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[x], determina un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio U generato da p

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Academic year: 2021

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Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.

Geometria 1 a.a. 2013-14 nona settimana

9.1) In R

≤3

[x], determina un sistema di equazioni cartesiane per il sottospazio U generato da p

1

= 1 − x

3

, p

2

= −1 + x + x

2

+ x

3

, p

3

= 1 + x + x

2

.

9.2) In R

4

, considera il sottospazio U di equazioni 2x

2

− x

4

= 0 e il sottospazio W di equazioni

 3x

1

− x

2

− x

3

+ x

4

= 0 x

1

+ 2x

3

= 0

a) Determina la dimensione e una base di U + W (rispettivamente, di U ∩ W ).

b) Determina una base di U che contiene la base di U ∩ W individuata al punto precedente.

c) Determina la dimensione e una base di Z + W (rispettivamente, di Z ∩ W ), ove Z sia il sottospazio generato da z

1

= (1, 0, 0, 1), z

2

= (0, 1, 0, 1), z

3

= (0, 0, 1, 0).

9.3) Nello spazio vettoriale R

4

, considera i sottospazi U generato da u

1

= (2, −1, 3, 4), u

2

= (−1, −5, 5, 1), e W generato da

w

1

= (1, −1, 0, 2), w

2

= (−2, 2, 0, 4), w

3

= (8, 0, 1, 13).

a) Determina la dimensione e una base di U , W , U + W , U ∩ W , rispettivamente.

b) Determina la dimensione e una base dell’intersezione W ∩ Z, ove Z sia il sottospazio di equazione 2x

1

− x

2

+ x

3

− x

4

= 0.

9.4) Al variare del parametro reale k, discuti la compatibilit` a del sistema in 3 incognite a coefficienti reali:

(k + 1)x + 5y = −1 (−2k + 2)x + ky = 1 4x + (10 + k)y = −1 9.5) Considera le matrici quadrate

E

1

=

1 0 0 0 0 1 k 0 0 0 1 0 0 0 0 1

, E

2

=

1 0 k 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

, E

3

=

1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

, E

4

=

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

a) Per ciascuna di esse, mostra che ` e stata ottenuta dalla matrice identica I di ordine 4 tramite una trasformazione elementare sulle righe.

b) Sia A una matrice quadrata di ordine 4. Determina E

i

A, AE

i

per i = 1, 2, 3.

9.6) Considera la matrice identica I di ordine n e opera su di essa una trasformazione elementare di prima specie sulle righe ottenendo una matrice E. Considera inoltre una matrice quadrata A di ordine n.

a) Chi sono EA e AE?

b) Se E

0

` e ottenuta da I mediante un numero finito di trasformazioni elementari sulle righe. Cosa puoi dire di EA e AE?

9.7) Siano U e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V .

a) Mostra che U + W = {u + w|u ∈ U, w ∈ W } ` e il pi` u piccolo sottospazio di V contenente sia U che W . b) Mostra che U + W = U se e solo se W ≤ U .

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