ANALISI MATEMATICA - 1 -
DEFINIZIONE DI FUNZIONE SECONDO LA TEORIA DEGLI INSIEMI
Si chiama funzione di A in B, dove A e B sono due INSIEMI,
una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x є A
uno e uno solo elemento y є B .
ANALISI MATEMATICA - 2 -
ANALISI MATEMATICA - 3 -
Questa non è una funzione perché l’elemento
a
dell’insiemeA
è associato a due elementi (1 e 2) dell’insiemeB
(daa
partono due frecce verso l'insieme B); qual è, quindi, il valore dif(a)? 1
o2
?ANALISI MATEMATICA - 4 -
Funzione iniettiva
Una funzione si dice iniettiva quando
B y
x f x
f x
x A x
x
1,
2:
1 2(
1) (
2)
esiste solo un elemento
x B
tale chey = f(x)
ad ogni elemento dell’insieme
B
corrisponde un solo elemento dell’insieme Afunzione iniettiva
non è iniettiva perché f(a) =f(b)
ANALISI MATEMATICA - 5 -
Funzione suriettiva Una funzione si dice suriettiva, se
:A x
B
y
,
tale che y = f(x) f(A) = Bogni elemento dell’insieme
B
e associato ad un elemento dell’insiemeA
funzione suriettiva non è suriettiva perché f(?) = 4
ANALISI MATEMATICA - 6 -
Funzione biettiva o biunivoca
Una funzione si dice funzione biettiva o biunivoca se:
A x B
y
,
tale che y=f(x)
(cioè una funzione
biunivoca
èiniettiva
esuriettiva
)
ANALISI MATEMATICA - 7 -
Il concetto di funzione tra due insiemi è un concetto generale
Noi siamo interessati alla sua applicazione nell’ambito degli insiemi di numeri, In particolare aL’INSIEME DEI NUMERI REALI
Normalmente utilizzeremo dei suoi sottoinsiemi
ANALISI MATEMATICA - 8 -
Funzioni reali di variabile reale in una sola variabile indipendente Definizione di funzione reale di variabile reale
Consideriamo due sottoinsiemi non vuoti
A
eB
dell'insieme dei numeri realiR
, Si chiamafunzione di A in B
una legge (regola) che associa ad ogni elemento x di
A
uno e un solo elemento y diB
Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive
f: x є A f(x) є B
oppure
f: x f(x), x є A, f(x) є B
ANALISI MATEMATICA - 9 -
oppure , indicando la funzione con y = f(x)
f: A B, y = f(x)
y si dice immagine del numero x dato dalla funzione f
cioè
y
è il valore assunto dalla funzione in corrispondenza al numerox
.Esempio1
Consideriamo la funzione
f(x) = 2x
2– 3
; se x = 2,f(2) = 5;
quindi
5
è l’immagine dix = 2
attraverso la funzionef(x) = 2x
2– 3
. Se 𝑥 = √5 𝑓(√𝟓 ) = 2(√𝟓 )2− 3 = 2(𝟓) − 3 = 𝟕, quindi7
è l’immagine d i𝒙 = √𝟓
attraverso la funzionef(x) = 2x
2– 3
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Esempio2
Consideriamo la funzione
f(x) = tgx
; se x = 𝜋3
,
f(
𝝅𝟑
) = √𝟑 ,
quindi√𝟑
è l’immagine di 𝝅𝟑 attraverso la funzione
f(x) = tgx
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x
si chiama variabile indipendente.y
si chiama variabile dipendente in quanto il suo valore dipende, volta per volta, da quello che attribuiamo allax
L'insieme A dei valori x, per i quali esiste il corrispondente valore della y,
si chiama dominio della funzione, o anche insieme di esistenza, o insieme di definizione.
L'insieme delle immagini
f(x)
si chiamacodominio
;f(x) B
ANALISI MATEMATICA - 12 -
Esempio1
La funzione
f(x) = 5x
3 ha sia come dominio che come codominio tutto l’insieme dei numeri reali; si scrive:D: x R; C: f(x) R D(dominio) e C(codominio)
Esempio2
La funzione
f(x) = logx
ha D: x R+; C:f(x)
REsempio3
La funzione
𝑓(𝑥) = √𝑥
2− 3
ha D: x R; 𝑥 < −√3 ∪ 𝑥 > √3 C: f(x) RANALISI MATEMATICA - 13 -
Qualunque espressione algebrica, più o meno complicata, può essere considerata una funzione reale di variabile reale.
Limitiamoci a quelle che contengono una sola lettera.
Inoltre
Qualunque funzione reale di variabile reale può essere descritta utilizzando un sistema di assi cartesiani
L'insieme formato da tutte le coppie
[x, f(x)]
si chiama grafico o diagramma della funzionef(x);
cioè
G = (x; f(x) x є R)
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Consideriamo la funzione
𝒇(𝒙) = √𝟗 − 𝒙
𝟐il dominio è
D: x є R; -3 ≤ x ≤ 3
il codominio èC: f(x) є R; 0 ≤ f(x) ≤ 3
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