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LE CONICHE (Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole)

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(1)

UNI VERSI TÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

SCUOLA DI SPECI ALI ZZAZI ON E PER L I N SEGN AMEN TO SECON DARI O _____________

VIII Ciclo - Classe di Specializzazione A049

PERCORSO DIDATTICO

LE CONI CHE

(Cir conf er enza, ellisse, par abola, iper bole)

Caterina Tarantini

(2)

CENNI STORICI:

Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Sembra che il primo matematico ad occuparsi delle sezioni coniche sia stato Menecmo (375-325 a.C), un matematico greco discepolo di Platone e di Eudosso e maestro di Alessandro Magno. Esse furono scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi di

trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio. Le coniche sono curve piane ottenute intersecando un cono circolare retto con un piano (deriva appunto da qui il nome coniche). Inizialmente una sezione conica era definita come l int er sezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice del cono: si ot t iene inf at t i una par abola se l angolo al ver t ice è r et t o, un ellisse se è acut o, un iper bole se è ot t uso.

(3)

Successivamente Apollonio di Perga (c. 262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, consolidò ed approfondì i precedenti risultati nell oper a Le Coniche, la cui importanza, paragonabile agli Elementi di Euclide per la geometria sintetica, non favorì ulteriori sviluppi nei secoli a seguire, almeno dal punto di vista puramente geometrico.

Degli ot t o libr i che componevano l oper a, solo t r e sono giunt i f ino a noi nella ver sione or iginale, degli alt r i quat t r o ci sono per venut e le t r aduzioni dall ar abo e uno è andat o perduto. Apollonio fu anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole alle coniche. Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze car at t er ist iche di ciascuna cur va. Ellisse vuol dir e mancanza , iper bole signif ica

"andare oltre", e parabola, "mettere accanto". A differenza di quanto si riteneva in precedenza, Apollonio dimostrò che non era necessario prendere sezioni

perpendicolari a un elemento del cono, e che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicement e var iando l inclinazione del piano di intersezione. Ciò rappresentava un notevole passo in avanti verso la visione unitaria dei tre tipi di curve. Una seconda importante generalizzazione si ebbe quando

Apollonio dimostrò che non era necessario che il cono f osse r et t o (ossia, avent e l asse perpendicolare alla base), ma che poteva benissimo essere anche un cono obliquo.

Infine, Apollonio dimostrò che, sostituendo il cono a una falda con il cono a doppia falda, parte di spazio racchiusa dalla superficie conica generata dalla rotazione completa di una retta r intorno ad un'altra retta s (asse di rotazione) incidente ad r(generatrice del cono) si potevano ottenere tutti i tipi di sezioni coniche da un solo cono al var iar e dell inclinazione del piano int er secante il cono. L'angolo formato da r con s (minore di un angolo retto) è detto semiapertura del cono. Considerando un piano gener ico che int er seca l asse di r ot azione non passant e per il ver t ice del cono, indicando con l'angolo acuto che il piano forma con l'asse del cono a seconda di come var ia l angolo si ottengono curve diverse.

(4)

I nolt r e diede un gr ande cont r ibut o all ast r onomia gr eca, applicando modelli geomet r ici al moto dei pianeti.

DESTINATARI:

Q uest o per cor so didat t ico è r ivolt o ad una classe t er za di un liceo scient if ico sper iment ale PNI dove le or e set t imanali di mat emat ica pr evist e sono 5 e comprendono anche il laboratorio di informatica.

LE CONICHE NEI PROGRAMMI MINISTERIALI:

L insegnament o della mat emat ica nei licei di ordinament o si basa sui pr ogr ammi minist er iali r edat t i nel 1952, che r ipr endono sost anzialment e i pr ogr ammi della

90 : ellisse

: parabola : iperbole

(5)

Rif or ma Gent ile, r isalent e al 1923. Nell at t esa di una r if or ma della scuola secondar ia super ior e, molt i licei hanno adot t at o pr oget t i di sper iment azione, t r a cui vi è il Piano N azionale per l I nf ormat ica (PN I ). I suoi pr ogr ammi sono st at i elabor at i nel 1985, con lo scopo di int r odur r e l inf or mat ica nelle scuole secondar ie super ior i. Nei pr ogr ammi minist er iali PNI di mat emat ica e f isica per il liceo scient if ico, l ar goment o delle coniche è inserito al terzo anno nel t ema int it olat o Geomet r ia al punt o 1.a:

Cir conf er enza, ellisse, par abola, iper bole nel piano car t esiano .

Si pr opone di int r odur r e le coniche pr ima come luoghi geomet rici e successivament e di scrivere le equazioni con rif eriment o a sist emi di assi cartesiani, svolt i in modo opportuno.

Le abilit à r ichiest e, in quest o ambit o, r iguar dano la r isoluzione analit ica di pr oblemi sulle coniche, la loro rappresentazione analitica e le proprietà geometrica del luogo.

Infine si richiede di acquisire la capacità di realizzare costruzioni di luoghi geometrici mediante strumenti diversi.

I successivi pr ogr ammi elabor at i dalla Commissione Brocca negli anni 1991 e 1992,che non hanno modif icat o i pr ogr ammi PNI di mat emat ica e f isica, sono st at i adot t at i dai var i ist it ut i di ist r uzione secondar ia come pr oget t i di sper iment azione su pr opost a dello stesso Ministero della Pubblica Istruzione.

Tr a il 2000 e il 2004 si collocano invece le pr opost e di r if or ma dei cur r icoli di Mat emat ica da par t e dell UMI , Unione Mat emat ica I t aliana; il cui obiet t ivo er a quello di r innovar e i pr ogr ammi alla luce dei cambiament i int er venut i nella societ à e nelle t ecnologie. Si voleva pr opor r e, inf at t i, una mat emat ica per il cit t adino , cioè un cor pus di conoscenze e abilit à f ondament ali da acquisir e indipendent ement e dalla var iet à degli indir izzi della scuola secondar ia, per ché r it enut e necessar ie a t ut t i color o che ent r ano nell at t uale societ à.

Le conoscenze specif iche per l ar goment o in quest ione (pr opost e da Matematica 2003) sono:

Circonferenza, parabola, ellisse, iperbole come luoghi di punti e come sezioni coniche.

(6)

Invece, per quanto riguarda le abilità:

Realizzare semplici costruzioni di luoghi geometrici (Laboratorio di matematica).

