Risoluzione, in serie semplice, della lastra rettangolare

(1)

Risoluzione, in serie semplice, della lastra rettangolare appoggiatu, sottoposta ~ll'azione di un carico c o n c e n t r a t o

c o m u n q u e disposto.

Memoria di OSVALD0 ZA~NABONI (a Bologna).

Sunto. - L a soluzione in serie semplice ~ ricavata, media~te passaggio al limite, partendo da u n a last~'a composta di tre striscie: le laterali scariche e la ce+~trale g r a v a t a da u n a forza distribuita secondo u n a tetra trasversale.

Lo svolgimento ~ completato dalla dimostrazione della legittimit4 della soluzione trovata, e da u n a discussione circa la convergenza delle varie serie esprimenti le ca~'at-

teristiche geometriche e statiche delia superficie deformata.

L a soluzione esposta, salvo la f o r m a a n a l i t i c a pi,h semplice e feconda di maggiori possibilit~ applicative e dedutt:ive, coincide con queUa data dal 2{AVIER p e r mezzo di u n a serie doppia trigonometrica.

1. Le soluzioni note della lastra rettangolare appoggiata al contorno, e soggetta all'azione di un carico concentrato qualsiasi, sono quella generale del NAVlEI~ (~) (sviluppata per mezzo di una serie doppia trigonometrica), e quelle, in serie semplici, riferentesi a casi particolari in cui la lastra supposta indefinitamente estesa almeno in senso (~), o p p m e in cui il carico

disposto secondo date con4izioni di simmetria (~).

Colla presente nora si deduce ]a soluzione per lo stesso caso assolutamente generale contemplato dal NAVlEI~, salvo che si ritrova invece uno sviluppo in serie trigonometrica semplice, raggiungendo cosi notevoli e vari vantaggi.

Infatti in primo luogo, senza perdere di generalitY, si introduce un algoritmo assai pifi semplice e consueto, il cui impiego praiico riesce per di pii~ faeilitato dalla sua rapida convergenza.

In secondo luogo, per mezzo di derivazione~ ~ immediata la soluzione per easi di applicazione di eoppie c o n c e n t r a t e c o m u n q u e dirette; eosiech~

(1) A. ~ADAI, Elastische P l a t t e m (ed. Springer-Berlino); loag. 119.

(~) A. ~-ADAI, loe. cir., pag~ 82 e seg.

(3) S. TIMOSHENK0, Ueber die Biegu~g de~" allseitig u~tersti~tzten rechteckigen P l a t t e u~ter l C i r k u n g einer Einzellast~ (~, :Der Bauingenieur ,~. 1922~ loag. 51).

(2)

108 0. ZX~ABONI: Risoluzione, i~t serie sempliee, della lastra rettangolare

proeedendo per sovrapposizione degli effetti, e cio6 in seguito a somma ordinaria, o ad integrazione, si acquisisee la possibilit~ di risolvere la lastra ret~angolare appoggiata, sotto azioni statiche e o m u n q u e assegnate e distribuite.

P e r ultimo, e s e m p r e nel campo delle serie t r i g o n o m e t r i c h e semplici, resta assieurata la possibilit/~ di risolvere la lastra in svariatissime altre condizioni di vineolo, per cui si pub asserire in definitiva c h e l a soluzione che esporremo r a c c h i u d e in potenza la soluzione pifi generale della piastra rettangolare a spessore eostante, espressa nella forma analitica pifi semplice consentita dalla complessit~t del problema.

(1)

2. L ' e q u a z i o n e generale della lastra in coordinate cartesiane:

5~w--P(X' y)

N

con w freccia elastica, p(x, y) intensith del carico ri[crita all'unit'h di su- E~ 3

perficie, _N ~ -12(1-- ,/ ) rigidit'~ della lastra, ~ spessore di questa, 6 risolta aggiungendo ad una sua soluzione particolare la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea.

La quale u l t i m a soluzione si pub porte, secondo ~[. LEVY (~)~ sotto [orma di u n a ordinaria s e r i e trigonometrica il cui t e r m i n e generale sia una n ~ y n ~ x n ~ y cosh nT:y n'ax combinazione lineare delle funzioni: s e n h ~ sen h ; h ~ h - s e n - ] ~ - ,

nz:y n ~ x n ~ y senh n~y nz:x.

cosn ~ - s e n - ~ - , h ~ - s e n - ) ~ - , con n intero variabile da 1 ad co.

]~ chiaro che tale serie soddisfa i d e n t i c a m e n t e alle condizioni di appoggio lungo i lati :c-~ 0, x ~ h della lastra rettangolare, e pertanto, se la soluzione particolare ~ stata scelta in m a n i e r a da soddisfare essa pure alle stesse condizioni, la lastra risulterh c o m p l e t a m e n t e risoluta allorch~ riusciremo a r e n d e r e soddisfatte a n c h e le condizioni di appoggio lungo gli altri due lati.

Ci5 si ottiene in pratica lasciando incogniti i eoefficienti delle funzioni p r e c e d e n t e m e n t e citate, esprimendo per mezzo di essi le volute condizioni ai limiti, e d e t e r m i n a n d o l i infine m e d i a n t e il principio di identit~ delle serie.

Seguiremo anche noi in sostanza questo procedimento, m a dovremo perb i n t r o d u r r e alcuni artifici atti a girare la difficolth creata dal fatto che, di- venendo omogenea nel nostro caso l ' e q u a z i o n e da risolvere per 1 ~assenza di

(4) ,, Comptes R e n d u s ,,~ Parigi~ 1899~ 9 ottobre~ pag. 535.

