CAPITOLO 5 – L’ANALISI STATICA 5.1 Il modello geometrico
La geometria della membrana permette di governare staticamente una notevole varietà e articolazione di forme. La membrana è solitamente foggiata secondo un paraboloide iperbolico, una forma largamente diffusa nelle odierne costruzioni tanto da divenire oramai una “moda”. Si tratta di una superficie regolare dotata di piano tangente in ogni suo punto.
Considerando un punto generico della superficie della membrana ed il piano tangente per esso, la normale a tale piano è anche la normale alla superficie. Se consideriamo ora il fascio proprio di piani che hanno per sostegno la normale, ciascuno di questi piani interseca la superficie secondo una certa curva che si chiama sezione normale della superficie. Così, al variare del piano varia la sezione normale e con essa varia il raggio di curvatura e quindi il corrispondente cerchio oscuratore. Il centro di curvatura non fa altro che spostarsi lungo la normale alla superficie in quel punto.
Si definisce curvatura gaussiana nel punto considerato il prodotto:
min 1 1 R R C MAX G = ×
dove RMAX è il raggio di curvatura massimo ed Rmin è il raggio di curvatura minimo
entrambi ricavati al variare delle sezione normale. Tali raggi si dicono anche principali. Ciò detto, si possono introdurre le seguenti definizioni:
• si dice punto ellittico un punto della superficie in cui i raggi di curvatura principali hanno lo stesso; una superficie formata tutta da tali punti (ad esempio, la sfera o l’ellissoide) si chiama superficie a curvatura gaussiana positiva;
• si dice punto parabolico un punto della superficie in cui uno dei raggi principali di curvatura è nullo; una superficie formata tutta da tali punti (ad esempio il cono od il cilindro) si chiama superficie a curvatura gaussiana nulla;
• si dice punto iperbolico un punto della superficie in cui uno dei raggi principali di curvatura è positivo e l’altro è negativo; una superficie formata tutta da tali punti (ad esempio il paraboloide iperbolico) si chiama superficie a curvatura gaussiana negativa;
La nostra membrana è una superficie a doppia curvatura, in particolare, a curvatura gaussiana negativa, quindi costituita tutta da punti iperbolici che prende anche il nome di superficie anticlastica.
5.2 Il modello meccanico
La membrana viene simulata come un guscio di spessore trascurabile realizzato con materiale elastico-lineare, omogeneo ed isotropo.
La superficie è priva di rigidezza flessionale e torsionale, per cui è soggetta in ogni suo punto a sollecitazioni appartenenti al piano tangente in quel punto alla superficie. La deformazione elastica non influisce nella determinazione delle caratteristiche di sollecitazione interne e quindi si può considerare la struttura inestensibile.
Tale modello meccanico non può essere ovviamente essere dissociato dalle strutture di bordo dove si applicano gli sforzi di pretensione delle funi, per cui i cavi di bordo devono essere opportunamente dimensionati in base alla sollecitazione che si vogliono introdurre nella membrana, tenuto conto della loro resistenza. Dal punto di vista architettonico, tali funi hanno una curvatura che conferisce una forma armoniosa ai lati della membrana. 5.3 Lo stato di tensione membranale
Riferendosi per semplicità ad una rete di funi staticamente equivalente ad una membrana, questa sotto l’azione di un carico esterno subirà una certa deformazione che verrà contrastata dal sistema di stabilizzazione della stessa.
La rete è costituita da due tipi di funi chiamate rispettivamente “fune portante” e “fune stabilizzante”; queste hanno curvature opposte e si scambiano una mutua azione per effetto della pretensione data alla rete. Quanto più si aumenta il numero di tali funi tanto più si ha una valida opposizione alla deformazione della rete. Ovviamente l’effetto massimo si realizza nelle membrane che costituiscono la situazione limite delle reti di funi al tendere all’infinito del numero delle stesse.
L’applicazione di un carico esterno diretto verso il basso comporta un aumento di tensione nella fune portante e un corrispondente decremento di tensione nella fune stabilizzante. Se il carico esterno diviene invece di depressione, cioè diretto verso l’alto, allora le rispettive funzioni, portante e stabilizzante, si invertono ma il meccanismo resistente rimane lo stesso.
