Matematica Discreta
Lezione del giorno 14 ottobre 2011
Rappresentazione di una relazione mediante una matrice
Un altro modo di rappresentare una relazione si basa sul concetto di “matrice”.
Dati 2 numeri naturali n, m ed un insieme X si definisce matrice nxm ad elementi una “tabella”
formata da nm caselle disposte in n righe ed m colonne, in ognuna delle quali è inserito un elemento dell’insieme X.
Un esempio di matrice 3x2 ad elementi nell’insieme X={1,a,5} è il seguente:
1 a
a 5
1 5
(sono 23=6 caselle disposte in 2 righe e 3 colonna, ed ognuna di esse contiene un elemento di X).
Una matrice è detta matrice booleana (dal nome del matematico Boole) se è una matrice ad elementi nell’insieme {0, 1}.
Esempio: la seguente matrice 3x2 è una matrice booleana:
1 1 1 0 1 1
Dati un insieme A che contiene n elementi, un insieme B che contiene m elementi, ed una relazione R da A a B, la relazione R si può rappresentare con una matrice booleana nxm (matrice che quindi ha un numero di righe uguale al numero di elementi di A ed un numero di colonne uguale al numero di elementi di B) nel modo seguente:
- si sceglie ad arbitrio un ordine per gli elementi di A e per gli elementi di B
- si fanno corrispondere ordinatamente: ad ogni riga un elemento di A (la prima riga al primo elemento di A, la seconda riga al secondo elemento di A etc…); ad ogni colonna un elemento di B (la prima colonna al primo elemento di B, la seconda colonna al secondo elemento di B etc…)
- si inserisce in ogni casella: il valore 1 se l’elemento di A corrispondente alla riga della casella è associato nella relazione R all’elemento di B corrispondente alla colonna della casella; si inserisce nella casella il valore 0 in caso contrario.
Esempio: Se consideriamo (come nell’ultimo esempio della lezione scorsa) gli insiemi A={1,2,3,6}, B={2,3,5} e la relazione R da A a B la cui rappresentazione grafica è la seguente:
A R B 1
2 3 6
2 3 5
possiamo rappresentare la relazione R con una matrice booleana 4x3 (perchè A contiene 4 elementi, B contiene 3 elementi) nel modo seguente: si fanno corrispondere le righe ordinatamente agli elementi 1,2,3,6 (la prima riga all’elemento 1, la seconda riga all’elemento 2 etc…), le colonne ordinatamente agli elementi 2,3,5 (la prima colonna all’elemento 2, la seconda colonna all’elemento 5 etc…); si inseriscono i valori 0,1 nelle 12 caselle secondo la regola illustrata sopra.
Alla fine di ottiene la seguente matrice:
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(per esempio nella casella in riga 2 e colonna 3 si è inserito il valore 1 perché la riga 2 corrisponde all’elemento 2A, la colonna 3 corrisponde all’elemento 5B, e tali elementi sono associati nella relazione R, perché collegati da una freccia nella sua rappresentazione grafica).
Funzioni
Data una relazione R dall’insieme A all’insieme B, può avvenire che qualche elemento di A non sia associato nella relazione R a nessun elemento di B oppure che qualche elemento di A sia associato nella relazione R a più di un elemento di B.
Questa osservazione conduce al concetto di funzione.
Dati gli insiemi A,B, una funzione da A a B è una relazione da A a B tale che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B codominio.
Esempio: se A= {1,2,-2,3}, B={1,3,4,9}, e se la relazione da A a B è descritta dal predicato P(x,y)=”x2=y” (quindi in pratica un elemento di A è associato ad un elemento di B se il quadrato del primo è uguale al secondo) allora si ottiene una funzione da A a B in quanto il sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxB che descrive in modo esplicito la relazione è R={(1,1),(2,4),(-2,4),(3,9)} e si osserva che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
Spesso una funzione da A a B è indicata col simbolo f: A B. Dato un elemento a del dominio A, l’unico elemento b del codominio B che è associato all’elemento a è detto corrispondente o immagine di a, ed è indicato con il simbolo f(a).
Nel caso di funzioni matematiche fra insiemi numerici, talvolta una funzione f: A B è definita scrivendo un’espressione del tipo f(x)=….. dove i puntini contengono una formula algebrica nella variabile x, intendendo con ciò che, dato un elemento aA, il corrispondente b=f(a)B si ottiene sostituendo nella formula la variabile x con il valore a, e calcolando il risultato. Naturalmente non tutte le formule producono funzioni da A a B, come mostra il seguente esempio.
Esempio: se Z è l’insieme dei numeri interi relativi ed N quello dei numeri naturali (interi positivi), la formula f(x)=x2+1 definisce una funzione da Z a N (perché ad ogni intero relativo a, positivo, negativo o nullo, è associato un unico intero positivo f(a)=a2+1). Invece se Q è l’insieme dei numeri razionali relativi, f(x)=1/(x-2) non definisce una funzione da Z a Q (perché l’intero relativo 2 non ha corrispondente f(2) in Q).
Se la relazione è rappresentata graficamente (con le frecce e i diagrammi di Eulero-Venn), essa è una funzione quando da ogni elemento del dominio A ha origine una e una sola freccia verso il codominio B.
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che è una funzione da A a B R
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B (l’elemento 2A non ha corrispondente in B).
R
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B
(l’elemento 2A ha più di un corrispondente in B).
R A B
Se la relazione è rappresentata con una matrice, essa è una funzione quando ogni riga contiene un solo valore=1 (e tutti gli altri =0).
Negli esempi che seguono (di relazioni da un insieme A con 4 elementi ad un insieme B con 3 elementi) la prima matrice rappresenta una relazione che è una funzione, la seconda e la terza no (nella seconda matrice la seconda riga non contiene valori =1, nella terza matrice la seconda riga contiene più di un valore =1):
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 2 6
2 3 5 6 7
1 2 6
2 5 7
1 2 6
2 3 5 6 7
Funzioni iniettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B.
Quindi f sarà non iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo stesso corrispondente nel codominio B.
Se la funzione f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che hanno origine dagli elementi del dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che hanno la “punta” sullo stesso elemento di B).
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione iniettiva
f
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non iniettiva (gli elementi diversi 1 f e 2 del dominio A hanno lo stesso corrispondente)
A B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1).
In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente implicazione:
a,bA, ab f(a)f(b)
La dimostrazione si effettua in genere “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi e falsa la tesi (quindi si suppone per assurdo che a,bA, ab ma f(a)=f(b)) e si cerca di pervenire alla contraddizione logica a=b.
Esempio: Se f: N Z è la funzione definita da f(x)=3x-4 (si verifica facilmente che è effettivamente una funzione da N a Z), allora f è iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo a,bA, ab, f(a)=f(b), si ha:
3a-4=3b-4
da cui, sommando 4 ad ambo i membri e dividendo ambo i membri per 3, si ottiene a=b (contraddizione).
1 2 6
2 3 5 6 7
1 2 6
2 5 7