(3)

appoggiata, sottoposta all' azione di ,u~ carico concentrato comunque disposto 109

earieo distribuito superfieiahnente, seompare 1' unieo termine dipendente dalle forze esterne~ e con esso la possibilith di i n t r o d u r r e queste ultime nella so.

luzione generale attraverso quella partieolare.

Osserviamo a questo proposito ehe se si trattasse di lastra con carico Po u n i f o r m e m e n t e distribuito su t u t t a la sua superfieie, u n a soluzione parti.

colare d e l l ' e q u a z i o n e (I) si avrebbe per mezzo della d e f o r m a t a elastica della trave ordinaria a semplici appoggi gravata di un enrico ad uniforme distri.

buzione, ove in luogo di E J si ponga hr. Cio6:

Po h~x).

w° -- 24N (x~ - - 2hx3 +

Sv, iluppando la preeedente espressione in serie di seni (s), si ottiene la soluzione particolare nella forma:

419oh~ 1 n n x (n dispari).

n ' o = N~ ~ i n 5 s e n l i -

Per analogia, se eonsideriamo u n a lastra soggetta ad un earieo distribuito u n i f o r m e m e n t e lungo u n a retta parallela ai lati x : O , x : h , e distante c, c,, da essi lvedi fig. 1), l ' e s p r e s s i o n e in serie di seni della d e f o r m a t a di u n a

i q ~ |

i L

a i ]

~a-~+.-9-.+.-b-~

-1---~

Fig. 1

h

trave ordinaria soggetta ad u n a forza eoneentrata, eompirh lo stesso ufficio di u n a soluzione partieolare per l'equt~zione relativa alla lastra nelle sopr~

deserit~e eondizioni di carieo (~;).

Se q 6 l ' i n t e n s i t ~ di q u e s t ' u l t i m o per unit'X lineare di lunghezza, assu.

(5) TIMOSttENKO-LESSELS, Fest4gkeitslehre, (ed. Springer-Berlino), pag. 1'-)1.

(6) Detta equazione 6 ora omogenea perehb la forza non b pifi distribuita superficial- mente ma bensl linearmente.

(4)

110 O. ZAN~BONI: Risoluzione, in serie semplice, della lastra rettangolare

miamo d u n q u e come soluzione particolare la:

2qh 3 ~ 1 nr~c n~zx

[2) w, - - ~ ~ ~ sen ~ - sen - ~ - (n intero qualsiasi) t h e 6 l ' e q u a z i o n e della d e f o r m a t a di u n a trave sotto carico concentrate (~), e che soddisfa e v i d e n t e m e n t e aile condizioni di appoggio sempliee lunge i lati x = : 0 , x = h .

Aggiungendo alla precedente w 0 u n a serie di funzioni di LEVY in

n T ~ x

sen ~h--' si otterrh la pifi generale soluzione della lastra rettangolare appoggiata lunge i lati opposti x =-O, ,x ~ h, e soggetta a forza distribuita unifor- m e m e n t e lunge la retta w = e.

Cib posto, creiamo una lastra, appoggiata al contorno, costituita mediante tre striscie saldate tra di lore; una, larga g, nelle condizioni di carico or e r a descritte, e le altre due seariche, larghe rispettivamente a, b, disposte l a t e r a l m e n t e alia precedente.

Stabiliti i vari sistemi di coordinate indicati dalla fig. 1, poniamo per comodit/~ di notazione:

= i, 7;- = ~' ~ = ~' h - - "}' 15- = ~'

(3)

~b ~c ul ug

Assunti i sensi positivi in essa figura indicati, le equazioni delle superficie deformate delle varie striscie sono espress% per quanto abbiamo esposto in precedenza, da :

w i ---- E (A ~ senh n~ + B,n~ cosh n'q 4- Ci cosh n~q + D,n~} senh n~) sen n~

E (A~ senh n~o 4- B~no) cosh no) + C 3 cosh n~o + Dsn~o senh rite +

(4)

\

2qh3 )

-4-N--~q~4 sen "; sen n~

w~ = E (A~ senh n~ + B.2n~ Bosh n,~ + C~ cosh n~ + D,n~ senh n~} sen n~.

Affineh0 le tre striscie costituiscano un tutto unite, ~ necessario che risultino soddisfatte le condizioni di appoggio lunge i dug lati y - ~ 0; z : - 0 ; e le condizioni di continuith lunge le due rette y = a , v - - - 0 ; v = g , z = b .

Mediante" questo complesso di condizioni r i s u l t e r a n n o determinate le dodici costanti che si presentano nelle equazioni precedenti.

(7) T1MOSHENKO-~.~ESSELS~ loc. cir., pag. 124.

(5)

appoggiata, sottoposla all" azione di u.~, carico concentrato comunque disposto 111

L ' e s i s t e n z a di un appoggio semplice luugo il lato y = 0 richiede che per questo valore della variabile si abbia una freccia w~ identicamente nulla, e che sia pure i d e n t i c a m e n t e nullo il momento flettente secondo y

.

/~~.w~

~ - ' w ~ espresso da - - i V ~ -4- v ?x ~

].

P e r sostituzione diretta si trova che la freccia si annulla all'origine se C, = 0.

Posto questo valore entro l ' e s p r e s s i o n e de1 momento flettente, si ha che questo si annulla in modo identico all'.appoggio se D , . - - 0 .

In modo analogo si deduce anche C~----0; D~---~0, cosicchb appare t h e lungo l ' i n t e r o contorno 6 A w - = 0 : vale a dire siamo in quelle particolari condizioni ai limiti che s i chiamano col nome di NAVIER.

Teniamo subito conto del valore ormai noto delle quattro costanti Cl, D , , C2, D2, e passiamo ad esprimere le condizioni di continuit~ lungo la retta di s a l d a t u r a ~ra le striscie 1, 3.