5.4 Condizioni e combinazioni di carico
Le costruzioni possono essere sottoposte a forze di varia natura, intensità e distribuzione e per il loro calcolo, data la complessità, arbitrarietà e variabilità dell’azione di tali forze esterne, solitamente si fa riferimento a condizioni e combinazioni semplificate e convenzionali che però devono riprodurre stati di sollecitazione che siano non inferiori a quelli più gravosi conseguenti all’applicazione dei carichi effettivi.
Da un punto di vista generale, considerando le caratteristiche meccaniche del materiale e le azioni come funzioni stocastiche del tempo e dello spazio, è possibile valutare l’affidabilità di strutture o di elementi strutturali soggetti ad una singola azione o a più azioni concomitanti.
In generale, la combinazione delle azioni si differenzia a seconda se si fa una verifica agli stati limite ultimi o agli stati limite di esercizio. Operando secondo l’EC1 o il DM 16/01/1996, avremo: S.L.U. ∑ γGj Gkj + γP Pk + γQ1 Qk1 + ∑ γQi ψ0i Q ki j≥1 i>1 S.L.E. Combinazione rara: ∑ Gkj + Pk +Qk1 + ∑ ψ0i · Q ki j≥1 i>1 Combinazione frequente: ∑ Gkj + Pk +ψ11 · Qk1 + ∑ ψ2i · Q ki j≥1 i>1 Combinazione quasi permanente: ∑ Gkj + Pk + ∑ ψ2i · Q ki
j≥1 i>1 dove
Gkj = valore caratteristico della j-esima azione permanente
Pk = valore caratteristico della precompressione
Qk1 = valore caratteristico dell’azione variabile dominante
Q ki = valore caratteristico della i-esima azione variabile
γG, γP, γQ = coefficienti parziali per le azioni
Nel caso di una tensostruttura a membrana l’analisi dei carichi si riduce a considerare la sola azione permanente del peso proprio e l’unica azione variabile di base che è quella del vento, infatti, essendo la struttura facilmente rimovibile e a utilizzo temporaneo, è superfluo considerare azioni come la neve, il sisma o altre simili poiché la loro incidenza da punto di vista probabilistico è trascurabile. Le combinazioni da considerare sono:
S.L.U. ∑ γGj · Gkj + 1.5· Qk1 j≥1 S.L.E. ∑ Gkj +Qk1 j≥1 dove
Gkj = valore caratteristico del peso proprio
Qk1 = valore caratteristico dell’azione variabile del vento
Di conseguenza, per verificare la tensostruttura bisogna considerare oltre al peso proprio della struttura anche l’azione esercitata dal vento.
5.5 L’azione del vento: prescrizioni normative
Per calcolare l’azione che il vento esercita sulla tensostruttura, si sono utilizzate le Norme Tecniche per le Costruzioni del 2005, che costituiscono la normativa attualmente in vigore ma che relativamente alle azioni dovute al vento non presentano sostanziali differenze rispetto al DM 16/01/1996; le uniche diversità riguardano i valori dei coefficienti di forma e le modalità di introduzione della rugosità del terreno, considerata in modo esplicito nella nuova normativa.
Il vento è il movimento di una massa d’aria, provocato da differenze di pressione atmosferica, la cui velocità dipende dalla quota relativa e dalla rugosità del terreno.
In modo schematico tale norma prevede per il calcolo dell’azione del vento la seguente procedura:
1) caratterizzazione del sito
- definizione della zona (macrozonazione): valore della velocità di riferimento - definizione del periodo di ritorno: adeguamento della velocità di riferimento - coefficiente di esposizione e di topografia (microzonazione)
- definizione della velocità di picco
- definizione della pressione cinetica di picco 2) caratterizzazione della tipologia strutturale 3) caratterizzazione dell’opera specifica
Questa procedura è conforme per configurazioni e tipologie strutturali ordinarie, semplici e di limitata estensione. Per costruzioni di forma o tipologia non ordinarie, o di grande altezza o lunghezza, o di rilevante snellezza o leggerezza, o di notevole flessibilità e ridotte capacità dissipative, o per configurazioni strutturali speciali, l’azione del vento deve avere una trattazione specifica e può necessitare di adeguate prove sperimentali e/o indagini numeriche. Nel caso attuale, per avere una stima precisa dell’azione del vento agente sulla tensostruttura bisognerebbe procedere con una prova in galleria del vento mancando una trattazione specifica nella normativa vigente; ovviamente per l’impossibilità di tale sperimentazione si fa una stima approssimata utilizzando al meglio la normativa vigente.
