Capitolo 9
Analisi della vorticità cinematica.
9.1 Vorticità cinematica.
Uno stress orientato applicato su una roccia provoca la deformazione e la distorsione degli oggetti di cui è composta. Durante la deformazione di un volume di roccia, il movimento d’insieme delle particelle materiali che lo compongono è detto flusso. Generalmente in natura il flusso è di tipo inomogeneo, ma a scale opportune il flusso può essere considerato omogeneo, permettendo una descrizione numerica.
In tutti i tipi di flusso omogeneo si possono riconoscere tre direzioni caratterizzate da un tasso di
stretching minimo, medio e massimo, chiamate ISA, Instantaneous Stretching Axes (Passchier
1990; 1991a) sempre ortogonali fra loro. Ci sono linee che si accorciano e linee che si allungano in relazione alla posizione rispetto agli ISA, cioè ci sono due settori nell’ellissoide della deformazione caratterizzati da estensione e due da raccorciamento (fig. 1) e ai limiti dei due campi distinti le linee rimangono di lunghezza costante con la componente della velocità angolare nulla se si ha a che fare con taglio semplice, mentre con taglio puro le linee non interessate da rotazione sono parallele e ortogonali agli ISA.
Si possono riconoscere due tipi di flusso:
• coassiale, le linee materiali parallele agli ISA non ruotano rispetto ad essi;
• non-coassiale, in cui queste linee hanno una rotazione. Quest’ultimo può essere scomposto in una componente coassiale e una rotazionale conosciuta come vorticità del flusso (Means et al., 1980; Lister e Williams, 1983; Passchier, 1990; Passchier 1991) (fig. 1).
La deformazione per plane strain a volume costante di un corpo in due dimensioni può essere descritta utilizzando il gradiente del tensore L’ (Malvern, 1969) che trasforma analiticamente le coordinate di una particella dallo stato iniziale a quello finale. La matrice L’ si può essere espressa
dalla somma di due matrici, una che descrive le componenti simmetriche (D) del tensore L’ e una che descrive quelle asimmetriche (W’) (Passchier e Trouw, 1996).
La prima matrice, chiamata anche tensore di stretching, dà indicazioni sul tasso di stretching istantaneo e sulla direzione degli ISA tramite, rispettivamente, gli autovalori (d1, d2 e d3) e gli autovettori della matrice. La matrice W’ esprime la componente non coassiale della deformazione e dà indicazioni sul vettore vorticità w. Può essere scomposta in vorticità, se si prende in
a
b
Fig. 1 A sinistra: distribuzione spaziale delle linee materiali. Le frecce indicano velocità angolare (vettore) e senso di stretching rate. In grigio sono rappresentate le aree sottoposte a raccorciamento, in bianco quelle in estensione. A destra: posizione degli ISA. FA:
fabric attractor, direzione verso la quale gli elementi sono attratti dal campo di stress applicato. Le due figure in alto rappresentano il flusso da taglio puro, quelle in basso da taglio semplice (fig. da Passchier e Trouw, 1996).
considerazione un sistema di riferimento interno (gli ISA), mentre se si prende un sistema di riferimento esterno si parla di spin (Lister e Williams, 1983; Means 1994) per indicare la velocità angolare degli ISA (fig. 2).
In un sistema ISA la componente non coassiale del flusso può essere normalizzata al tasso di strain al fine di ottenere un numero adimensionale da poter confrontare le diverse tipologie di flusso. Viene così definito il kinematic vorticity number Wn = W/│d2-d3│ (Passchier, 1987; 1990; 1991; Robin e Cruden, 1994) con W che rappresenta la vorticità, cioè la somma delle velocità angolari (ω1+ω2) di due linee materiali e d2-d3 indicante il tasso di stretching. Wn indica il rapporto tra la componente coassiale e quella non-coassiale del flusso.
Il taglio puro viene quindi definito da Wn = 0 e il taglio semplice da Wn = 1, mentre le condizioni intermedie si ricavano mediante il grafico di Law et ali (2004), che mette in relazione i valori di W con le percentuali di taglio puro e taglio semplice (fig. 3).
9.2 Metodo dei naked rigid grains.
Il metodo più diffuso e di semplice da applicazione è quello dei naked rigid grains, che utilizza l’orientazione e il rapporto assiale dei grani rigidi indipendentemente dalla presenza di code di ricristallizzazione.
A partire dal modello analitico di Jeffrey (1922), Gosh e Ramberg (1976) e Passchier (1987) applicano il metodo basandosi su due assunzioni:
• I porfiroclasti si comportano come oggetti rigidi immersi in una matrice viscosa di tipo newtoniano a deformazione costante.
• La deformazione è omogenea e l’interazione clasto/matrice è nulla.
Il secondo punto non è sempre vero in quanto Mancktelow et al. (2002), hanno dimostrato che oggetti romboidali e allungati (R≈5) tendono a stabilizzarsi nonostante una deformazione per taglio semplice, proprio grazie a una interazione matrice/clasto.