Risolver e semplici pr oblemi r iguar dant i r et t e, cir conf er enze, par abole, ellisse, iperbole.

Occor r e sot t olinear e che quest e pr opost e er ano st at e pensat e inizialment e sulla base della Legge quadr o di r ior dino dei cicli scolast ici, Legge n. 30/ 2000, del Minist r o L.

Ber linguer ; quest ult ima per ò è st at a poi abr ogat a nella successiva legislat ur a dal Minist r o L. Mor at t i. I nolt r e analizzando gli OSA (Obiet t ivi Specif ici di Apprendimento) del Liceo Scient if ico, per quant o r iguar da l ar goment o delle coniche, esso è collocat o al secondo biennio e sono inser it i all int er no del t ema Geomet r ia (quest i obiet t ivi sono simili a quelli dell UMI ). Si r ichiede che gli st udent i sappiano:

Risolver e analit icament e pr oblemi r iguar dant i r et t a,cir conf er enza ed alt r e coniche;

Rappr esent ar e analit icament e luoghi di punt i: r iconoscer e dagli aspet t i f or mali delle equazioni le proprietà geometriche del luogo e viceversa ;

Conoscere i luoghi di punti e sezioni coniche.

TEMPI DI SVOLGIMENTO:

1. La circonferenza 10 ore (3 di spiegazione, 2 di laboratorio,2 di esercizi in classe e 3 di verifiche orali e scritte)

2. l ellisse 11 or e (4 di spiegazione, 2 di labor at or io, 2 di eser cizi in classe e 3 di verifica)

3. la par abola 12 or e (4 di spiegazione, 3 di labor at or io, 2 di eser cizi in classe e 3 di verifica)

4. l iper bole 12 or e (4 di spiegazione, 3 di labor at orio, 2 di esercizi in classe e 3 di verifica)

PREREQUISITI:

Lo studente deve possedere le seguenti nozioni:

Geometria sintetica;

(7)

Elementi fondamentali del piano cartesiano, retta e fasci di rette

Simmetria assiale, simmetria centrale, traslazione, rotazione e rototraslazione;

Concetto di funzione e di grafico di funzione;

Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; equazioni parametriche;

Risoluzione di sistemi di primo e di secondo grado;

Conoscenze minime dei sof t war e didat t ici Cabr ì-géomètre e Der ive suf f icient e per le applicazioni in laboratorio di informatica.

ACCERTAMEN TO DEI PREREQ UI SI TI : Sar à oppor t uno per mezzo di lezioni dialogiche r ichiamar e i concet t i e i met odi r isolut ivi acquisit i nel biennio pr ecedent e nel momento in cui questi serviranno per introdurre e spiegare i nuovi argomenti.

Si pr ovveder à a svolger e in classe eser cizi di r ipasso, per t ant o gli st udent i ver r anno chiamat i alla lavagna per dimost r ar e le conoscenze su t ali pr er equisit i. I nolt r e verranno assegnati esercizi per casa.

OBIETTIVI GENERALI:

Acquisir e le conoscenze, le compet enze e le capacit à pr evist e dal per cor so didattico.

Acquisir e consapevolezza dell ut ilit à logica delle pr opr iet à degli ar goment i trattati.

Condur r e all uso del lessico e del f or malismo gr af ico appropriato.

Imparare ad operare con la simbologia opportuna.

Sviluppar e la capacit à di ut ilizzar e met odi, st r ument i e modelli mat emat ici in situazioni diverse.

Cont r ibuir e a r ender e gli st udent i in gr ado di af f r ont ar e sit uazioni pr oblemat iche di var ia nat ur a avvalendosi dei modelli mat emat ici più adat t i alla loro rappresentazione.

Sviluppar e l int er esse per gli aspet t i st or ico-epistemologici della matematica.

(8)

L uso di sof t war e, ser vir à ad abit uar e l allievo ad oper ar e consapevolment e all int er no di diver si sistemi, dotati di loro regole formali e limiti operativi.

OBIETTIVI TRASVERSALI :

Sviluppar e at t it udine alla comunicazione ed ai r appor t i int er per sonali, favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi stessi.

Pr oseguir e ed ampliar e il pr ocesso di pr epar azione scient if ica e cult ur ale degli studenti.

Cont r ibuir e a sviluppar e lo spir it o cr it ico e l at t it udine a r iesaminar e criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.

Contribuire a sviluppare capacità logiche e argomentative.

Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.

OBIETTIVI SPECIFICI :

Conoscenze:

circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole come luogo di punti

r appr esent azione analit ica delle coniche in un ben pr eciso sist ema di r iferimento cartesiano (equazione canonica, significato dei coefficienti) element i car at t er izzant i e pr opr iet à (eccent r icit à, assi di simmet r ia, intersezioni con gli assi cartesiani, asintoti)

Posizione di una retta rispetto ad una conica Rette tangenti ad una conica

Coniche traslate

Competenze:

Saper ut ilizzar e st r ument i inf or mat ici per la cost r uzione delle coniche come luoghi geometrici

Saper r appr esent ar e analit icament e le coniche: r iconoscer e dagli aspet t i f or mali dell equazione le pr opr iet à geomet r iche del luogo e viceversa

Saper risolvere analiticamente problemi riguardanti le coniche Capacità:

saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere problemi saper r isolver e pr oblemi di geomet r ia dando un int er pr et azione analit ica

(9)

saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite in contesti diversi.

METODOLOGIE DIDATTICHE

Per l appr endiment o dei cont enut i e per per seguir e gli obiet t ivi espost i si f ar à uso di lezioni sia f r ont ali che dialogat e, con il sussidio del libr o di t est o e di f ot ocopie contenenti esercizi svolti e approfondimenti.

Ver r anno assegnat i compit i per casa, cer cando di dedicar e sempr e una par t e della lezione alla correzione di questi alla lavagna sia da parte del docente, che da parte dei r agazzi. (I compit i ver r anno comunque cont r ollat i dal docent e, per assicur ar si che i ragazzi li svolgano).

Verranno discussi e confrontati in classe gli esercizi e i problemi che hanno creato più dif f icolt à negli allievi e pr oblemi. I nf ine si svolger anno at t ivit à di labor at orio informatico utilizzando software didattici come Cabri-géomètre e Derive.

CON TROLLO DELL APPREN DI MEN TO:

La valutazione formativa si esegue tramite semplici verifiche orali, esercitazioni in classe, correzione degli esercizi assegnati per casa e valutazione delle relazioni di laboratorio.