In primo luogo si dovr~ avere uguaglianza di freccia tra il bordo ter- minale della 1 ed il bordo iniziale della 3.

Cib che analiticamente si esprime in breve con:

e per esteso (applicando il principio di identit~ tra le serie) eoll'eguaglianza dei due rispettivi eoeffieienti di sen n~ calcolati 1' uno per y = a, e F altro per v---O.

L a p r i m a equazione di continuith b d u n q u e : 2qh 3

A, senh n ~ / + B,n~ eosh n~ : C~ + N ~ , n ~ sen n'(.

I n seguito dobbiamo porre l ' u g u a g l i a n z a delle rotazioni, e eio~:

l+ l

= \

Eseguiti i facili passaggi si trova la seconda equazione:

(A, -t- B~) cosh n~ -t- B~n~ senh n:¢ ~ A 3 A- B 3 .

A questo punto ~ importante n o t a t e che, come si vede facilmente, la stessa equazione si a v r e b b e anche ponendo l ' e g u a g l i a n z a dei momenti torcenti prima e dopo la linea di separazione delle due striseie.

Vale a dire la p r e c e d e n t e equazione equivale anche alla:

(6)

112 O. Za~.s~oxI: Risoluzione, in serie semplice, della laslra rettangolare

L a continuit~t nella tangente d~ d u n q u e luogo come conseguenza anche alia continuith nei momenti torcenti.

Le ulteriori condizioni di continuitg r i g u a r d a n o l' u g u a g l i a n z a delle azioni interne, ossia dei m o m e n t i flettenti lungo la parallela al lato superiore, ed inoltre, in base alle condizioni ai limiti stabilite dal KIRcrI~oFF, di quella partieolare azione i n t e r n a fittizia data dalla somma del taglio secondo y pifi la derivata, secondo x, del momento torcente.

P e r quanto r i g u a r d a i momenti flettenti, si ha l ' e q u a z i o n e :

- ~v[ a , ~ + ~ ~ - , / o = - zv[a ~ - + ', >r~/o.

Da cui sviluppando ed eliminando i fattori c o m u n i :

2vqh a

[(1--v)Ai q - 2 B , ] s e n h n a - I - ( 1 - - v ) B ~ n a c o s h n ~ = ( 1 - - v j C a I--2D~ Nr~,n~ s e n n r.

In merito alla condizione del KIRCHHOFF rieordiamo di avere gia trovato che i momenti torcenti attraverso la retta y = a sono continui in conse.

guenza della c o n t i n u i t g della tangente.

S a r a n n o d u n q u e continue anche le toro derivate rispetto ad x, e percib F u l t i m a equazione si riduce ad esprimere semplicemente l ' u g u a g l i a n z a degli sforzi t a g l i a n t i effettivi.

Cio~ :

- g > ' ~ , l = - ~2"'~ "

E per esteso:

Bt cosh ~t~ = B a .

L a particotare forma a n a l i t i e a a s s e g n a t a alle funzioni risolventi consente, in altri termini, di assicurare la continuit~ singolarmente rispetto a tulle ire le componenti d e l l ' a z i o n e interna~ invece che per le due sole indicate dal KIRCHHOFF.

Dalle quattro equazioni che abbiamo stabilite, ricaviamo le costanti di indice 3 in funzione delle analoghe eostanti di indice 1.

I r i s u l t a t i sono i s e g u e n t i :

A a = A, eosh ~¢~ ~ B,no~ senh n~

Ba --- B, eosh n~

C a : A~ senh ~,~ + Bln~ cosh n~

qh 3

D, --- B~ senh n~ + ~ sen n T

2qh 3

Nr~4n4 sen n T

(7)

c~ppoggiata, sottoposta all'azione di u n carico coucentrato comunque disposto 113

e mediante essi si possono esprimere tutte le quantith che riguardano la striseia centrale per mezzo delle costanti relative alla striscia di sinistra.

i n particolare, al fine di porte poi le necessarie condizioni di continuith [ungo la retta v =: g, z--=b, ealeoliamo le espressioni della freccia, della rotazione, del momento flettente, e del taglio per v----g,

P e r sostituzione diretta helle e s p r e s s i o n i di w 3 e delle sue derivate, si ha, omettendo di trascrivere i passaggi intermedi:

per la f r e c c i a :

A~ senh n(~ + X) -4- Bd~(~ + X) eosh n(:¢ + X) +

+ qh3 [n x s e n h n X - f - 2 ( 1 - e o s h n x ) ] s e n n y

.ZV~4n ~

: - p e r la rotazione:

~a7 [(At + B,) eosh n(= -4- X) + B,n(~ -4- X) senh n(a + X)] +

+ qh3 ( n x c o s h n x - - s e n h n x ) s e n n y per il memento flettente:

-- i V ~ t [(l -- v)A~ + 2B,] senh n(~ +- 7~} + (1 - - v}B,n(~ + 7~) cosh n(~ -4-- X) qh [2v(i - - cosh nx) - - (1 - - v)n X senh nx] sen ny

-4-

per il taglio:

2Nr:3n 3

h 3 B~ eosh n(~ + Z) - - - - senh nX sen ny. 2q

7~n

A questo panto c o m p i a m o l'operazione che ci consente di passare dalla condizione di carico distribuito lungo una retta, fin c t u i considerata, alla condizione di carico eoneentra~o, che ~ scopo della presence rieerea.

