k=0 a k b i−k . (c) Provare che un elemento a = P ∞

ESERCIZI TEORIA DI GALOIS FOGLIO 1

(1) Sia K un campo e x una variabile.

(a) Costruire una biezione tra A = K[[x]] l’insieme delle serie di potenze e K ^N .

(b) Provare che K[[x]] diventa un anello rispetto alla somma pun- tuale e al prodotto di Cauchy c := a ∗ b sse c i = P i

k=0 a k b i−k . (c) Provare che un elemento a = P ∞

0 a i x ⁱ di A ` e invertibile sse a ₀ 6= 0.

(d) Mostrare che K((x)), l’insieme delle serie di Laurent, ossia {a ∈ K ^Z | a(i) = 0 se i < m = m(a)}

`

e il campo dei quozienti di A.

(e) Costruire un’immersione (monomorfismo) di K(x) in K((x)).

(2) Sia F/K un’estensione. Provare che α ∈ F ` e trascendente su K sse K[α] ' K[x]

(3) Sia F un campo algebrico numerico, ossia un’estensione finita di Q.

Un elemento a di F si dice un intero algebrico se a ` e radice di un polinomio monico in Z[x]. Provare che Z F , l’insieme degli interi algebrici di F = Q( √

2) ` e un anello. Provare che in generale non ` e un campo.

(4) Provare che √

3 / ∈ Q( √

2).

(5) Provare che se |F : Q| = 2 esiste a ∈ F r Q tale che a ² ∈ Q. Cosa accade se sostituisco Q con F 2 ?

(6) Trovare estensione F/K con |F : K| = 3 ma priva di elementi a ∈ F tali che F = K[a] e a ³ ∈ K.

(7) Sia F := F 3 e E := F 27 il campo con 27 elementi ottenuto come quoziente di F [x] mediante l’ideale generato dal polinomio f (x) :=

x ³ − x + 1. Sia b una radice di f (x) in E. Con l’ausilio di Magma risolvere i seguenti:

(a) Mostrare che f (x) ` e irriducibile.

(b) Determinare il polinomio minimo di a, al variare di a in E.

(c) Determinare il polinomio caratteristico della matrice R(a), ove R ` e la rappresentazione regolare di E in (F ) ₃ rispetto alle basi (1, b, b ² ) e (b ² , b ⁶ , b ¹⁸ ).

(d) Determinare gli elementi a ∈ E tali che (a, a ³ , a ⁹ ) costituisca una F -base ordinata per E.

E-mail address: andrea.previtali@unimib.it

Webpage: http://www.matapp.unimib.it/~prevital, http://scienze-como.uninsubria.it/previtali Date: October 18, 2016.

Andrea Previtali. c

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