Come si è schematizzato brevemente sopra, la stima dell’azione del vento parte dalla determinazione della velocità di riferimento vref che è definita come il valore massimo della
velocità media su un intervallo di tempo di 10 minuti, misurata a 10 metri dal suolo, su un sito di II categoria e con un periodo di ritorno di TR = 50 anni:
as = 700 metri (altitudine sul livello del mare di Potenza)
a0 = 500 metri (parametro che deriva dal fatto che la Basilicata si trova in zona 3).
Poiché as > a0, si ha: vref = vref,0 + ka· (as - a0 ), dove vref,0 = 27 m/s (zona 3), ka = 0,020 1/s,
per cui vref = 27 + 0,02 (700 – 500) = 31 m/s.
Nel caso in esame, si considera un periodo di ritorno pari a 50 anni e quindi la velocità di riferimento del vento vR (TR) = vref = 31 m/s.
La velocità media del vento vM del sito in esame fornisce, in funzione della quota
altimetrica z, l’andamento della velocità media del vento ed ha l’espressione:
vM (z) = kr ct α(z) vR (TR), dove in base alla categoria di esposizione del sito IV, avremo: kr = 0,22, z0 = 0,3 metri, z = 6 metri, α(z) = ln (z/z0) funzione che definisce la forma base
del profilo delle velocità con la quota z = 2,996, ct = coefficiente di topografia = 1, per cui:
La velocità di picco del vento vp (z) tiene conto degli incrementi di velocità relativi a
fenomeni di raffica e vale: vp (z) = cev · vR (TR) nella zona di categoria IV zmin = 8 metri, ed
essendo z < zmin, allora cev (z) = cev (zmin) = 1,28 per cui vp (z) = 1,28 · 31 = 39,68 m/s.
Ora si calcola la pressione cinetica di picco q(z):
q(z) = ½ ρ vp(z)², con ρ = 1,25 kg / m³ densità dell’aria, per cui
q(z) = ½ · 1,25 · (39,68)² = 984,064 N/m²
Per calcolare l’azione statica equivalente del vento ci si pone nel caso delle tettoie e pensiline, muri e parapetti, torri a traliccio; la pressione netta sulla superficie è definita come:
w = cp · cd · q dove
q = pressione cinetica di picco = 984,064 N/m², cd = coefficiente dinamico = 1,
cp = coefficiente di pressione netta che deve essere ricavato da dati suffragati da opportuna
documentazione o da prove sperimentali in galleria del vento. In mancanza di prove sperimentali poniamo cp = 1 valore altamente cautelativo per cui:
w = 1 · 1 · 984,064 = 984,064 N/m².
Per calcolare la forza totale esercitata dal vento su ogni elemento di membrana della tensostruttura, questa viene divisa nei suoi elementi fondamentali.
Le sei superfici laterali che formano le punte della stella sono di 29,61 m² e quindi F1 = w · S1 = 984,064 · 29,61 = 29˙138,135 N.
Le superfici dell’esagono centrale hanno invece superficie pari a 22,11 m² e cioè: F2 = w · S2 = 984,064 · 22,11 = 21˙757,655 N.
A questo punto abbiamo la forza che il vento esercita sulla copertura e quindi mediante un qualunque codice di calcolo automatico è possibile verificare la risposta statico-deformativa della struttura.
5.6 Analisi semplificata: lo stato di tensione nella membrana
Per valutare l’azione del vento sulla membrana si suppone che quest’ultima sia inestensibile e disposta inizialmente secondo una superficie piana triangolare vincolata solo in corrispondenza dei vertici di tale triangolo. Tali ipotesi sono estremamente cautelative.
L’equilibrio di un elemento superficiale di membrana, in direzione perpendicolare alla superficie, è espresso dall’equazione:
p R N R N + = 2 2 1 1
in cui N1 ed N2 sono gli sforzi membranali secondo le direzioni principali 1 e 2, R1 ed R2 i
raggi di curvatura principale corrispondenti e p è la pressione esercitata dal vento (Benvenuto [4], 1981).