P e r far cib facciamo tendere a zero la larghezza g della striscia centrale, e quindi anehe il p a r a m e t r o X, facendo c o n t e m p o r a n e a m e n t e tendere q al- l'infinito in maniera tale che risulti sempre costante il prodotto q g - ~ P.

chiaro che in questa maniera ci veniamo a p o r t e precisamente nel caso di un carico concentrato di intensith P agente nel punto generico x ~ - c . y = a della lastra rettangolare appoggiata di lati l, h.

Eseguendo il passaggio al limite nell'e quattro precedenti espressioni, notiamo che il coefficiente di q, nella prima, tende a zero come g~, nella seeondff come gO e nella terza come g2.

AJ*nal~ di Matematica, S e r i e I V . '~omo X I X . 15

(8)

114 O. Z£NABOl~I: Risol~tzione, in serie semplice, della lastra rettangolare

A1 l i m i t e si a n n u l l e r a n n o d u n q u e t u t t i i tre t e r m i n i n o t i c o r r i s p o n d e n t i . N e l F u l t i m a r e l a z i o n e il t e r m i n e noto d i v i e n e :

lira. 2q s e n h nX -~ lim. 2qg h nng _ 2P 7:n h "n:-=gsenh h - - - h ( "

P e r c i b le quattvo e s p r e s s i o n i ne'cessarie per s t a b i l i r e la continuiti~ colla s t r i s c i a di d e s t r a d i v e n g o n o , p e r il caso del carico c o n c e n t r a t o :

A~ s e n h n~ +- B~n~ cosh n~

7~'Yb

~ - [(A~ A-B~t cosh n~ A- B~n~ s e n h ~ ]

7~2Tb ~

- - N ~ h Y I [(1 - - v)A~ +- 2B~] senh n~ + (1 - - v)B~n~ cosh n~ /

~ n ~ 219

- - 2 N ~ T B~ cosh n a - : --h- sen n,(.

L e c o r r i s p o n d e n t i e s p r c s s i o n i c a l c o l a t e per la s t r i s c i a di destra, l u n g o la l i n e a z - - b , si o t t e n g o n o i m m e d i a t a m e n t e dalle p r e c e d e n t i c a m b i a n d o F i n - dice 1 c o W i n d i c e 2, p o n e n d o b in luogo di a, e t r a l a s c i a n d o ii t e r m i n e in P.

0 c c o r r e poi t e n e r e conto del diverso o r i e n t a m e n t o dell' asse z r i s p e t t o a l l ' a s s e y, e cib si fa c a m b i a n d o il segno ai t e r m i n i p r o v e n i e n t i da d e r i v a t e di o r d i n e p r i m o e terzo.

I n base a tutto questo, le u l t i m e e q u a z i o n i di c o n t i n u i t h s o n o : A~ s e n h ^{n ~}+ Bp~:¢ cosh n:¢ ~ A.2 s e n h n~ A- B~n~ cosh n~

(A~ -t- Bl) cosh ~:¢ -4- B~n~ s e n h n~ - - - - (A.~ A- B~} cosh n~ - - B2n ~ seuh n~

[(1 - - v)A, -4- 2B,] s e n h n~ -4-- (1 - - v)BLn~ cosh n~ ---~

-~ [(1 - - v)A.~ + 2B~] senh n~ + (1 - v)B2n ~ cosh n3 p h 2

B, cosh n~ 4- N=3n ~ sen n~ --- - - B2 cosh n~h

T o g l i a m o la quarta~ d a l l a seconda, e la p r i m a , m o l t i p l i c a t a per ( 1 - v), d a l l a terza, ed a v r e m o p i h s e m p l i c e m e n t e "

I A, s e n h n a -- A.2 s e n h n~i ~ - - Bino: eosh no; -4- B~n~ eosh n~

p h ~

A cosh n~ + A.~ cosh n~ = - - B , n ~ s e n h n~ - - B~n~ s e n h n~ 4- ₁ sen n 7

(5)

I B l s e n h nz¢ - - B 2 s e n h n~ - - 0

B , cosh n:¢ -4- B~ cosh n~ - - Nrz~n~ sen ny. Fh~

(9)

appog~Aiata,, sottoposta all' azione di un earico co+,centrato comunque disposto 115

I! sis~ema risolvente resta d u n q u e scisso in due sistemi, di cui il se- eo~do helle due sole incognite B~, B~.

Rieavate queste e sostituite nel primo, esso si riduce a sua volta nelle due sole ineognite A~, A~.

Posto per comodit/~ di successiva trattazione:

i A, Ph~ sen n,(. 6(~)

-- ]V~Sn s

I B, _'~ - - Nrc~n3 sen PM n'[. g3(~)

p h o-

A s ---- Nr:~n~ sen n~'. dI(~}

p h ~

B~ - - Nu3n 3 sen nT" g3(:~)

la risoluzione dei preeedenti sistemi ci d~ faeilmente, rieordando che, per aver fatto g = O , 6 era a + b : l :

i ~(~) = [(n), eoth n), + 1) senh n~ - - n~ eosh n~] eoseeh n)~

I ~(~) ---- -- senh n~. eoseeh n;~

t ~(~) ~ [(n), c0th n), + 1} senh na -- ng senh ng] coseeh n), t ~(a} ~ - - senh ha. eosech n)~.

In definitiva, rieordando ehe eel passaggio al limite la striseia 3 b scomparsa, possiamo sostituire entre le espressioni di w~, w2, date dalle (4), i valori ormai noti delle eostanti A , , B~, C~, D,, A2, B~, C.~, D.~, e eosi concludere t h e il problema che gi siamo proposti 6 risolto dalle due relazioni :

(7)

ⁱ P h ~ sen My ^[Ct(~)- n~ + ~(~)-n~. cosh n~] sen n~

~L'i ~--- J~VT~3 n ~ l " t ~ ~ senh

t p h ~ s e n [~I(a). senh n~ -t- ~(a). n~. eosh n~] sen n~

.L¥ n ~ l

le quali, insieme, dhnno la superfieie deformata della lastra sotto l'azione di un carico concentrate.