Le verifiche orali e gli esercizi alla lavagna permettono inoltre di valutare

l acquisizione di pr opr iet à di linguaggio degli alunni, e il lor o cr it er io di scelt a di una strategia risolutiva. La verifica sommativa, nella quale vengono proposti esercizi simili a quelli esaminati in classe, ma non solo, permette di verificare il livello di

assimilazione degli ar goment i t r at t at i e l aut onomia nella r isoluzione degli eser cizi.

GRIGLIA PER LA VALUTAZIONE:

La valutazione della verifica sommativa è determinata in base al punteggio attribuito ad ogni esercizio che ne fa parte. Le differenze di punteggio attribuite agli esercizi rispecchiano le relative differenze a livello di conoscenze, competenze e capacità r ichiest e. Nell at t ribuzione del punteggio si tiene conto dei seguenti indicatori, sugger it i dal Minist er o Pubblica dell I st r uzione( anzit ut t o in r if er iment o alla pr ova scr it t a dell esame di st at o):

i. Conoscenze specifiche.

ii. Compet enze nell applicar e le pr ocedur e ed i concetti acquisiti.

iii. Capacità logico e argomentative.

iv. Completezza della risoluzione.

v. Cor r et t ezza della r isoluzione e dell esposizione.

(10)

Nel caso di errore nello svolgimento degli esercizi si attribuisce solo parte del punteggio completo previsto per essi.

GRIGLIA DI VALUTAZIONE (AD USO DEL DOCENTE)

Punteggio grezzo (totale 40)

Voto in decimi (ottenuto con la

proporzione)

Voto in decimi (una proposta)

0 1 2 3 4

0 - 1

5 6 7 8

1 - 2

9 10 11 12

2 - 3

3

13 14 15 16

3 - 4

17

4

18 19 20

4 - 5

21 22

5

23 24

5 - 6

25 26 27

6

28

6 - 7

29 30 31

7

32

7 - 8

33 8 - 9

8

(11)

34 35 36 37 38 39

9

40

9 - 10

10

STRUMENTI UTILIZZATI:

Libro di testo Lavagna e gessi

Calcolatrice scientifica Fotocopie

Software didattici come Cabri-géomètre e Derive

UNI TA DI DATTI CA 1 : LA CI RCONFERENZA Contenuti

1. LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO 2. EQUAZIONE CANONICA DELLA CIRCONFERENZA

3. CONDIZIONI PERCHÉ UN EQUAZIONE RAPPRESENTI UNA CIRCONFERENZA

4. DALL EQ UAZI ONE AL GRAFI CO 5. ALCUNI CASI PARTICOLARI

6. POSIZIONI RECIPROCHE RETTA CIRCONFERENZA 7. FASCI DI CIRCONFERENZE.

8. APPLICAZIONI ALLA FISICA.

1.1 LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO

DEFI NI ZI ONE: Assegnat o nel piano un punt o C, det t o cent ro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C.

(12)

Consider at a una cir conf er enza di cent r o C e r aggio r sappiamo che per ogni suo punt o P vale la r elazione PC r, dove r R 0 . I n not azione insiemist ica:

0

, PC piano, del

punti P r r

1.2 EQUAZIONE CANONICA DELLA CIRCONFERENZA.

Det erminiamo l equazione di una generica circonf erenza con il cent ro coincident e con l origine degli assi.

O

1 1

C O(0,0): la r elazione PC r, t enendo cont o della f or mula della dist anza t r a due punti, diventa:

x 0 2 y 0 2 r ed elevando al quadrato

2 2

2 y r

x

Det erminiamo l equazione di una generica circonf erenza con il cent ro C , con , 0 e raggio r.

O 1 1

Un gener ico punt o P(x,y) appar t iene alla cir conf er enza se solo se PC r La relazione precedente in questo caso diventa:

r y

x 2 2

da cui elevando al quadrato

(13)

2 2

2 y r

x Svolgendo i calcoli si ottiene:

0 2

2 2 2 2

2

2 y x y r

x ponendo

2 2 2

2 2

r c

b a

l equazione divent a

2 0

2 y ax by c

x (1)

Che prende il nome di equazione in forma normale o canonica (equazione di secondo grado in x e y in cui manca il termine con il prodotto xy e i coefficiente di x e di y al quadrato sono uguali fra loro).

Osservazioni:

l'equazione di una curva dipende dal sistema di riferimento scelto

nel caso in cui l asse delle ascisse passi per il cent r o della cir conf er enza e l' or igine O sia post a nel cent r o st esso, si ha solt ant o il r aggio della circonferenza come parametro.

Non è essenziale che x2e y abbiano coef f icient e uguale a 1, per ché se essi 2 valesser o per esempio n, (con n diver so da uno e non nullo) bast er ebbe divider e t ut t i i t er mini dell equazione per n.

Per t ant o l equazione l equazione che si deduce dalla (1) molt iplicando per un numero k 0 cioè l equazione kx2 ky2 kax kby kc 0 si chiama equazione generale della circonferenza.

1.3 CONDIZIONE PERCHÉ UN EQ UAZI ON E DEL TIPO x 2 y2 ax by c 0 RAPPRESENTI UNA CIRCONFERENZA.

Esempio: x2 y2 4 0 pur essendo un equazione del t ipo che abbiamo descr it t o, non è l equazione di una cir conf er enza per ché non ha soluzioni r eali

2 4

2 y

x

questo significa che nessun punto del piano ha coordinate (x,y) che soddisfino l equazione.

(14)

L equazione ot t enut a, t enendo cont o della f or ma x 2 y 2 r2e delle r elazioni

2 2 2

2 2

r c

b a

, rappresenta una circonferenza di centro

2 2

b

C a; e raggio

b c r a

2 2

2 2

L equazione x2 y2 ax by c 0 rappresenta una circonferenza del piano

soltanto quando 0

2 2

2 2

b c

a . Se c< 0 allora la condizione è automaticamente soddisfatta.

In tal caso le coordinate del centro sono 2 2 b C a;

e il raggio vale b c

r a

2 2

2 2

Possiamo inoltre dire che:

se 0

2 2

2 2

b c a

la cir conf er enza ha r aggio nullo e l equazione divent a 0 2 2

2

2 b

a y

x ; cioè

l equazione è soddisf at t a solo dal cent r o e la cir conf er enza degenera nel suo cent r o.

se 0

2 2

2 2

b c

a allora la (1) non rappresenta alcuna circonferenza.