Per il calcolo delle sollecitazioni, in via approssimata, si suppone che per effetto del vento l’elemento piano di membrana si disponga su una superficie sferica. In tali condizioni, poiché N1 = N2 = N ed R1 = R2 = R, lo sforzo nella membrana assume la nota
espressione: N = pR 2.
Supponendo che il baricentro di ciascun triangolo subisca uno spostamento massimo 35 / 30 / 0 , 20 cm=h =l =
δ , valore ammissibile per le membrane pretese, il raggio della sfera risulta R=(h2 /3+δ2)/(2⋅δ)=4010.0cm.
Ponendo nell’espressione precedente p=100Kg/m2 =0,1N/cm2, il valore dello sforzo
membranale N risulta: cm N R p N= 2=0,1×4010,0/2=202.05 /
valore molto piccolo se confrontato con la tensione di rottura delle fibre di vetro che costituiscono la parte resistente delle membrane e il cui carico di rottura è in genere compreso fra 2,8 e 4,6 kN/mm2.
5.7 Analisi semplificata: lo stato di tensione nelle funi di bordo
Una volta noto il valore N, è possibile calcolare il valore del tiro da applicare alle funi di bordo. Ricorrendo all’equazione che esprime l’equilibrio dei fili inestensibili, si ha:
c c
R N p'= ,
in cui p’=N, Nc è lo sforzo incognito nel cavo ed Rc il suo raggio di curvatura.
Per i cavi relativi ad un terzo di struttura, i raggi di curvatura risultano R1 =R2 = 8,38
metri e R3 =R4 = 8,03 metri e quindi si trovano:
Nc3 = Nc4 = N×R2 = 202,05×803 = 166246 N
Prendendo il valore più grande che in questo caso è Nc1=Nc2 e moltiplicando per il coefficiente di sicurezza η = 2 si ottiene il carico di rottura di progetto della fune:
Nr = η Nc = 2×169318 = 338636 N,
valore che si può far corrispondere ad un piccolo cavo spiroidale in acciaio zincato ad anima tessile di opportuno diametro nominale. A titolo di confronto, la tensione di rottura dei fili d’acciaio di questi cavi è compresa fra i valori 1770 e 1860 kN/mm2.
5.8 Analisi semplificata: predimensionamento della struttura di contrasto
Le figure 14 e 15 successive mostrano la struttura di contrasto prevista per la costruzione in esame.
Fig. 15: La struttura di contrasto in prospetto
Grazie alla simmetria rotazionale dell’intera struttura per il predimensionamento della struttura di contrasto consideriamo un terzo come mostrato nella figura 16 seguente:
Fig. 16: Struttura di contrasto di un terzo di struttura
Bisogna dimensionare le aste a, b, c, d ed e che convergono nel nodo A poiché le restanti aste sono scariche, per fare ciò consideriamo concentrato in tale nodo il carico proveniente dal pannello 1, 2, 3 e 4. Tali carichi sono generati dal vento, agiscono perpendicolarmente alle superfici e valgono:
P1 = 29˙138,135 N = (-7˙930; 17˙400; 21˙980), P2 = 29˙138,135 N = (19˙030; -1˙830; 21˙980), P3 = 21˙757,655 N = (3˙170; 6˙690; 20˙450), P4 = 21˙757,655 N = (-7˙380; 600; 20˙450).
Nel nodo A facciamo agire un terzo di ogni forza e quindi abbiamo nelle tre direzioni x, y e z i seguenti valori di carico: PAx = 2˙296,67 N, PAy = - 3˙980 N e PAz = 28˙286,67 N.