L a prima equazione vale per la striscia a sinistra del punto di applieazione del carieo, e ]a seeonda p e r qaella di destra.

Cib in perfetta analogia con quanto avviene nelle travi ordinarie sog- gette ad una forza concentrata.

l~aturalmente per l'applicazione delle (7} conviene rieordare le posi- zioni (3), (6), dope di che risulta assai facile ricavare le espressioni delle deformazioni e delle azioni interne.

(10)

tI6 O. ZA~ABOX~:

Risoluzione, in serie semplice, della lastra rettangolare

i n base a n o t e reluzioni (s) si h a s i n i s t r a :

~- R o t a z i o n i :

i n f a t t i , con r i f e r i m e n t o ali~t strisci~ di

i

~ = ~

Ph

Z - - n ~ sen hi" [dI{~).senh n~l -4- ~(~)-mq . c o s h n~q] cos n~

I Ph

sen n t,

~ --- ~r=~ E ~ { [~t~)-t- o~(~)] eosh n~ + - ~ ( ~ . n ~ . s e n h n~ / sen n~

M o m e n t o t o r c e n t e : Mt =- - - (1 - - v) -P E - - -

7~ sen n'( t [~(~) + o~(~l] eosh n~ + g3t~), n'~. senh n~ I cos n~

~__- M o m e n t i f l e t t e n t i :

t Mx = P- Z

s e n n y {[(1 v)~qi~j-2v~(~)]senh,n,~ + (1--v)~(~j.n~q.coshn~/I s e n n ~

.M v

__ - - P ~ sen n'( t [(1_v)~(~)+2$3(~) ] s e n h n~qq-(1 --v)~(~).n~q cosh n~ f sen n~

\ 7I: n

-=- Sforzi t a g l i a n t i :

! 2 P

- - - - "~ ~(~). sen n'(: s e n h n~- cos n~

2 P _

T~ = - - T x ~(~). s e n n T • cosh n ~ . sen n~.

Si capisce che le quantit/~ r e l a t i v e a l l a strisci~ a destro~ del carico si ot~engono c a m b i a n d o ~ in :¢, y in z, ed ~q in ~.

t l d i v e r s o o r i e n t a m e n t o d e l l ' a s s e z r i s p e t t o a l l ' a s s e y r i c h i e d e r ~ i u o l t r e di i n v e r t i r e il segno helle e s p r e s s i o n i che p r o v e n g o n o da u n o r d i n e d i s p a r i di deriv,~zione r i s p e t t o ad y.

E s s e sono quelle che c o r r i s p o n d o n o a l l a rotazione q0y, al m o m e n t o torcente, ed allo sforzo t a g l i a n t e

T v.

3. Comple~ata cosi la d e d u z i o n e della f o r m u l e richieste, occorre o s s e r v a r e che le ~7), e t u t t e le espressioni che da q n e s t e d e r i v a n o , risolvono formal- m a n t a nel modo pifi completo la l a s t r a r e t t a n g o l a r e a p p o g g i a t a e s o g g e t t a ad u n carico c o n c e n t r a t o , m a p r i m a di p o t e r l e c o n s i d e r a r e come soluzioni e f f e t t i v e occorre c h i a r i r e a l c u n i p u n t i .

(s) A . N A D A b lOC. t i t . , p a g . 20 e s e g .

(11)

cq~poggiata, sottoposta all' azim~e di ~tn carico coucentrato comunque disposto lt7

Se esaminiamo le prime tre equazioni del sistema risolvente {5), clue non contengono termini noti~ vediamo che esse esprimono effettivalnente le condizioni di continuit'h per la freccia, la rotazione, ed il momento flettente attraverso y -~ a.

L a q u a r t a equazione possiede inveee un termine noto diverso da zero, e pereib pub sembrare che non sia qui verificata F u l t i m a condizione di continuit~t.

Si noti a questo proposito che l ' u l t i m a equazione equivale in re~lth alla:

T~ 3 2 P

-- 2 N ~ E n~(B~ cosh n~ + B~ cosh ~ ) sen n~ ^-- - - ~ .~ sen n y . sen n~ ^-

che esprime col suo primo membro il salto che si verifica nel taglio T v passando attraverso la retta y --~ a, z ~- b.

Tutto si riduce quindi ad i n t e r p r e t a r e il significato della serie al secondo membro, la quale non ~ convergente poich5 il eoefficiente del suo t e r m i n e generale non ha. limite deterlninato per n ~ .

Cib perb non significa e h e l a serie stessa non possegga anche infiniti p u n t i di convergenza entro l ' i n t e r v a l l o 0 - - h (~}, o c o m u n q u e che non le si possa attribuire un s!gnificato ben definito.

P e r persuaderci di questo consideriamo la serie convergente:

4p ~ 1 nrc~

-- - sen sen n,~.sen n~

che r a p p r e s e n t a quella particolare funzione d i s c o n t i n n a che b uguale allo zero nei due tratti m ~ 0 - ( c - - ~ ) ; x : ( c + s ) - - h ; e che b uguale alla costante p nel tratto (c -- e)-:- (c + e) ('").

Se facciamo decreseere ~ indefinitamente, e c o n t e m p o r a n e a m e n t e fae- ciamo creseere p in modo che si abbia sempre 2ep ~ - - - P ~ cost., provoehialno un eambiamento negli estremi degli intervalli precedenti, ma l ' a n d a m e n t o generale della funzione non muta.

