Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 3

Calcolo delle Probabilità 2012/13 – Foglio di esercizi 3

Probabilità condizionale e indipendenza.

Esercizio 1. Sia B un evento fissato di uno spazio di probabilità (Ω, A, P), con P(B) > 0.

Si mostri che P( · |B) è l’unica probabilità Q su Ω con le seguenti proprietà:

(a) Q(B) = 1;

(b) per ogni coppia di eventi E, F ⊆ B con P(F ) > 0 si ha ^Q(E)_{Q(F )} = ^P(E)_{P(F )}.

Esercizio 2. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test. Se la persona sottoposta al test è malata, il test dà sempre esito positivo (non ci sono dunque “falsi negativi”). Se invece la persona sottoposta al test è sana, il test dà (erroneamente) esito positivo con probabilità 0.01. Indichiamo con α ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione (cioè la frazione di persone malate). Si determini, in funzione di α, la probabilità p_α che una persona risultata positiva al test sia effettivamente malata. Si calcoli il valore trovato per α = 0.1, 0.01, 0.001 e se ne descriva il comportamento asintotico per α → 0.

Esercizio 3. Infilo in una busta tre carte: una ha entrambe le facce rosse, una le ha entrambe nere, una ha una faccia rossa e una nera. Con gli occhi chiusi, pesco una carta a caso e la depongo sul tavolo su una faccia a caso, quindi apro gli occhi. Se la faccia che vedo è rossa, qual è la probabilità che anche l’altra faccia sia rossa?

Esercizio 4. Ho una moneta A regolare e una moneta B truccata, per cui la probabilità di ottenere testa vale ³₄. Scelgo una moneta a caso, con uguale probabilità, e la lancio. Se esce testa, qual è la probabilità che la moneta scelta sia stata B?

Esercizio 5. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa essere descritto dallo spazio campionario di quattro elementi Ω = {M M, M F, F M, F F } — dove ab indica che il primogenito è di sesso a e il secondogenito di sesso b — munito della probabilità uniforme, cioè P ({M M }) = P ({M F }) = P ({F M }) = P ({F F }) = ¹₄. Ciò equivale ad assumere che ciascun figlio possa essere maschio o femmina con la stessa probabilità, indipendentemente dal sesso dell’altro figlio.

(a) Sapendo che il primogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il secondogenito lo sia?

(b) Sapendo che il secondogenito è maschio, qual è la probabilità che anche il primogenito lo sia?

(c) Sapendo che almeno un figlio è maschio, qual è la probabilità che anche l’altro lo sia?

Il sabato pomeriggio la madre esce a passeggio con uno dei due figli, mentre il padre resta a casa con l’altro. Supponiamo che la madre scelga il figlio con cui uscire in modo casuale.

(d) Se incontro la madre a passeggio con un figlio maschio, qual è la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio?

†Ultima modifica: 13 novembre 2012.

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(e) Come cambia la risposta al quesito precedente se invece la madre avesse una particolare predilezione per i figli maschi e pertanto decidesse sempre di uscire con un figlio maschio (quando ne ha uno; altrimenti esce con una delle due figlie)?

Esercizio 6. Da un’urna contenente n palline di cui k rosse e n − k verdi, con 1 ≤ k ≤ n − 1, si estrae una pallina e quindi, senza reimmetterla nell’urna, si estrae una seconda pallina.

Si calcoli la probabilità degli eventi A₁ := “la prima pallina estratta è rossa” e A₂ := “la seconda pallina estratta è rossa”. Essi sono indipendenti?

Esercizio 7. Quante volte è necessario lanciare un dado affinchè la probabilità di ottenere almeno un 6 sia maggiore o uguale a 0.5?

Esercizio 8. Ho a disposizione n ∈ N monete: la i-esima moneta dà testa con probabilità

i

n, per 1 ≤ i ≤ n. Scelgo una moneta a caso e la lancio k ∈ N volte.

(a) Qual è la probabilità p_n,k che esca sempre testa nei k lanci?

(b) Supponendo che sia effettivamente uscita sempre testa nei k lanci, qual è la probabilità (condizionata) q_n,k che esca testa anche al lancio successivo?

(c) Si calcoli il limite per n → ∞ (con k fissato) dei risultati ottenuti.

Esercizio 9. Consideriamo uno schema di n prove ripetute indipendenti con probabilità di successo p per ogni singola prova. Indichiamo rispettivamente con α_n,p e β_n,p le probabilità di avere almeno un successo ed esattamente un successo nelle n prove. In questo esercizio studiamo il comportamento asintotico di tali quantità per p ↓ 0 (con n fissato).

(a) Si mostri che α_n,p= np + a_np²+ O(p³) e β_n,p= np + b_np²+ O(p³) con a_ne b_ncostanti esplicite, che è richiesto di determinare.

(b) Si deduca che lim_p↓0αn,p/βn,p= 1. Che cosa significa intuitivamente questo risultato?

(c) Indicando con γ_n,p la probabilità di avere almeno due successi nelle n prove, si mostri che γ_n,p= ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ p²+ O(p³). Si dia un’interpretazione euristica di questo risultato.

Esercizio 10. Un commerciante acquista certe componenti elettriche in egual misura da due fornitori A e B. Viene a sapere che il 15% delle componenti provenienti da B è difettosa, cioè si rompono dopo poche ore di utilizzo, contro solo il 3% di quelle provenienti da A.

Il commerciante è in procinto di mettere in vendita una confezione tali componenti, tutte provenienti dallo stesso fornitore, ma di cui non ha registrato la provenienza. Per conoscerne la provenienza ne testa 20, di cui 2 risultano difettose. Con quale grado di confidenza può ritenere che la partita gli sia stata fornita da B?