L’errore che si commette durante l’intera analisi, tenendo conto dello studio su sezioni bidimensionali e della dispersione dei punti plottati nei grafici, rappresentanti le misure necessarie all’analisi (vedi in seguito), è valutato nell’ordine di circa ±0,1 (Tikoff e Fossen, 1995).
Fig. 3 Relazione tra le componenti di taglio semplice e taglio puro rispetto al valore di vorticità cinematica media Wm per un flusso istantaneo (modificato da Law et al., 2004).
9.2.1 Applicazione del metodo naked e/o rigid grains (NRG).
A partire dalle equazioni di Gosh e Ramberg, (1976) e Passchier, (1987), per i winged grains, cioè i porfiroclasti con code di ricristallizzazione, Wallis et al., (1993) propongono che anche i naked
grains, porfiroclasti privi di code, possano essere utilizzati per il calcolo della vorticità cinematica.
L’analisi consiste nel calcolare il rapporto assiale dei grani (R) e l’angolo θ formato dall’asse maggiore del grano con la foliazione milonitica, intesa come parallela ai limiti della zona di taglio. Questi dati vengono proiettati su un grafico al fine di ottenere il rapporto assiale critico Rc (Wallis, 1992; Wallis et al., 1993) (fig. 4) che discrimina il campo in cui i grani continuano a ruotare da quello in cui raggiungono una posizione stabile.
Tuttavia non tutti i grani presenti in sezione sottile possono essere utilizzati. Occorre infatti applicare alcune discriminanti che limitano la scelta escludendo i granuli nei casi in cui siano presenti:
• interazione fra grani contigui;
• dimensioni troppo piccole del granulo rispetto alle dimensioni della matrice (min 3:1 secondo Passchier 1998b);
• deformazione plastica nei grani;
• meccanismi di pressure solution, che allungano i grani parallelamente alla foliazione; • presenza di mirmechiti o bordi di reazione.
Inoltre sono da scartare i campioni che presentano le seguenti strutture: deformazione eterogenea, come le strutture S/C o S/C’ e/o crenulazioni successive alla deformazione di taglio.
Altri errori oggettivi si introducono durante la misurazione degli assi e dell’orientazione del granulo e nel taglio della sezione sottile, che difficilmente potrà essere perfettamente orientata parallelamente alla lineazione e quindi ortogonalmente al vettore vorticità
Per cercare di quantificare un minimo l’errore vengono scelti due valori di Rc (Rcmin e Rcmax in fig. 4), ricavati soggettivamente prendendo come limite rette verticali passanti per i punti di flesso delle curve di inviluppo che racchiudono la nube dei punti proiettati (fig. 4), che, inseriti nella formula Wm = Rc2–1/Rc2+1 (Passchier, 1987; Wallis et al., 1993), forniscono un valore minimo e uno massimo di vorticità cinematica media Wm.
La scelta degli Rc rimane comunque soggettiva, quindi occorre seguire la stessa procedura per ogni campione analizzato, al fine di limitare l’errore umano.
Una prima assunzione è quella di ritenere il grafico simmetrico rispetto all’asse y, ma questo non è sempre vero perché nei sistemi naturali le variabili sono praticamente infinite e la simmetria non è sempre rispettata se non in alcuni casi limite. Un’altra scelta deve essere effettuata sui grani che
presentano valori ad alto R e alto θ, cioè se sono troppo isolati e lontani dagli altri punti nel grafico, non sono rappresentativi.
La scelta definitiva degli Rc minimo e massimo rimane in ogni caso soggettiva, specialmente quando la dispersione dei punti nel grafico è piuttosto pronunciata.
9.2.2 Risultati ottenuti col metodo naked rigid grains.
Il metodo naked rigid grains è stato applicato sia in maniera manuale, sia in maniera semi-automatizzata tramite l’utilizzo del programma Imagej.
9.2.3 Risultati di Wm da dati manuali.
Utilizzando il microscopio ottico sono stati misurati l’asse massimo e l’asse minimo dei grani ritenuti idonei (vedi 6.5) tramite il reticolo presente negli oculari, e l’angolo formato tra l’asse massimo e la foliazione milonitica principale, ruotando il piatto del microscopio. La quasi totalità dei grani utilizzati sono feldspati. Una volta scelti opportunamente i valori di Rc minimo e massimo (vedi 6.5) è stata calcolata la vorticità cinematica media Wm (Passchier, 1987; Wallis et al., 1993) (figg. 5 e 6).
Fig. 4 Grafico nel quale sono plottati i rapporti assiali dei grani (asse x) e l’angolo formato dall’asse massimo del grano con la foliazione milonitica circostante (asse y). L’esempio si riferisce alla sezione ros1 con i dati ottenuti manualmente (vedi testo).
