2VQ= non cambia al variare di . Il problema consiste nel trovare il valore di che rende massimo

Si abbia un parallelo di due reattori di ugual volume ma di tipo diverso, ad esempio un CSTR ed un PFR:

Si vuole trovare la ripartizione ottimale delle portate nei due rami.

Siano Q

1

e Q

2

le portate nei due rami, Q = Q

₁

+ Q

₂

la portata complessiva da elaborare, C

0

la concentrazione in ingresso, e V il volume di ciascun reattore. Si definisce il grado di conversione come al solito:

0 0

C C

x C

= −

In uscita avremo un grado di conversione pari a:

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

Q x Q x Q x Q x

x Q Q Q

+ +

= =

+

Conviene definire la frazione α della portata totale che attraversa il primo reattore. Si ha

( )

1

;

2 1

1

Q = α Q Q ≡ Q Q − = − α Q da cui

( )

1

1

2

x = α x + − α x (1)

Definiamo i tempi di residenza come:

1 2

1 2

V ; V

Q Q

τ = τ =

Essi cambiano al variare di α , mentre il tempo di residenza nell’intero sistema, τ = 2V Q _non cambia al variare di α .

Il problema consiste nel trovare il valore di α che rende massimo x . 1

2

CINETICA DEL PRIMO ORDINE A 

r

→ B , r = kC

_A

Riportiamo le equazioni di progetto CSTR:

₁ ¹

1

Da

x = 1+Da ; PFR:

Da queste, sostituendo nella (1), si ha

( ) (

^Da2

1

1

Da 1 1

x = α 1+Da + − α − e

⁻

Esprimiamo ora i due numeri di Damköhler

1 1

1

Da Da

2

V V

k k k

Q Q

τ α α

= = = =

dove abbiamo definito la costante trovare, dopo qualche manipolazione

( )

Da

Da

2 2

1 1

2 Da

x α e

α α

−



−



= + −  − 

+  

Da è il numero di Damköhler per l

( ) (

Da

Da

2 2

Da

1 1

2 1

dx e

d

α

α α

− −

 

=  +  + −

 − 

La (3), in linea teorica, si può uguagliare a zero e osserva che sia per Da → 0 che per

una indifferenza del problema rispetto interessanti dal punto di vista processistico.

La soluzione della (3) si deve trovare per via iterativa.

punti in funzione α per diversi valor

quello che assicura eguali tempi di residenza Esso inoltre dipende da Da . In particolare, per (conviene usare il PFR da solo) mentre raggiungere valori di circa 0.6.

x

CINETICA DEL PRIMO ORDINE

e equazioni di progetto per i due reattori

: x

₂

= − 1 e

^−Da2

_{, dove Da}

₁

= _k τ

₁

e Da

₂

= k τ

₂

, sostituendo nella (1), si ha

)

Da2

.

Damköhler in funzione di α : Da

2

α α ^;

²

( )

Da Da

2 1 α

= −

la costante Da = k τ = 2 kV Q , e sostituiamo le espressioni lazione algebrica:

Da 2 2−α

 

 

  ^.

per l’intero sistema. Se differenziamo la (2) rispetto a

)

2 2

Da Da

1 1

2 α Da

= + + −

+ ^.

uguagliare a zero e risolvere per trovare il punto di massimo per che per Da → ∞ la derivata tende a zero identicamente,

problema rispetto al valore di α . Queste tuttavia sono condizioni poco interessanti dal punto di vista processistico.

si deve trovare per via iterativa. Conviene piuttosto diagrammare la (2) per per diversi valori di Da . Si vede che il valore ottimo di α

quello che assicura eguali tempi di residenza, né quello che assicura pari conversione nei due rami.

In particolare, per valori alti di Da il valore di α (conviene usare il PFR da solo) mentre al decrescere di Da si vede che

α

2

k τ

2

.

(1’)

le espressioni nella (1’) per

(2) rispetto ad α otteniamo:

(3) il punto di massimo per x . Si vata tende a zero identicamente, il che indica . Queste tuttavia sono condizioni poco ttosto diagrammare la (2) per α non è in generale né né quello che assicura pari conversione nei due rami.

α ottimo tende a zero

si vede che esso cresce fino a

CINETICA DEL SECONDO ORDINE A 

r

→ B , r = kC

_A²

Riportiamo le equazioni di progetto

CSTR:

₁ ^{1 1}

1

1+2Da 4Da +1 x = 2Da ⁻

Da queste, sostituendo nella (1), si ha

1 1

(

1 2

1+2Da 4Da +1

2Da 1

x = α ⁻ + − α

Esprimiamo ora i due numeri di Damköhler

1 1

1

Da Da

2

V V

k k k

Q Q

τ α α

= = = =

dove abbiamo definito la costante trovare, dopo qualche manipolazione

2 2

+ Da 2 Da+

x α α − Da α α α

= +

Da è il numero di Damköhler per l per diversi valori di Da , si vede che assicura eguali tempi di residenza

alti di Da il valore di α ottimo è intorno a 0.2 fino a raggiungere valori di circa 0.6.

x

ORDINE

e equazioni di progetto per i due reattori 1+2Da 4Da +1

; PFR:

₂ ²

2

Da

x = 1+Da , dove Da

₁

= C k

_{0 1}

, sostituendo nella (1), si ha

)

²

1 2

1 Da

α α 1+Da

= + − .

Damköhler in funzione di α : Da

2

α α ^;

²

( )

Da Da

2 1 α

= −

la costante Da = C k

₀

τ = 2 kVC Q

₀

, e sostituiamo le espressioni lazione algebrica:

( )

( )

1 Da

2 1 +Da

α α

= + −

− .

per l’intero sistema. Se diagrammiamo la (4) per punti i vede che anche in questo caso il valore ottimo di α

assicura eguali tempi di residenza, né quello che assicura pari conversione nei due rami.

è intorno a 0.2 mentre al decrescere di Da si vede che fino a raggiungere valori di circa 0.6.

α

1

C k

0

τ

1

e Da

₂

= C k

₀

τ

₂

.

(1”)

le espressioni nella (1”) per

(4) ) per punti in funzione α

α non è né quello che

né quello che assicura pari conversione nei due rami. Per valori

si vede che esso cresce