ESERCIZI SVOLTI IN AULA
1. Nell’Università dello stato della Louisiana di New Orleans sono state pubblicate alcune ricerche mediche sulle conseguenze del fumo ed è stato associato il fumo delle sigarette al cancro polmonare e ad altri effetti negativi. I produttori vogliono valutare gli effetti delle ricerche mediche sul consumo di sigarette da parte di fumatori adulti. Si suppone che le sigarette fumate siano in media 12 al giorno, con deviazione standard di 1,6. Dato un campione casuale di 169 fumatori adulti con media campionaria 10,6 sigarette al giorno, si chiede come dovrebbero essere l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa. Quale conclusione si può trarre con α=0.05 e in conformità con le ipotesi fatte ?
Le ipotesi da fare sono circa il valore medio di sigarette fumate al giorno e di conseguenza il test statistico da fare è sulla media.
H0 : μ=12 H1 : μ<12 l’ipotesi alternativa è unidirezionale a sx in quanto è stata osservata sul campione una media più bassa, per cui è lecito
supporre che siano diminuiti i consumi di sigarette.
Poiché la varianza della popolazione è nota (1,62) possiamo usare il test Z:
Il test è rifiutato se il valore della Z calcolata è minore di -zα : -11.38 < -1.645 per cui si rifiuta H0
2. Si consideri le macchine da imballaggio in una società che produce pomodori in scatole con una deviazione standard di 25 gr e si supponga che vengano effettuati controlli costanti dei pesi netti delle scatole. Sono stati prelevati due campioni in due giorni differenti e hanno fornito i seguenti dati:
primo campione n = 50 e media 400 gr secondo campione n= 45 e media 450 gr Con α=0.02 rispondere alle seguenti domande:
a. Si formuli l’ipotesi che, alla prima data, la macchina è stata regolata per contenere 430 gr;
b. Si formuli l’ipotesi che, alla seconda data, la macchina è stata regolata per contenere 430 gr;
c. Si formuli l’ipotesi che non c’è alcun cambiamento nella regolazione della macchina tra le due date.
Il primo punto si risolve svolgendo un test per la media sul primo campione (prima data):
H0 : μ=430 H1 : μ < 430
Come nell’esercizio precedente anche in questo caso è nota la varianza della popolazione, per cui si può utilizzare la statistica Z:
Il test è rifiutato se il valore della Z calcolata è minore di -zα : -8.48 < -2.07 per cui si rifiuta H0
Il secondo punto consiste nel porre a verifica che la media in realtà sia maggiore di quella ipotizzata:
H0 : μ=430 H1 : μ > 430 Quindi Z sarà uguale a :
Il test è rifiutato se il valore della Z calcolata è maggiore di zα : 5.37 > 2.07 per cui si rifiuta H0
Il terzo punto consiste nel confronto tra le medie di due campioni di cui si suppone essere uguale la varianza che è nota.
H0 : μ1=μ2 H1 : μ1 ≠ μ2
La statistica test da calcolare è:
Il test è rifiutato se il valore assoluto della Z calcolata è maggiore di zα :
7.87 > 2.07 per cui si rifiuta H0
3. Supposto che i pesi dei bambini di circa di 2 anni di età, di altezza 87.2 – 92.5 cm, siano distribuiti come una variabile normale con media 13 kg, si consideri un campione casuale di 10 bambini che hanno i seguenti pesi:
12.6 9.4 13.5 12.4 9.6 9.9 11.5 11.3 10.3 8.6
Si verifichi l’ipotesi che la varianza è uguale a 3kg.
Le ipotesi da testare riguardano la varianza della popolazione, che si suppone essere uguale a 3kg.
Il primo passo è calcolare la varianza campionaria corretta:
S2= 2.55
H0 : σ2 = 3 H1 : σ2 ≠ 3 La statistica test è la seguente:
Il test è rifiutato se il valore assoluto della Y calcolata è maggiore di Χα/2; n-1 : Y > Χ0.025;9 7.65 < 19.02 la relazione non è verificata per cui si accetta H0
4. In un’indagine sulla polvere contenuta nel gas di scarico di alcuni tir è stato ipotizzato che il peso della polvere era più variabile in una certa porzione X rispetto ad un’altra porzione Y. I due
campioni corrispondenti sono:
X = 83 75 22 69 83 47 90 37 33 90 99 Y = 36 24 24 52 66 38
Si testi l’ipotesi che le varianze siano uguali contro l’alternativa che la varianza di X sia maggiore di quella di Y.
Come nell’esercizio precedente è necessario calcolare le varianze campionarie corrette e poi usarle nel calcolo della statistica test F (confronto tra varianze).
Sx2
= 713.26 Sy2
= 270.4
Il test è rifiutato se il valore assoluto della F calcolata è maggiore di Fα/2; n-1; m-1 : F > F0.025; 10;5 2.64 < 6.62 per cui si accetta H0