I valori di vorticità ottenuti (fig. 6) indicano che la deformazione è caratterizzata da una combinazione di taglio puro e taglio semplice. Il taglio puro sembra comunque ridursi spostandosi dalla zona di taglio sinistra (ros1) alla zona di taglio destra (ros8 e ros9), dove si raggiungono percentuali di taglio semplice leggermente superiori al 50%.
Fig. 5 Dati manuali sulla vorticità cinematica media. In rosso sono indicati i valori di Wm ottenuti con Rc minimo, in verde invece sono visualizzati quelli con Rc massimo (dati presi dalla figura successiva) (grafico modificato da Law et al., 2004).
Fig. 6 Grafici rappresentanti i rapporti assiali dei grani in relazione all’angolo formato con la foliazione principale sezione per sezione. In basso a destra sono riepilogati gli Rc1 (minimo)e Rc2 (massimo) dedotti dai grafici e i relativi valori di Wm manuale.
9.2.4 Risultati di Wm da Imagej.
L’obiettivo di questa analisi è stato quello di automatizzare il metodo per cercare di velocizzare le analisi, la cui acquisizione dei dati è piuttosto lunga. I dati ottenuti con questo metodo sono stati poi confrontati con quelli ottenuti manualmente. Il procedimento utilizzato è stato descritto nel capitolo 6.5.1. I parametri acquisiti con questo procedimento, analoghi a quelli che si adoperano con l’analisi manuale, danno valori di Wm leggermente più bassi, ma confermano la diminuzione della percentuale di taglio puro spostandosi da ros1 (≈70%) a ros9 (<50%) (figg. 7 e 8).
Fig. 7 Dati da Imagej sulla vorticità cinematica media. In rosso sono indicati i valori di Wm ottenuti con Rc minimo, in verde invece sono visualizzati quelli con Rc massimo (dati presi dalla figura successiva) (grafico modificato da Law et al., 2004).
Fig. 8 Grafici rappresentanti i rapporti assiali dei grani in relazione all’angolo formato con la foliazione principale sezione per sezione. In basso a destra sono riepilogati gli Rc1 (minimo)e Rc2 (massimo) dedotti dai grafici e i relativi valori di Wm da Imagej.
Confrontando i risultati ottenuti dalla misura manuale e da quella automatica emerge che il valore di Wm ottenuto manualmente è mediamente più elevato rispetto a quello ottenuto con Imagej (fig. 9).
La differenza media fra l’analisi manuale e l’analisi con Imagej, stimata in circa 6,5%, è probabilmente da ricondurre all’elaborazione grafica dell’immagine, utilizzata per l’analisi con Imagej, contenente il layer dei porfiroclasti (fig.11 del capitolo 6.5).
9.3 Metodo oblique grain shape-quartz c-axis fabrics.
Il metodo si basa sulla determinazione dell’orientazione dell’asse c del quarzo e sulla presenza di una foliazione obliqua all’interno dei nastri di quarzo. Una volta individuati l’angolo acuto α formato tra due linee a rotazione istantanea zero (flow apophisis) e l’angolo acuto θ che queste linee formano con gli ISA e l’orientazione degli ISA, si può ricavare il valore di vorticità cinematica istantanea con la formula Wk = sin2θ (Passchier, 1998b).
Fig. 9 Confronto tra i dati ottenuti tramite analisi manuali e tramite analisi dell’immagine con Imagej. Si notano due evidenze: la prima è la stima del valore di Wm da dati manuali, più elevato per tutte le sezioni ad eccezione di ros4, la seconda è il trend positivo di entrambe le analisi a partire dalla zona di taglio sinistra verso quella destra (da ros1 a sinistra del grafico a ros9 a destra del grafico).
L’angolo θ è il risultato della somma tra l’angolo β (figg. 10 e 11), ricavato dalle proiezioni stereografiche dell’asse c del quarzo e rappresentante l’angolo fra la foliazione e il piano di flusso, e l’angolo massimo tra la foliazione obliqua (Sa) e la foliazione principale (Sb).
Wk = sin2θ θ = β + (Sa˄Sb)max
La presenza di una foliazione obliqua è il risultato di una ricristallizzazione dinamica di nuovi grani di quarzo durante vari incrementi di deformazione.
9.3.1 Scelta dei nastri.
Sono stati analizzati due nastri per ogni sezione sottile, scelti in base ai seguenti criteri:
• lontani dai margini della sezione a causa della difficoltà di analizzarli con la piattaforma universale;
• lontani dai porfiroclasti che modificano il campo di strain nelle loro vicinanze;
• rappresentativi della popolazione dei nastri presenti, sia per dimensioni che per forma.
Fig. 10 Descrizione dello stereonet utilizzato per la stima della vorticità cinematica istantanea. Il fabric skeleton e composto dal leading
9.3.2 Misurazione dell’angolo (Sa˄Sb max).
L’angolo massimo tra la foliazione obliqua e la foliazione milonitica principale (Sa˄Sb) è stato determinato creando un istogramma nel quale sono stati proiettati in ascissa l’angolo formato
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