Esempio:

una equazione del t ipo 4x 2 4y2 7x 12y 28 0 rappresent a una circonferenza?

Dividendo ent r ambi i membr i dell equazione per 4 e ver if icando che 2 0

2

2 2

b c

a si ot t iene l equazione di una cir conf er enza in f or ma canonica.

In gener ale: l equazione nella f or ma kx2 ky2 kax kby kc 0 è detta equazione cartesiana generale della circonferenza.

La forma canonica si ottiene dunque dividendo per k.

Riassumendo: L equazione in f or ma canonica di una cir conf er enza

2 0

2 y ax by c

x :

(15)

è di secondo grado in x e y

contiene sempre i termini x2 e y2 con coefficienti uguali a 1 manca il termine misto

i coefficienti a e b dei termini di primo grado individuano la posizione del centro e possono essere nulli.

Esercizio

Indicare quale fra le seguenti equazioni è quella di una circonferenza:

1. x 2 y2 x y 5 0 2. 2x 2 2y2 3x 5y 6 0

1.Poiché a=-1, b=1, c=5, otteniamo

4 0 5 18 4 1 4 5 1 2 1 2

1 2 2

il valor e ot t enut o è negat ivo,quindi l equazione non è quella di una cir conf er enza.

2.Dividiamo ambo i membri per 2:

0 2 3

5 2

2 3

2 y x y

x

sostituiamo 2 a 3,

2

b 5, c 3, in a 2 b 2 c 2

2 e otteniamo:

0 4 3

5 4

3 2 2

cer t ament e quest espr essione è posit iva, quindi l equazione dat a è l equazione di una circonferenza.

1. 4 DALL EQ UAZI ON E AL GRAFICO

Per via geomet r ica ( r et t e par allele all asse y e secant i la cir conf er enza) o per via algebr ica ( assegnar e un valor e alla x e t r ovar e due valor i alla y) ci most r er à che la circonferenza non è una funzione.

Esempio: si pot r à veder e, invece, che l equazione y 1 x2 rappresenta una funzione.

I nf at t i l equazione ha senso solo se 1 x2 0 1 x 1; quindi il dominio è D=[ -1;1].

Inoltre x D vale y 0. Risolvendo il sist ema

0

1 2

2

y

x

y si ot t iene

0

2 1

2

y y

x . La

2 1

2 y

x r appr esent a una cir conf er enza di cent r o in (0,0) e r aggio 1, ma t enendo cont o che y 0si può concluder e che il gr af ico della f unzione è la semicir conf er enza indicata in figura e il codominio è C =[0;1]

(16)

1.5 ALCUNI CASI PARTICOLARI

Vediamo cosa accade var iando i par amet r i a,b,c dell equazione della cir conf er enza.

Tenendo conto che x2 y2 ax by c 0 e che

2 2

b

C a; si ottiene:

1. Se a = 0, l ascissa del cent r o vale zer o e dunque il centro della circonferenza appart iene all asse y

1 1

2. Se b = 0, l or dinat a del cent r o vale zer o e dunque il centro della circonferenza appart iene all asse delle x.

1 1

(17)

3. Se c = 0, l or igine degli assi soddisf a l equazione, quindi la circonferenza passa per questo punto

1 1

4. Se a = 0 c = 0 la circonf erenza ha il cent ro sull asse y e passa per l origine degli assi

1 1

5. Se b = 0 c = 0 la circonf erenza ha il cent ro sull asse x e passa per l origine degli assi

1 1

6. Se a = 0 b = 0 si r it r ova la cir conf er enza che ha il cent ro nell origine degli assi Se anche c = 0 si ritrova la circonferenza degenere nel suo centro.

1 1

(18)

O

P P'

P''

Esercizi:

1.Rappresentare graficamente le seguenti circonferenze:

2 5

2 y

x

2 0

2 y x

x

OSSERVAZIONI GEOMETRICHE SULLA CIRCONFERENZA:

Consideriamo una qualsiasi retta s passante per il centro di una circonferenza di centro C e raggio r e un suo generico punto P.

Consider iamo il simmet r ico P di P r ispet t o la r et t a s e il simmet r ico P di P r ispet t o il cent r o O.

Osserviamo che:

Ogni ret t a passant e per il cent ro della circonf erenza è un suo asse di simmet ria e il centro è centro di simmetria.

1.6 POSIZIONI RECIPROCHE RETTA CIRCONFERENZA.

Una retta può essere secante, tangente, esterna a seconda che la sua distanza dal centro sia minore, uguale o maggiore dal raggio. Possiamo anche dire che una retta ed una circonferenza sono:

secanti se retta e circonferenza hanno due punti d'intersezione. In questo caso la distanza dal centro è minore del raggio: Dc<r

tangenti se retta e circonferenza hanno un sol punto d'intersezione. In questo caso la distanza dal centro è uguale al raggio: Dc =r

esterne se retta e circonferenza non hanno alcun punto d'intersezione. In questo caso la distanza dal centro è maggiore del raggio: Dc >r

(19)

Sf r ut t ando alt r e consider azioni di geomet r ia sint et ica si può r isolver e il pr oblema con un primo metodo valido solo per la circonferenza:

I metodo:

consider ando la cir conf er enza di equazione x2 y2 ax by c 0e la r et t a di equazione a 1x b1y c 0 conf r ont ar e la dist anza d del cent r o dalla r et t a r ispet t o al r aggio r della cir conf er enza (d r o d r) e sf r ut t ar e la f or mula della dist anza di un punto da una retta.

2 1 2 1

1 0 1 0 1

0 0

1 1

1

) , (

0 :

b a

c y b x d a

y x P punto

c y b x a s retta

Si possono presentare tre casi:

1.

d r

, allora la retta è secante e ci sono due punti d int er sezione A, B

2.

d r

, allora la retta è tangente alla circonferenza.

3.

d r

, allora la retta è esterna e non ci sono punti di intersezione.

II metodo:

(20)

Analiticamente le coordinate dei punti d'intersezione sono la soluzione del sistema formato dalle equazioni delle due curve e cioè

Tale sistema, di secondo grado, si può risolvere con il metodo di sostituzione ed ha come equazione risolvente la seguente equazione di secondo grado

possiamo allora dire che.

