Calcolo 3 - 13 febbraio 2009
Esercizio 1
Si consideri la successione di funzioni:
fn(x) =
nxe−n3+n12 per |x| < 1n nxe−x2n + x2 per |x| ≥ n1
1. Determinare l’insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x).
2. Stabilire se la convergenza ´e uniforme su E ∩ (0, +∞) o su opportuni sottoinsiemi di E ∩ (0, +∞).
Soluzione:
a)E = IR, f (x) = x2.
b) fnnon converge uniformemente ad f in E ∩(0, +∞), ma converge uniformemente in ogni intervallo (0, a] con a > 0.
Esercizio 2
1) Sviluppare in serie di potenze la funzione
f (x) =
x + 3
2
23 +
x +2
3
32
2) Determinarne il raggio di convergenza.
3) Calcolare la derivata terza di f (x) nell’origine.
Soluzione:
1)
f (x) =
∞
X
n=0
"
3 2
23 2 3
n
2 3
n + 2
3
32 3 2
n
3 2
n# xn
2) R = 23
3) Questo risultato pu´o essere scritto in molti modi equivalenti. Ne riporto due soli:
f(3)(0) = 8 27
2 3
73
−3 8
3 2
32
= 3 r216
316 − r35
29
Esercizio 3
Sviluppare in serie di Fourier la seguente funzione periodica di periodo 2:
f (x) = x + 1
2, x ∈
−1 2, 0
; f (x) = x − 3
2, x ∈
0,3
2
.
Soluzione:
a0= −1
2, ak = 0, bk = − 2 kπ.
1
Esercizio 4
a) Posto:
Ly = y00− 2y0+ 2y, b(x) = −2(sin x − cos x)ex
determinare tutte le soluzioni di Ly = 0.
b) Determinare con il metodo degli annichilatori l’integrale generale di Ly = b specificando l’annichilatore di b.
c) Determinare, qualora esistano, tutte le soluzioni sia di Ly = 0 sia di Ly = b tali che lim
x→−∞y(x) sia finito.
Soluzione:
a) y(x) = c1excos x + c2exsin x, ci∈ IR.
b) A = D2− 2D + 2. y(x) = c1excos x + c2exsin x + xexcos x + xexsin x, ci∈ IR.
c) Tutte le soluzioni sia di Ly = 0 sia di Ly = b soddisfano la condizione richiesta.
Esercizio 3 bis
Considerate il sistema differenziale piano
x0 = y + αxe−y, y0= −x + βye−x. 1) Per quali valori di α e β il sistema ´e hamiltoniano?
2) Per α = β = −1, trovare tutti i punti di equilibrio del sistema e studiarne la stabilit´a.
Soluzione:
1) α = β = 0
2) L’unico punto di equilibrio ´e (0,0), che ´e asintoticamente stabile.
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