A1 limite, per e ~ - 0 , abbiamo che questa a s s u m e il valore zero in tutto 0 - - h , salve che nel punto x ~---c ove diviene infinita.

D ' a l t r a 1)arte la serie e s a m i n a t a si t r a s f o r m a nella:

2 P

1-7- ~ sen ny- sen n~

(9) ]a. TO~ELLL Serie trigonometriche, (ed. Zanichelli), pag. 16 e seg.

(10) _~. NADAI, lOC. cit., pag. 80.

(12)

118 O. ~ANiBONI: Risoluzione, i~ serie semplice, della lastra retlangolare

e questa deve pereib intendersi come r a p p r e s e n t a t i v a dello zero in ogni punto, eeeetto t h e in x ~ c ore r a p p r e s e n t a F infinito del primo ordine.

I n questa m a n i e r a risulta t h e la eontinuit~t b verifieata anehe per la Tv, e ehe questa azione i n t e r n a diviene infinita del primo ordine in eorrispondenza del punto di applieazione del carico coneentrato.

5[ataralmente, potendosi per ragioni di simmetria della s t r u t t u r a rispetto ai propri vincoli scambiare x con y, le stesse eonelusioni valgono nei riguardi di T~.

Si e o n f e r m a d u n q u e il fatto, noto in generale, che, helle lastre, gti sforzi taglianti divengono infiniti del primo ordine in eorrispondenza ai punti di applicazione dei eariehi concentrati.

E s a u r i t a in tal modo la questione della eontinuit~t, devesi dimostrare la legittimit~ della soluzione trovata, dato che essa proviene dalla manipola- zione del t e r m i n e g e n e r a l e di u n a serie non convergente.

cio~ necessario stabilire la convergenza delle serie w~ e w~; m e n t r e

@utile ai fini applicativi indagare anche sulla convergenza delle serie ehe da queste si dedueono per derivazione.

Poich~ si possono e v i d e n t e m e n t e limitare le considerazioni alla wl, ed a tutte le quantit'~ ehe interessano la sola striseia di sinistra, eliminiamo il easo particolare a - - - l ; b ~ - O ; z ~ O , ehe, come si vede per sostituzione diretta, e come g i u s t a m e n t e dove essere corrispondendo esso all'applieazione del carico su u n bordo appoggiato della lastra, di~ luogo a l l ' a n n u l l a r s i di tutti gli spostamenti elastici e di tutte le azioni interne.

Quosta premessa ~ neees.~aria poieh@, c o l ragionamento sintetieo che svolgeremo per lo studio della convergenza~ tale e~so non si p r e s e n t a in modo speciale, m e n t r e acquisterebbe q u a l c h e apparente singolarith se indu- giassimo per una via meno diretta.

Ci6 osservato, ricordiamo ehe, q u a l u n q u e sia l ' a r g o m e n t o positivo~A~ si pub ritenere, per n abbastanza g r a n d e :

I senh nA = eosh n h = ~ e ~~.

l eoth nA ~ 1

Cosicch~, per studiare il comportamento dei termini generali delle varie serie che ei interessano, allorch~ n tende all'infinito, potremo usare per

~(~), ~(~) le espressioni:

t -

I n t r o d u c e n d o queste entro w~ e le sue derivat% ed operando sulle fun-

(13)

ap2oggiata, sottoposta all'.zione di uJ~ carico co,ncentrato comunque disposto 119

zioni iperboliche di ~ le stesse semplifieazioni or era indicate, appare subito t h e abbiamo a t h e fare con delle combinazioni lineari dei seguenti tre termini :

Anzi, dato che in tutte le espressioni degli spost~menti elastici e delle azioni interne il terzo termine si presenta esclusivamente in somma algebrica col primo, potremo considerare come coefficiente della parte trigonometrica del termine generale, per n abbastanza grande, u n ' e s p r e s s i o n e del tipo:

[H,,. n(~ - - ~) + K,,]e-'(~-~)

ore H,, e K . hanno un segno cite non dipende da n, e posseggono in valore assoluto un limite superiore determinato e finito che ~ il modulo del valore da esse assunto per re ~ 1.

Indicando quest i limiti superiori rispettivamente con H, K, abbiamo che la serie a termini positivi:

(8) v, [H.n(:¢ - - ~) + K]e-"'~-~)

6 convergente per q u a l u n q u e H, K e per y ~ a, percib, facendo intervenire i noti criteri di confronto (~), si conclt~de t h e tutte le serie che ci interessano sono convergenti assolutamente ed u n i f o r m e m e n t e sotto la condizione y ~ a.

Anzi, il fatto di ottenere dei termini di carattere esponenziale depone a favore della rapidith di convergenza, specie per le espressioni della freccia e delle rotazioni per le quali il termine esaminato risulta ulteriormente diviso per n 3 o per re ~.

L a massima rapidith di convergenza si ottiene evidentemente scegliendo per h il minore dei due lati della lastra, ed ~ maggiormente sentita per i valori di y sensibihnente minori di c~, (o c o r r i s p o n d e n t e m e n t e per i valori di z sensibilmente minori di b).

R e s t a ora d a esaminare il caso particolare y - - a , e per questo consi.

deriamo d a p p r i m a Ie espressioni delia freccia e delle rotazioni.

P e r y - ~ a, il termine generale delle serie (8) diviene uguale a K, ed 13 .~1

allora siamo condottt a considerare le serie maggioranti E , E ~ , le quali, essendo notoriamente eonvergenti, ci fanno ancora eoncludere affermativa- mente circa la convergenza assoluta, uniforme, e sufficientemente rapida delle s e r i e . d i w~ ~o~, ~u"

(it) E, G-OURSATy Cours d'Analyse Mathdmatique, parte I, pag. 384- e seg.