1. la r et t a e la cir conf er enza sono secanti se il sist ema ammet t e due soluzioni reali e distinte, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è positivo 2. la r et t a e la cir conf er enza sono tangenti se il sist ema ammet t e due soluzioni

reali e coincidenti, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è nullo 3. la r et t a e la cir conf er enza sono est erne se il sist ema non ammet t e soluzioni

reali, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è negativo

Osservazione: Consider ando l equazione nella f or ma esplicit a: y= mx+q abbiamo escluso il caso in cui la retta sia parallela all asse y. Vedr emo t r a br eve quali conseguenze può aver e l esclusione delle r et t e par allele all asse y.

Esercizio:

Data la circonferenza di equazione

determina la posizione della seguente rette rispetto ad essa.

(21)

0 29 4 3x y

primo modo

Calcoliamo la distanza della retta dal centro della circonferenza: se la distanza dal centro è minore od uguale al raggio, occorre comunque risolvere il sistema tra le due equazioni per determinarne le coordinate dei punti d'intersezioni

Calcoliamo centro e raggio della circonferenza utilizzando le solite formule

La distanza della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio.

La retta è esterna alla circonferenza.

secondo modo

(22)

C

P

C P

C P Impostiamo il sistema tra equazione della circonferenza ed equazione della retta.

Il discriminante dell'equazione risolvente il sistema è negativo.

La retta è esterna alla circonferenza.

1. 7 LE RETTE TAN GEN TI AD UN A CI RCON FEREN ZA E DETERMI N ARE LE LORO EQUAZIONI

Consider iamo adesso il pr oblema di t r ovar e le t angent i condot t e da un punt o ad una circonferenza . Sia g una circonferenza di equazione x 2 y2 ax by c 0 e sia

P(x0, y0 ) un punt o del piano. Consider iamo gli event uali punt i di int er sezione t r a le rette del fascio di centro P e la circonferenza data. Si possono presentare tre casi:

1. P è interno a g :ogni retta condotta per P è secante g

2. P appartiene a g: esiste una e una sola retta per P e tangente a g;

3. P è esterno a g: è possibile condurre per P due rette tangenti a g;

(23)

Dato un punto P si considera il fascio proprio di rette per quel punto: tra queste rette si cer cano quelle t angent i. I n pr imo luogo dunque si dovr à r icor dar e l equazione del f ascio pr opr io di r et t e passant i per il punt o P(x0,y0):

) (

0 )

( )

( 0 0 0 0 0

0 m x x y y m x x mx y y mx formaimplicita

y

y e la

f or mula della dist anza di un punt o P(x0;y0) da una r et t a di equazione a x+b y+c =0:

2 2 '

0 0

' ' ' '

b a

c y b x d a

I met odo: si impone che la dist anza t r a il cent r o della cir conf er enza e la gener ica retta del fascio sia proprio uguale al raggio.

I I met odo: si met t e ad int er sezione la gener ica r et t a del f ascio con l equazione della cir conf er enza ot t enendo una equazione r isolvent e di I I gr ado il cui

si pone, per la condizione di tangenza, uguale a 0 ricavando i valori di m da sostituire nel fascio:

0 ) (

2 2

0 0

c by ax y x

x x m y y

ESERCIZIO

Data la circonferenza x2 y2 16 determinare le rette tangenti passanti per il A(- 4,5) punto utilizzando il secondo metodo.

0 9 40 16

5 4 2 1

5 4

0 16 8

40 10

16 25

5 4 16

) 4 ( 5

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

m m

m mx x

m

m mx y

x m m

mx m

x m x

m mx y y

x

x m y

40 9

0 9 40 0

9 40 16

1 5 4 4 0

2 2 2

2

m

m m

m m m m

OSSERVAZIONE: il punt o è est er no alla cir conf er enza, quindi ci aspet t iamo di t r ovar e due t angent i ma dall equazione r isolvent e che è di pr imo grado si è ricavato un solo valor e di m. Q uest o accade per ché l alt r a t angent e è par allela all asse y e quindi il valore del coefficiente angolare non è finito.

1.8 FASCI DI CIRCONFERENZE.

(24)

Siano C1: x2 y2 a1x b1y c1 0 e C2: x2 y2 a2x b2y c2 0 due circonferenze dist int e. Consider iamo l equazione ot t enut a come combinazione linear e delle equazioni

di C1, C2 con , par amet r i r eali

2 0

2 2 2 2 1

1 2

2 y a x b y c x y a x b y c

x (1)

Che possiamo scrivere

2 0

1 2

1 2

1 2

2 y a a x b b y c c

x

al variare di , non entrambi nulli e 0 si ottengono le equazioni di infinite cir conf er enze. L insieme di t ali cir conf er enze si dice fascio di circonferenze di generatrici C1 e C2. In particolare se 0e 0 la (1) rappresenta la C1, se

0

0e la (1) rappresenta la C2. Supposto 0e k la (1) diventa:

2 0

2 2 2 2 1

1 2

2 y a x b y c k x y a x b y c

x

ossia k 1x2 k 1 y2 a1 ka2 x b1 kb2 y c1 kc2 0 (2)

con k 1. L equazione (2) r appr esenta al variare di k tutte le circonferenze del fascio generato da C1 e C2, tranne la circonferenza C2, che si otteneva per 0, mentre la circonferenza C1 si ottiene per k=0.

Si possono verificare quattro diversi casi:

1° caso Siano C1 e C2 due circonferenze secanti e siano A e B i punti che esse hanno in comune . Poiché le coor dinat e di A e B ver if icano ent r ambe l equazione di C1 e C2, esse soddisf ano anche l equazione del f ascio. Q uindi t ut t e le cir conf er enze passano per A e B , che prendono il nome di punti base del fascio.

(25)

Poiché le coordinate di A e B soddisfano simultaneamente le equazioni di, esse soddisf ano anche l equazione del fascio. Quindi tutte le circonferenze del fascio passano per A e B, che prendono il nome di punti base del fascio.

Se 0, cioè se k = -1, si ottiene la retta passante per A e B; tale retta si chiama asse radicale e ha equazione:

2 0

1 2 1 2

1 a x b b y c c

a

Osser viamo che l equazione:

2 0

1 2 1 2

1 2

2 y ax by c h a a x b b y c c

x

ot t enut a come combinazione linear e dell asse r adicale e dell equazione di una delle circonferenze, rappresenta una circonferenza passante per A e per B e quindi, al variare di h, rappresenta tutte le circonferenze passanti per A e per B. Pertanto l equazione del f ascio di cir conf er enze di punt i base A e B si può ottenere come combinazione linear e t r a l equazione di una qualunque cir conf er enza passant e per A e B e l equazione della retta AB.