Per determinare gli allungamenti di ciascuna asta utilizziamo la relazione
2 1 =(lix⋅u+liy ⋅v+liz⋅w)/li
ε
Nella struttura analizzata le lunghezze e le rispettive proiezioni sugli assi x, y e z sono: la = 9,1651 m = (-3,4640; -6,0000; -6,0000),
lb = 7,3637 m = (-6,9268; 0,0000; -2,4988), lc = 7,0733 m = (-3,4640; 6,0000; -1,4258), ld = 7,3637 m = (3,4644; 5,9997; -2,5000), le = 9,1651 m = (6,9275; 0,0000; -6,0000). Gli allungamenti sono:
2 1651 , 9 ) 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 ( u v w a = − ⋅ − ⋅ − ⋅ ε 2 3637 , 7 ) 4988 , 2 9268 , 6 ( u w b = − ⋅ − ⋅ ε 2 0733 , 7 / ) 4258 , 1 0000 , 6 4640 , 3 ( u v w c = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ε 2 3637 , 7 / ) 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 ( u v w d = ⋅ + ⋅ − ⋅ ε 2 1651 , 9 / ) 0000 , 6 9275 , 6 ( u w e= ⋅ − ⋅ ε
Per calcolare lo sforzo assiale in ogni asta lo mettiamo in relazione con gli allungamenti prima trovati e l’espressione che lega le due grandezze è Ni = (EA)i εi in cui il modulo di Young è lo stesso per tutte le aste E = 2,1·1011 N/m² mentre l’area trasversale vale A1 = 0,0585 m² per le aste a ed e mentre A2 = 0,0153 m² per le restanti b,c e d.
Per ogni asta lo sforzo sarà dato da:
(
)
(
)
(
)
a az ay ax N w v u EA N w v u EA N w v u EA N ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − = 1615 , 9 6 1651 , 9 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 1615 , 9 6 1651 , 9 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 1615 , 9 464 , 3 1651 , 9 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 2 1 2 1 2 1(
)
(
)
(
)
b bz by bx N w u EA N w u EA N w u EA N ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ⋅ ⋅ − ⋅ − = = ⋅ ⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − = 3637 , 7 4988 , 2 3637 , 7 4988 , 2 9268 , 6 0 3637 , 7 0000 , 0 3637 , 7 4988 , 2 9268 , 6 3637 , 7 9268 , 6 3637 , 7 4988 , 2 9268 , 6 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
(
)
c cz cy cx N w v u EA N w v u EA N w v u EA N ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = 0733 , 7 4528 , 1 0733 , 7 4258 , 1 0000 , 6 4640 , 3 0733 , 7 0000 , 6 0733 , 7 4258 , 1 0000 , 6 4640 , 3 0733 , 7 4640 , 3 0733 , 7 4258 , 1 0000 , 6 4640 , 3 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
(
)
d dz dy dx N w v u EA N w v u EA N w v u EA N ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = 3637 , 7 5000 , 2 3637 , 7 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 3637 , 7 9997 , 5 3637 , 7 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 3637 , 7 4644 , 3 3637 , 7 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
(
)
e ez ey ex N w u EA N w u EA N w u EA N ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⋅ ⋅ − ⋅ = = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = 1651 , 9 0000 , 6 1651 , 9 0000 , 6 9275 , 6 0 1651 , 9 0000 , 0 1651 , 9 0000 , 6 9275 , 6 1651 , 9 9275 , 6 1651 , 9 0000 , 6 9275 , 6 2 1 2 1 2 1Ora imponendo l’equilibrio del nodo A nelle direzioni x, y e z, otteniamo un sistema lineare di tre equazioni ne gli spostamenti incogniti u, v e w nelle direzioni x,y e z :
• ∑ Nix + Fx = 0 • ∑ Niy + Fy = 0 i=1, n • ∑ Niz + Fz = 0
Nel nostro caso avremo:
