoltre, essendo a

2

=10

800

, da cui a=10

400

, per giungere a metà strada verso l'estremo dell'ellisse occorrerebbe impiegare circa 10

380

anni alla velocità della luce! Per la matematica questa è però un'ellisse come tutte le altre.

Mentre, invece, alla luce di questo, passare per l'infinito per giungere alla nostra parabola sembra del tutto inattuabile.

Eppure...

E' proprio questa, la matematica ... nuda. O è filosofia?

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POTENZE E RADICI DI NUMERI COMPLESSI

Riesaminiamo qui le operazioni fondamentali sui numeri complessi, e le loro proprietà, fino a giungere all’espressione utile per il calcolo delle radici quadrate.

POTENZE DI

NUMERI COMPLESSI

Supponiamo qui note le semplici regole che derivano dalla moltiplicazione dei numeri complessi. Come diretta conseguenza, indicando con A il numero complesso da elevare e potenza e con C il risultato dell’operazione, ed inoltre con  l’argomento (angolo rispetto all’asse reale del numero complesso interpretato come un vettore, oppure visto in una rappresentazione polare) di A , si ricava subito che:

1) elevando a potenza un numero complesso si ottiene un secondo numero complesso c he ha per modulo il modulo elevato a potenza e per argomento il prodotto dell’argomento per l’esponente cui si eleva a potenza.

Ovvero:

C = A

n

C =(A )

n

g

=n*

ed inversamente per le estrazioni di radici:

C =

n

A C =

n

A 

= n

.

Si vede subito che

a) elevando a potenza oppure estraendo una radice da un numero reale si resta sempre nel campo reale.

b) estraendo la radice di un numero complesso si resta sempre nel campo complesso.

Infatti, partendo da 

π 0 , 

= 

/

n non sarà mai nullo per n finito.

c) elevando a potenza un numero complesso si può invece ottenere un valore reale.

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

equivale al teorema di De Moavre allorquando si usi la notazione polare per rappresentare i numeri complessi:

[r(cos  + j sin )]

p

= r

p

(cos p  + j sin p )

dove r è il modulo e (cos

a

+ j sin

a

) di modulo 1 è l’anomalia che, interpretata vettorialmente, corrisponde ad un versore.

CASI PARTICOLARI: QUADRATO COMPLESSO

Trattiamo qui brevemente il quadrato di un numero complesso facendo riferimento alla figura, e ponendo che sia:

A = a + b j,

a

= arctan (b/a), ovvero tan  = b/a

da cui C = A

2

= (a + b j )(a + b j ) = a

2

+ 2 a b j – b

2

= ( a

2

– b

2

) + 2 a b j.

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Da questo semplice risultato ricaviamo delle osservazioni per il modulo e per l’anomalia:

C = [ ( a

2

– b

2

) + 4 a

2

b

2

]

½

= [ a

4

– 2 a

2

b

2

+ b

4

+ 4 a

2

b

2

]

½

=

= [ a

4

+ 2 a

2

b

2

+ b

4

]

½

= [ ( a

2

– b

2

)

2

]

½

= (A )

2

;

g

= arctan ( 2ab / ( a

2

– b

2

)) = arctan [ (2ab / a

2

)/( 1– b

2

/ a

2

) ]

e quindi

tan

g

= 2 tan  / (1 - tan

2

), da cui

g = 2  .

e questo conferma la regola generale 1) che qui diventa:

elevando al quadrato un numero complesso, si eleva al quadrato il modulo e si raddoppia l’anomalia.

CASI PARTICOLARI: RADICE QUADRATA COMPLESSA

Anche nel caso della radice quadrata poniamo che sia:

A = a + b j = arctan (b/a) ovvero tan  = b/a

ma in questo caso non abbiamo delle operazioni aritmetiche da eseguire direttamente sui numeri complessi, per cui converrà ricercare algebricamente un numero complesso

C = m + n j = A

tale che

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Ne segue

(m + n j )(m + n j ) = m

2

+ 2 n m j – n

2

= ( m

2

– n

2

) + 2 n m j

per cui

a = m

2

– n

2

(1)

b = 2 n m (2)

sostituendo m

2

ricavato dalla (1) nella (2), espressa come b

2

= 4 m

2

n

2

:

4 n

2

( a + n

2

) = b

2

, 4 n

4

+ 4 a n

2

- b

2

= 0 [ k = n

2

, k  0]

da cui 4 k

2

+ 4 a k - b

2

= 0 con radici:

k = (  2a  4 a

2

+ 4 b

2

)/4

Considerando che deve essere k  0, si sceglierà la sola radice

k = ( a

2

+ b

2

 a )/2

da cui alla fine

n

=  a

2

+ b

2

 a

2

e dopo la semplice sostituzione di n nella (1) si ricava in breve

m

=  a

2

+ b

2

+ a

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