(14)

I20 O. Z~r~BOS-I: Risoluzione, i~ serie seutplice, della lash'a rettaugolare

In particolare, essendosi cosl provata la eonvergenza in ogni caso di w, testa dimostrato che la nostra soluzione della lastra 6 c o m p l e t a m e n t e legit- tima nonostante sia stata o t t e n u t a per mezzo d i u n a serie non convergente.

P a s s i a m o ora alia discussione del comportamento delle espressioni delle azioni interne per y ~ a, e cominciamo dal momento torcente.

P e r sostituzione diretta si ha che il coefficiente del suo termine generale diviene :

1

= ~ (a senh 2n~ -- b senh 2n:¢) cosech ~ nX. 7~

Ossia, per n s u f f i c i e n t e m e n t e grande:

( a ' e - ~ _ b.e-~,~}

La serie esprimente M~ si pub c o n s i d e r a t e pereib come differenza di due serie trigonometriche, le quail a mmettono come serie maggioranti rispettivamente l e v e-2nc; ~ e-Zn~.

Essendo queste assai r a p i d a m e n t e convergenti, si stabilisce a maggior ragione la rapida, uniforme, ed assoluta convergenza di Mt anche per y ~ - a . P a s s a n d o ai due momenti flet~tenti, ~roviamo per sostituzione diretta di y ~--= a helle espressioni che loro compctono che, per entrambi il termine

p ( 1 + ~)

generale della serie reade con rapidith esponenziale a - 2rcn sen n~,.sen n~, tanto che, pr~tie~mente, si eon~onde con quest' ultimo gi~ p e r pieeoli valori d i n .

Siamo d u n q u e portati a studiare la:

1 v 1 nr:(x - - c) 1 ~ 1 n ~ ( x + c) .,x'-lsenn 7 . s e n n ~ - ~ . ~ - n c o s _~ h 2 _~ n C ° S - _h

ossia ad esaminare le due serie al sccondo membro, le quali sono c(,nvcr- genti u n i f o r m e m e n t e in tutti i punti salvo, la prima, in:

r~ h

(x - - c) = 0 ~ (x - c) = 2~

e la seeonda in:

ore divergono ('~).

h h (* + c) = 2=

(1"2} L . TONELLI~ IOC. cir., p a g . 4:2.

(15)

appoggirdct, sottoposta all" azione=di ,n,n carico concentrate comunque disposto 121

Di queste quattro condizioni se ne possono per noi verifieare soltanto due; e cio~ l ' u l t i m a , che non inte~essa perch~ d'h c = x-~- h e corrisponde al carico sull' appoggio, e la prima che d~ z = c.

D u n q u e anche le serie dei momenti flettenti convergono in tutti i p u n t i della lastra7 con eeeezione per il punto di applicazione della forza esterna, o~e divergono.

Cib si deve7 come appare da quanto ~ state esposto, alla Z -1 cos nT:(x__-- c)

~ h

che, per x-~-c, viene ad identifiearsi colla serie armonica.

Per questo fatto "i momenti flettenti in corrispondenza al carieo diven- gone infiniti di ordine logaritmieo; e eib ~ in eoneordanza colle nozioni generali che si posseggono in argomento {'~).

Restano infine da eonsiderai'e gli sforzi taglianti, per i quali, faeendo y ~ - a , si eonstata che i coeffieienti delle serie .trigonometriche non tendono a zero per n ~ , e percib (teor. di CANTOn ("}) viene a m a n e a r e la eonvergenza, salvo e v e n t u a l m e n t e per qualche punto delF intervallo x ~ 0 - - h .

Questo fatto va d u n q u e interpretato nel sense ehe le espressioni degli sforzi taglianti per y - - a costituiseono degli enti analitiei eomp]etamente r a p p r e s e n t a t i v i degli sforzi stessi 7 ma ehe perb essi non sono atti alla lore valutazione numerica.

L ' i n e o n v e n i e n t e pub eliminarsi in mode facile invoeando la s i m m e t r i a dei vincoli, ed eseguendo gli sviluppi in serie trigonometrica di y e rispetto alla luce 1.

Possiamo ciob scrivere, faeendo d i r e t t a m e n t e y = a:

i P , n~h n~:c~ 2n~cce n , x

Tx = "2__ Z eoseen --/--. senh ~ - - . sen ~/--. eosh l

I 2 P _ ~ nT:h . n=c~ 2nua ~7:x

T u --= ~ z cosecn --/--. senh ~ - - . sen - ~ - - . senh - - / - e queste sono convergenti t r a n n e ehe per ~---c.

Con questo artificio ] ' u n i e o pnnto in eui non possono essere ealeolati gli sforzi taglianti ~ il punto di applicazione del carico, ma gih si ~ visto per altra via ehe essi assumono qui valori infiniti del primo ordine.

D 7altronde sussistono le note ragioni per le quali, in tal punt07 e nel sue interne, il fenomeno reale non pub essere rappresentato dalle teorie elastiche; quindi il particolare comportamento dei momenti flettenti e dei tagli non dh luogo in effetto a n u l l a di grave.

(i3) A. NADAI 7 lee. eit., pagg. 587 627 877 96, 1077 202 e seg.

(14) L. TONELLI 7 IO(~. cit~, pag. 14.

A n a a l i di M a t e m a t i c a , S e r i e I F , ~ o m o X I X . 16

(16)

122 O. ZANAB0~: RisoluzioJ+e, in serie semplice, della lastra rettangolare

P e r terminare le eonsiderazioni tendenti a dimostrare che la ~v ~ l a soluzione effettiva, dobbiamo infine occuparci del[e eondizioni ai limiti e di quelle di equilibrio.