0 67 , 2296 1651 , 9 9275 , 6 ) 1651 , 9 ( 0000 , 6 9275 , 6 3637 , 7 4644 , 3 ) 3637 , 7 ( 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 0733 , 7 4640 , 3 ) 0733 , 7 ( 4258 , 1 000 , 6 4640 , 3 3637 , 7 9268 , 6 ) 3637 , 7 ( 4988 , 2 9268 , 6 1615 , 9 464 , 3 ) 1651 , 9 ( 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − − − ⋅ w u EA w v u EA w v u EA u w u EA w v u EA 0 3980 3637 , 7 9997 , 5 ) 3637 , 7 ( 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 0733 , 7 0000 , 6 ) 0733 , 7 ( 4258 , 1 000 , 6 4640 , 3 1615 , 9 0000 , 6 ) 1651 , 9 ( 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 2 2 2 2 2 1 = − ⋅ − + ⋅ + ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − − − ⋅ w v u EA w v u EA w v u EA
0 67 , 28286 1651 , 9 000 , 6 ) 1651 , 9 ( 0000 , 6 9275 , 6 3637 , 7 5000 , 2 ) 3637 , 7 ( 5000 , 2 9997 , 5 4644 , 3 0733 , 7 4258 , 1 ) 0733 , 7 ( 4258 , 1 000 , 6 4640 , 3 3637 , 7 4988 , 2 ) 3637 , 7 ( 4988 , 2 9268 , 6 1615 , 9 0000 , 6 ) 1651 , 9 ( 0000 , 6 0000 , 6 4640 , 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 = + − ⋅ − ⋅ + − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − − − ⋅ w u EA w v u EA w v u EA u w u EA w v u EA
Semplificando si ottiene il sistema seguente:
0,00737 · u + 0,00147 · v – 0,00108 · w + 0,000000011 = 0 0,00148 · u + 0,00566 · v + 0,0018 · w – 0,000000019 = 0 0,00104 · u + 0,00179 · v + 0,00605 · w + 0,000000135 = 0 e gli spostamenti nelle tre direzioni x, y e z rispettivamente sono: u = - 0,00000839 m, v = 0,0000143 m, w = - 0,0000276 m.
Ora con questi valori si possono ricavare gli allungamenti e di conseguenza gli sforzi nelle aste che risultano allora:
εa = 0,0000013 m Na = 15˙970 N εb = 0,0000023 m Nb = 7˙528 N εc = 0,0000024 m Nc = 7˙631 N εd = 0,0000012 m Nd = 3˙768,85 N εe = 0,00000049 m Ne = -6˙068,79 N
A questo punto concentriamo l’attenzione sull’asta parabolica b della quale facciamo la verifica di resistenza. Nel seguito è riportata l’asta riferita al sistema di riferimento locale x,y e sottoposta allo sforzo di trazione trovato prima Nb:
Nel riferimento locale x,y l’equazione dell’asse parabolic0 è y = - 0,0537 x2 + 2,4982,
il vettore t tangente alla parabola è:
2 0115 , 0 1 1 1074 , 0 1 x x⎥⎦⋅ + ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = t ,
il vettore n normale alla parabola è:
2 0115 , 0 1 1 1 1074 , 0 x x + ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = n .
Per definizione lo sforzo normale, il taglio e il momento flettente in un punto dell’asta sono rispettivamente: N = Nb t, T = Nb n, M = d x Nb con Nb = 7528 N = (7˙081; 2˙555) e d distanza dal punto della retta di azione di Nb che in funzione di x vale:
3637 , 7 | 00417 , 0 4988 , 2 372 , 0 |− 2 − − = x x d ,
da qui le espressioni in funzione di x dello sforzo normale, del taglio e del momento flettente: 2 0115 , 0 1 7081 407 , 274 x x N + + − = , 2 0115 , 0 1 2555 499 , 760 x x T + + = , M = 1022,29 (-0,3720x2 -2,4988x -0,0042). I grafici delle caratteristiche di sollecitazione sono riportati di seguito.
La verifica di resistenza dell’asta la si effettua nel punto più sollecitato. Derivando le espressioni trovate si trovano i punti in cui tali grandezze sono massime:
Nmax = 7˙529,10 N nel punto P (-3,3698; 1,8884)
Tmax = 2555 N nel punto P (0; 2,4988)
Mmax = 4˙285,27 N·m nel punto P (-3,3698; 1,8884)
La tensione normale massima σzmax è data dall’espressione di Navier:
σzmax = max max ymax
J M A N x ⋅ + = 0,77 · 108 N/m2
la tensione tangenziale massima τmax è data dalla formula di Jourawski:
τmax = x x J b S T ⋅ ⋅ max = 0,3134 · 108 N/m2,
La tensione ideale secondo il criterio di von Mises è 2 8 max max 3 0,83 10 m N id = σ + τ = ⋅ σ
Fig. 12: Andamento dello sforzo Normale e del Taglio
Fig. 13: Andamento del Momento Flettente
Secondo il DM del 9 gennaio 1996 la resistenza di calcolo fd per un acciaio Fe360 è