2° caso Siano C1 e C2 due circonferenze tangenti in A. Ciò significa che hanno in A la stessa retta tangente t.

(26)

Ragionando come nel caso precedente, il fascio generato da C1 e C2 è costituito da tutte le circonferenze passanti per A e tangenti in A alla retta t. Il punto A è detto punto base del f ascio. L equazione del f ascio si può ot t ener e o come combinazione lineare delle equazioni di C1 e C2 oppure come combinazione lineare di una delle due equazioni di C1 e C2 e dell equazione della r et t a t tangente in A,ovver o dell asse radicale, che è la seguente:

2 0

1 2 1 2

1 a x b b y c c

a

3° caso Siano C1 e C2 due circonferenze concentriche di equazioni:

C1: x2 y2 a x b y c1 0 e C2: x2 y2 a x b y c2 0

L equazione del f ascio gener at o da C1 e C2 è:

2 0

2 2 1 2

2 y a x b y c k x y a x b y c

x

cioè: 1 k x2 k 1 y2 1 k ax 1 k by c1 kc2 0

Per k 1si può scrivere:

1 0

2 1 2

2

k kc y c

b x a x y

(27)

equazione che rappresenta ancora una circonferenza concentrica a C1 e C2: quindi tutte le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro

, 2 2

b

C a di C1 e C2.

4°caso Siano C1 e C2 due circonferenze non aventi punti in comune e non concentriche. Il fascio di circonferenze generato da C1 e C2 si ottiene come

combinazione lineare delle equazioni di C1 e C2 , ed è costituito da circonferenze non aventi punti in comune e non concentriche.

Scheda di laboratorio con derive.

rappresentare il fascio di circonferenze di equazione x2 y2 hx h 1y 1 0,

facendo variare h da 3 a 3.

Il comando da utilizzare è : VECTOR (x^2+y^2+hx-(h+1)y-1=0,h.-3,3,1)

Si ottiene il seguente grafico:

(28)

Da esso notiamo che tutte le circonferenze reali del fascio passano per due punti, che si chiamano punti base del fascio.. Un alt r a cosa che f ar emo not ar e agli allievi, è che i centri delle circonferenze sono allineati.

1.8 APPLICAZIONI ALLA FISICA

1 - MOTO CIRCOLARE UNIFORME.

Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo, intensità) costante si dice moto circolare uniforme.

Si noti che ad essere costante, in questo moto, è l'intensità della velocità, cioè il

(29)

numero che ne rappresenta il valore. Questa precisazione è doverosa, perché in questo moto la direzione della velocità cambia continuamente.

La velocità, come ben sappiamo, è un vettore per cui è caratterizzata da intensità, direzione e verso.

Per il fatto che la velocità cambia di direzione, anche se non cambia in intensità, il moto circolare uniforme è un moto accelerato.

Per definizione, un moto accelerato è un moto in cui la velocità cambia e, perché la velocità cambi, basta che di essa cambi anche una sola delle sue "componenti"

(intensità, direzione o verso).

Possiamo allora chiamare l'intensità della velocità col nome di velocità scalare, per distinguerla dalla velocità nel suo complesso, intesa come vettore.

Possiamo perciò ridefinire il moto circolare uniforme come quel moto su di una

circonferenza che avviene con velocità scalare costante.Definiamo alcune grandezze relative al moto circolare uniforme :

- 1 - periodo

(30)

Il periodo è il tempo impiegato a fare un giro completo. Esso si misura nel S.I. in secondi. Esso viene di solito indicato dalla lettera maiuscola T .

- 2 - frequenza

La frequenza indica il numero di giri completi effettuati nell'unità di tempo. Nel S.I.

la frequenza si misura in hertz (Hz) ed indica il numero di giri al secondo. Essa viene di solito indicata con la lettera minuscola f o la lettera greca .La frequenza

caratterizza in generale un fenomeno periodico qualunque.

Fra il periodo e la frequenza sussiste una relazione matematica importantissima

f = 1 / T

che esprime il fatto che la frequenza è l'inverso del periodo.

- 3- velocità angolare,

def init a come il r appor t o t r a l angolo descr it t o dal mobile in un cer t o int er vallo di t empo e l int er vallo st esso. Essa si indica con il simbolo , si misura in radianti/

secondo

t

Dalla formula della velocità otteniamo:

r v - 4- Accelerazione centripeta.

Il moto circolare uniforme è un moto dotato di accelerazione perché la direzione della sua velocità cambia punto per punto.

Vediamo ora come si calcola questa accelerazione e le sue caratteristiche.

Consideriamo i vettori velocità nei punti A e B e chiamiamoli rispettivamente

e :

(31)

Per accelerazione si intende la variazione della velocità nell'intervallo di tempo t Chiamiamo con ( delt a v ) la var iazione di velocit à f r a i punt i A e B.

Per comodità, riportiamo il vettore nel punto A tramite uno spostamento parallelo. Otteniamo così :

Si ricordi che le intensità di e sono le stesse e che per fare la somma fra due vettori si deve usare la regola del parallelogramma .

Abbiamo così ottenuto il vettore variazione di velocità che appare

sor pr endent ement e diretto verso il centro della circonferenza lungo la quale avviene il moto.

Se poi dividiamo questo vettore per l'intervallo di tempo tin cui il punto va da A a B , ot t eniamo inf ine l acceler azione cer cat a che è essa st essa un vettore che ha la stessa direzione e verso (poiché il tempo per cui dividiamo è un numero positivo) del vettore variazione di velocità .

L acceler azione r isult a allor a :

t ac v

(32)

Si not i che abbiamo indicat o l acceler azione con il pedice c . Questo a signif icar e che l acceler azione punt a ver so il cent r o, e per quest o è det t a accelerazione centripeta.

Questa accelerazione, in un dato punto della circonferenza, è esattamente puntata verso il centro anche se, guardando il grafico, ciò sembrerebbe vero solo

approssimativamente.

Nel grafico abbiamo preso due punti ( A e B ) abbast anza lont ani per mot ivi di semplicit à. Se li pr endessimo molt o vicini (inf init ament e vicini), si vedrebbe che

è diretto esattamente verso il centro e si otterrebbe allora la variazione istantanea della velocità.

L int ensit à della acceler azione centripeta è :

dove v è la velocità scalare del moto ed R il raggio della circonferenza.