Le prime sono c e r t a m e n t e verificate l)erehb le posizloni iniziali e le suc- cessive determinazioni sono state p r e e i s a m e n t e is~ituite con tale premessa.

Nei riguardi delle second% e cio~ dell'equilibrio, si noti c h e l a w ~ funzione biarmonica, e quindi soddisfacente a l l ' e q u a z i o n e omogenea della lastra.

X~ ... !

I

l Fig. 2

II t h e ~ quanto dire t h e essa d~ luogo ad u n a soluzione equilibrata in tutti i punti, n e l l ' i p o t e s i di assenza assoluta di forze s u p e r f i c i a l i : e cib cor- risi)onde p e r f e t t a m e n t e al caso nostro.

In pifi noi dovremo provare che 1 ~equilibrio b assicurato nel punto di applicazione del carico concentrato.

P e r arrivare a questo, estragghiamo dalla lastra un rettangolo i cui lati siano paralleli ai b o r d i d i essa~ e che contenga in una posizione qualsiasi il punto di applicazione della forza esterna.

Si dovrh ovviamente verificare c h e l a somma di tutte le reazioni verticali che compaiono lungo i lati di tale rettangolo per effetto dei tagli pratieati,

sempre uguale a P.

Consideriamo le sforzo tagliante T~: per avere la risultante verticale esso dovri~ integrarsi, r i s p e t t o alla variabile x, lungo la retta y := t costi- tuente it lato sinistro del rettangolo (vedi fig. 2).

I limiti di integrazione sono daft dalle ordinate x = r ; x ~ = s , per cui risulta :

2 P Z • cos cos sen n'~.

In m a n i e r a analoga, considerato il taglio T~ lungo la retta z == u a destra

(17)

appoggiata, sottoposta all' azione di u n carico concentrato co,mu,~,que disposto 123

del punto di applicazione del carieo, si ottiene:

2 P ~ ( j , n u u [ n u s nur'~

~ • e o s n =~;- . / e O S - h n,~'.

-- --~: c o s ~ - ) . s e n

Osserviamo ehe per la determinazione della risultante questa seconda espressione va usata con segno cambiato, perch~ si riferisce ad u n a azione i n t e r n a sn una sezione che segue quella c u i si riferisce la prima azione.

Assunte poi le due espressioni di Tx, nella striscia di sinistra ed in quella di destra, integriamo la prima rispetto ad y tra i limiti t e d a, la seeonda rispetto a z tra i limiti u e b, e sommiamo.

Valutando indi questa risultante prima per x = r c poi per x = s, abbiamo le espressioni-:

21) v sen n7 e o s h n a - - e o s t t - ~ - ~(~I + eosh n ) - - e o s h ~ - .$3(~

- - - - 7 c ~ - - r e " O O S h

__ 2 P E s e n n 7 c o s h n z ~ - - c o s h - / ; - . g ( ~ ) + coshn~ - - e o s h - - h - .N(c~) cos

7: n h

di eui la seconda dovrh prendersi con segno invertito perchi~ relativa ad una sezione che ~ seguente rispetto a l l ' o r i e n t a m e n t o di x.

Tenendo conto di queste avvertenze sui segni, e sommando le quattro espressioni rieavate, si ha c h e l a risultante generale ~ data da:

2 P E 1 n u c [ n u t n u s \

--7:

n- cos--h- )

Ricordando che il taglio in una trave appoggiata di luee h, e con earieo concentrato P a l l ' a s c i s s a x - - c , ~ dato da (l~).

2 t ) 1 m c c n rcx

- - E - sen c o s - - - -

n - / ; - h

si ha subito che il primo dei due termini di cui ~ composta l ' e s p r e s s i o n e della risultante ~ il tagli 0 calcolato in un punto ~ c - - r precedente il carico /te quindi 6 uguale a P ( h - - C j ) h " t h e il seeondo termine 6 il taglio calcolato

( Pc)

nel punto x----s seguente il earieo e quindi ~ uguale a - - ~ - per eui, ese-

(~) Si ottiene immediatamente dalla espressione della freccia, che ~ quella da noi indicata con (2), ponendovi P in luogo di q, deri,¢ando tre volte risloetto ad x, e moltipli- cando per ~ _hr.

(18)

124 O. ZA~ABONI: Risoluzione, in serie semplive, della lastra reltangolare, ecc.

guita la differenza, si ottiene per la risultante il valore P, come doveva

e s s e r e .

Tutte le condizioni volute sono d u n q u e soddisfatte sia per la w~ t h e per l a w + , e si conclude per questo t h e esse eostituiscono insieme la effettiva soluzione riehiesta.

D ' a l t r a parte u n ealeolo semplice, sebbene u n po' lungo, dimostrerebbe ehe, sviluppando in serie d i seni le funzioni di y ehe compaiono entro n,~, w~, si ritrova la nota serie doppia trigonometrica eolla quale gi~t il NAVIEr~

risolse il probiema di cui ci stiamo oceupando.

Le due soluzicni sono d u n q u e identiche salvo la forma analitica in cui sono espresse.

T e r m i n i a m o avvertendo t h e qualsiasi altra condizione di vincolo della lastra pub trattarsi, sommando alla d e f o r m a t a espressa dalle (6}, u n a seeonda d e f o r m a t a per effetto di u n a opportuna distribuzio~qe di forze e coppie lungo il contorno della lastra stessa.

Pereib ogni discussione r i g u a r d a n t e i punti singolari, le diseontinuita, il campo di eonvergenza, ece., nella nuova condizione, b rieondotta ormai semplicemente alla considerazione della sola deformata aggiunta.