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18 ottobre 2012

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

18 ottobre 2012

Utilizzo la scrittura lineare, ma per capire cosa succede, riscrivetele in forma di albero.

1. A ∧ (B ∨ C) `

N K

(A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

1 (1) A ∧ (B ∨ C) ipotesi

1 (2) A E∧ : 1

1 (3) B ∨ C E∧ : 1

4 (4) B ipotesi

1, 4 (5) A ∧ B I∧ : 2, 4

1, 4 (6) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) I∨ : 5

7 (7) C ipotesi

1, 7 (8) A ∧ C I∧ : 2, 7

1, 7 (9) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) I∨ : 8

1 (10) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) E∨ : 3, 6, 9, scarica 4, 7

Notate che nella sottodimostrazione delle righe 4–6 non si puo’ utilizzare l’ipotesi C della riga 7. E nella parte 7–9 non si puo’ usare la B della riga 4. Se si usasse, la 9 dipenderebbe anche da 4, e ATTENZIONE: anche se scriviamo brevemente, per giustificare la 10, “scarica 4 e 7” in realta’

viene scaricata la 4 da cui dipende 6, ma non la 4 da cui eventualmente dipendesse 9.

Altrimenti si potrebbe derivare A ∨ B ` A ∧ B:

1 (1) A ∨ B ipotesi 2 (2) A ipotesi 3 (3) B ipotesi 2, 3 (4) A ∧ B I∧ : 2, 3

1??? (5) A ∧ B E∨ : scarica 2, 3???

 

 

 

 

N O!!!!

Il modo corretto di formulare la regola E∨ esplicitando le dipendenze ` e questo:

S

1

` A ∨ B S

2

` C S

3

` C S

1

∪ (S

2

\ {A}) ∪ (S

3

\ {B}) ` C e non questo:

S

1

` A ∨ B S

2

` C S

3

` C (S

1

∪ S

2

∪ S

3

) \ {A, B} ` C

1

(2)

2. (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) `

N K

A ∧ (B ∨ C)

1 (1) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ipotesi

2 (2) A ∧ B ipotesi

2 (3) A E∧ : 2

2 (4) B E∧ : 2

2 (5) B ∨ C I∨ : 4

2 (6) A ∧ (B ∨ C) I∧ : 3, 5

7 (7) A ∧ C ipotesi

7 (8) A E∧ : 7

7 (9) C E∧ : 7

7 (10) B ∨ C I∨ : 9

7 (11) A ∧ (B ∨ C) I∧ : 8, 10

1 (12) A ∧ (B ∨ C) E∨ : 1, 6, 11, scarica 2, 7

2

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