Si noti anche che qui, velocità ed accelerazione sono intese come scalari (modulo).

-5-Forza centripeta.

Se un corpo si muove di moto acceler at o, ciò accade per ché esso subisce l azione di una forza (risultante).

Per il secondo principio della dinamica, la relazione fra forza ed accelerazione è data

(33)

dalla formula :

F = m · a .

In questa formula F ed a sono le intensità dei rispettivi vettori. Se consideriamo a e v , come essi in realtà sono, dei vettori, la formula diventa :

essendo la massa m uno scalare (grandezza dotata solo del un numero che la rappresenta).

Nel moto circolare uniforme allora agisce una forza, la cosiddetta forza centripeta, che è la causa del fatto che il corpo percorre una traiettoria circolare. Se sul corpo non agisse nessuna forza (risultante), il corpo si muoverebbe di moto rettilineo uniforme (primo principio della dinamica).

La forza centripeta sarà allora :

e sar à or ient at a come l acceler azione cent r ipet a, essendo la massa m un numero positivo (moltiplicando un vettore per un numero positivo, direzione e verso del vettore che si ottiene non cambiano).

(34)

L intensità della forza centripeta sarà :

.

2- MODELLI ATOMICI

I l modello at omico di Rut her f or d(1911), la cui st r ut t ur a è par agonat a ad un sist ema di pianet i (modello planet ar io), pr evedeva che gli elettroni orbitassero intorno al nucleo come i pianeti intorno al sole.

Successivament e,nel 1913, Bohr basandosi sull incompat ibilit à del modello di Rut her f or d con l elet t r omagnet ismo (gli elet t r oni sar ebber o dovut i cader e sul nucleo in un t empo molt o br eve, cont r o l evidenza sper iment ale) pr opose un modello at omico

secondo il quale gli elet t r oni

possono or bit ar e solt ant o su or bit e cir colar i ben def init e at t or no al nucleo. Q uando un elet t r one si t r ova su quest e or bit e possiede una cer t a ener gia che non può per der e per ir r aggiament o di onde elet t r omagnet iche come invece pr evist o classicament e per una carica elettrica in moto accelerato.

Sommer f eld (1916)complet ò il modello di Bohr aggiungendovi le or bit e ellit t iche (uno dei due fuochi era occupato dal nucleo).

(35)

UNI TA DI DATTI CA 2 : L ELLI SSE

CONTENUTI:

- ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO.

- EQ UAZI ONE CANONI CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTENENTI ALL ASSE X.

- PROPRI ETÀ DELL ELLISSE:

1. SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI.

2. I NTERSEZI ONE DELL ELLISSE CON GLI ASSI CARTESIANI.

3. COORDINATE DEI FUOCHI DI UN ELLISSE DI EQUAZIONE NOTA 4. ECCENTRICITÀ.

- EQ UAZI ONE CANONI CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTENENTI ALL ASSE Y.

- INTERSEZIONI DI UNA RETTA CON UN ELLI SSE.

- RETTE TANGENTI AD UN ELLI SSE.

- CONDIZIONI PER DETERMI NARE L EQ UAZI ONE DI UN ELLI SSE.

- APPLICAZIONI INTERDISCIPLINARI

SVILUPPO DEI CONTENUTI:

2.1 ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO

DEFINIZIONE: Assegnati due punti del piano F1 Fe 2, detti fuochi , si chiama ellisse il luogo geomet r ico dei punt i P t ali che sia cost ant e la somma delle dist anze di P da

2 1 Fe

F ; ossia

Ellisse = punti Pdel piano, PF1 PF2 2a, a a 0 .

(Ricor diamo che si chiama luogo geomet r ico l insieme di t ut t i e soli punt i che godono di una certa proprietà geometrica).

SCHEDA DI LABORATORIO utilizzando il software Cabri Gèometrè.

(36)

F1 F2

A P

COSTRUZIONE GEOMETRICA A PARTIRE DA UNA CIRCONFERENZA

Si disegna una cir conf er enza di cent r o un punt o F 1 e r aggio a piacer e ed un punt o F 2 interno alla circonferenza. Preso un punto A sulla circonferenza si traccia la retta AF 1 e l asse del segment o AF2. I l lor o punt o di int er sezione P appar t iene ad un ellisse di fuochi F 1 e F2 .

Not a didat t ica. E ben f ar not ar e alla classe che al var iar e del punt o A sulla cir conf er enza la somma delle dist anze del punt o P da F1 ed F2 è uguale al r aggio della circonferenza.

Si può dimostrare inoltre che: l asse del segment o AF 2 è t angent e all ellisse.

2. 2 EQ UAZI ON E CAN ON I CA DELL ELLI SSE CON I FUOCHI APPARTEN EN TI ALL ASSE X

Consider iamo un ellisse di f uochi F1 e F2. I l punt o medio del segment o F1 F2 si chiama cent ro dell ellisse.

Indichiamo con:

2c con c , c 0 la distanza tra F1 e F2, detta distanza focale;

scegliamo un oppor t uno sist ema di assi car t esiani Oxy in modo che i due f uochi dell ellisse st iano sull asse delle x e siano equidist ant i dall or igine.

Vediamo or a come det er minar e l equazione dell ellisse r ispet t o a t ale r if er iment o.

Indichiamo con:

(37)

2a con a , a 0 la somma cost ant e delle dist anze dei punt i dell ellisse dai fuochi.

Poiché abbiamo indicato la distanza focale con 2c, le coordinate dei fuochi saranno:

0 , con ) 0 , ( e ) 0 ,

( 2

1 c F c c c

F

I ndicat o con P (x,y) un gener ico punt o del piano, calcoliamo le dist anze del punt o dai fuochi:

2 2

1 (x c) y

PF e PF2 (x c)2 y2 Poiché P(x,y)appar t iene all ellisse se solo se :

a PF

PF1 2 2 con a , a 0,

sost it uendo in quest ult ima uguaglianza le espr essioni di PF1 e PF2 , otteniamo:

a y c x y

c

x ) ( ) 2

( 2 2 2 2

che è già l equazione dell ellisse. Cer chiamo or a di scr iver la in una f or ma più semplice, in modo che non contenga radicali.

Isoliamo un radicale ed eleviamo entrambi i membri al quadrato:

, )

( 2 )

(x c 2 y2 a x c 2 y2

, ] )

( 2 [ )

(x c 2 y2 a x c 2 y2 2

Svolgendo i calcoli e semplificando si ha:

2 2

2 4 ( )

4

4xc a a x c y

Isoliamo il radicale e dividiamo per 4:

cx a y c x

a ( )2 2 2

Eleviamo al quadrato entrambi i membri:

).

( )

(a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2

A quest o punt o è impor t ant e f ar not ar e agli st udent i che pur elevando al quadr at o i membr i dell equazione ir r azionale non si int r oducono soluzioni est r anee.

(38)

F2 (- c ; 0) O F1 (c ; 0) P (x ; y) y

x

Poiché in un t r iangolo ogni lat o è minor e della somma degli alt r i due, consider at o il triangolo PF1F2 deve essere:

2,

1 2

1 PF F F

PF

e quindi:

, 2 2a c

ossia la relazione tra a e c è:

, c a

è anche

2

2 c

a

e quindi

2 0

2 c

a Poniamo:

2 2

2 c b

a

L equazione divent a:

2 2 2 2 2

2x a y a b

b

Dividiamo tutti i termini per a2b2:

2 1

2 2 2

b y a x

che si dice equazione canonica o normale dell ellisse.

2. 3 PROPRI ETÀ DELL ELLISSE:

1. SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI

(39)

x y

O

P1 (x1 ; y1) P2 (-x1 ; y1)

P3 (x1 ; -y1) P4 (-x1 ; -y1)

Nell equazione dell ellisse le var iabili x e y compaiono solo elevat e al quadr at o. Se consider iamo un punt o dell ellisse P 1(x1,y1) appartiene all ellisse anche il punt o

) ,

( 1 1

2 x y

P che ha la stessa ordinata e ascissa opposta.

Per verificarlo, basta osservare che, essendo x12 x1 2 ,

se 2 1

2 1 2 2 1

b y a

x , con P1(x1,y1) appartenente all ellisse

anche ( ) 1

2 2 1 2

2 1

b y a

x e quindi P2( x1,y1) appar t iene all ellisse.

Dal punt o di vist a geomet r ico, ciò signif ica che l ellisse ha come asse di simmet ria l asse y.

Analogament e, se P1(x1,y1)è un punt o dell ellisse, lo è anche il punt o P3(x1, y1) che ha la st essa ascissa e or dinat a oppost a. Da un punt o di vist a geomet r ico, ciò signif ica che l ellisse ha come asse di simmet ria anche l asse x.

Allo st esso modo, se P 1(x1,y1) è un punt o dell ellisse lo è anche il punt o P4( x1, y1) che ha ascissa e or dinat a oppost e. Q uindi P1 e P4 sono simmet r ici r ispet t o all or igine.

L ellisse ha come cent ro di simmet ria l origine degli assi.

(40)

F1

F2

A1 (a ; 0) A2 (-a ; 0)

B1 (0 ; b)

B2 (0 ; -b)

x y

O

L ellisse è una curva simmet rica rispet t o a ciascuno degli assi coordinat i e rispet t o all origine.

L or igine 0 si dice il centro dell ellisse e i due assi coor dinat i x e y si dicono assi dell ellisse.

2. I N TERSEZI ON E DELL ELLI SSE CON GLI ASSI CARTESI AN I

Per det er minar e le int er sezioni di un ellisse con l asse x e con l asse y, met t iamo a sist ema l equazione dell ellisse con l equazione dell asse x e con l asse y, cioè risolviamo i seguenti sistemi:

0

2 1

2 2 2

y b

y a x

0

2 1

2

y a x

0

2 2

y a

x

0 y

a

x

0

2 1

2 2 2

x b

y a x

0

2 1

2

x b y

0

2 2

x b

y 0 x y b

I punt i A 1 a,0 e A2 a,0 sono le int er sezioni dell ellisse con l asse x,ment r e i punt i b

B1 0, e B2 0, b sono le int er sezioni dell ellisse con l asse y

(41)

F1 F2

A1 (a ; 0) A2 (-a ; 0)

B1 (0 ; b)

B2 (0 ; -b)

x y

O

x = a

y = b

y = -b x = - a

Questi quattro punti si dicono i vertici dell ellisse.

I l segment o A1A2 2a cont enent e i f uochi pr ende il nome di asse maggiore poiché a > b, ment r e il segment o B1B2 2b è det t o asse minore; a e b r appr esent ano allor a la metà delle misure dei due assi e si dicono brevemente i semiassi dell ellisse.

3. LI MI TAZI ON I DELL ELLI SSE

Disegniamo il rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani, ognuno passante per uno dei quat t r o ver t ici A1, A2, B1 e B2: t ut t i i punt i dell ellisse sono all int er no di quest o rettangolo.

Per ver if icar e quest a af f er mazione, nell equazione canonica dell ellisse isoliamo y2e otteniamo: 2 1

2 2 2

b y a

x 2

2 2

2

1 a x b

y 2 2 2

2

2 a x

a

y b ;

e con ragionamento analogo isoliamo x2:

2 1

2 2 2

b y a

x 2

2 2

2

1 b

y a

x 2 2 2

2

2 b y

b

x a ;

Siccome i membr i dell uguaglianza possono esser e posit ivi o nulli. I n par t icolar e si verifica che

2 0

2 x

a e b 2 y2 0 Infatti:

(42)

x y

1

-1 -2 2

A1 A2

B2

B1

O

Nel caso x 2 a2 0 abbiamo x2 a2 0. Poiché x 2 a2 0 per x a e la disequazione è verificata per valori interni, si ha:

a x a

Con ragionamenti analoghi isolando x2 nel caso b2 y2 0 si ottiene

b y b

L ellisse è quindi inscr it t a nel r et t angolo che ha i lat i di equazioni a

x , e y b.

Esempio1. Nell ellisse di equazione 1 4

2 2

x y

a 2 e b 1

I ver t ici sono A 1( 2,0), A2(2,0), B1(0, 1), B2(0,1). Tut t i i punt i dell ellisse sono all int er no del r et t angolo i cui lat i passano per ver t ici e misur ano 2 e 4.

4. ECCENTRICITÀ

I l r appor t o f r a la dist anza f ocale e la lunghezza dell asse maggior e di un ellisse è detto eccentricità ed è solitamente indicato con la lettera e:

maggiore asse

dell' lunghezza

focale distanza

e

L eccent r icit à e indica la forma più o meno schiacciat a dell ellisse sull' asse maggior e.

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