Università del Salento

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FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Fisica

I N T R O D U Z I O N E A L L A F I S I C A M O D E R N A

R O S A R I O A N T O N I O L E O

Anno Accademico 2010/2011

I N D I C E

n o z i o n i e l e m e n ta r i . richiami vii 1 Punto materiale vii

1 .1 Esempio: pendolo semplice viii 2 Sistemi di particelle xi

i m e c c a n i c a a na l i t i c a 1

1 p r i n c i p i o d i d ’alembert ed equazioni di lagrange 3 1 .1 Vincoli 3

1 .1.1 Definizioni 3

1 .1.2 Classificazione dei vincoli 3

1 .2 Gradi di libertà e coordinate lagrangiane 4

1 .3 Principio di d’Alembert ed equazioni di Lagrange 4 1 .3.1 Esempi nel caso statico 8

1 .3.2 Esempio nel caso dinamico 9

1 .4 Potenziali generalizzati e funzioni di dissipazione 10 1 .4.1 Potenziali generalizzati 10

1 .4.2 Equazioni di Lagrange in presenza di forze non derivabili da un potenziale 11

1 .4.3 Trasformazioni di gauge e lagrangiana di una particella im- mersa in un campo elettromagnetico 12

2 p r i n c i p i o va r i a z i o na l e d i h a m i lt o n e d e q ua z i o n i d i l a g r a n - g e 17

2 .1 Principio di Hamilton 17

2 .2 Applicazioni del calcolo delle variazioni 21

2 .2.1 Cammino più breve fra due punti in un piano 21 2 .2.2 Il problema della brachistòcrona 23

2 .3 Leggi di conservazione 26 2 .3.1 Coordinate cicliche 26 2 .3.2 Funzione energia 28

3 a p p l i c a z i o n i d e l l e e q ua z i o n i d i l a g r a n g e 31 3 .1 Problema dei due corpi 31

3 .1.1 Movimento in un campo centrale 32 3 .1.2 Il problema di Keplero 36

3 .2 Piccole oscillazioni 40

3 .2.1 Impostazione del problema 40 3 .2.2 Riepilogo 44

3 .2.3 Osservazioni 44

3 .2.4 Un particolare problema 45 4 f o r m a l i s m o h a m i lt o n i a n o 51

4 .1 Equazioni di Hamilton 51

Indice

4 .1.1 Un esempio 56 4 .2 Notazione simplettica 57

4 .3 Coordinate cicliche e metodo di Routh 58

4 .4 Principio variazionale di Hamilton modificato 61 4 .5 Parentesi di Poisson 62

4 .6 Trasformazioni canoniche 64 4 .7 Equazioni di Hamilton-Jacobi 73

4 .8 Variabili angolo-azione nel caso unidimensionale 76 4 .8.1 Esempio: l’oscillatore armonico unidimensionale 76 Riferimenti bibliografici della parte i 79

ii r e l at i v i tà r i s t r e t ta e i n t r o d u z i o n e a l l a m e c c a n i c a q ua n - t i s t i c a 81

5 r e l at i v i tà s p e c i a l e 83

5 .1 Trasformazioni di Lorentz 83 5 .1.1 Premessa 83

5 .1.2 Concetto di evento 83 5 .1.3 Principio di inerzia 84

5 .1.4 Postulati della Relatività Ristretta e trasformazioni di Loren-

tz 84

5 .2 Alcune conseguenze delle trasformazioni di Lorentz 90 5 .2.1 Legge di trasformazione delle velocità 90

5 .2.2 Contrazione delle lunghezze 92 5 .2.3 Dilatazione dei tempi 93

5 .3 Lo spazio di Minkowski 94

5 .4 Quadrivelocità e quadriaccelerazione 98 5 .5 Dinamica relativistica 100

5 .6 Energia cinetica e momenti 101

5 .7 Quadrimomento, tensore momento angolare 103 5 .8 Equazioni del moto 104

5 .9 Meccanica analitica relativistica (cenni) 105

5 .9.1 Carica in moto in un campo elettromagnetico 108 5 .10 *L’interferometro di Michelson e Morley 110

6 i n t r o d u z i o n e a l l a m e c c a n i c a q ua n t i s t i c a 113 6 .1 *Il corpo nero 113

6 .2 Effetto fotoelettrico 116 6 .3 Effetto Compton 118

6 .4 Onde di materia di de Broglie 119 Riferimenti bibliografici della parte ii 123 iii a p p e n d i c i 125

a l a s u c c e s s i o n e d i f i b o na c c i 127 b l a t r a s f o r m ata d i l e g e n d r e 129

b .1 Definizione 129

c s i m b o l o d i l e v i -civita 133

iv

Indice

d c a l c o l o d e l l a c o s ta n t e d i r a d i a z i o n e 135 e n o t e s u l l e u n i tà d i m i s u r a 137

f c o s ta n t i f i s i c h e f o n d a m e n ta l i 139

Riferimenti bibliografici delle appendici 141

Indice analitico 143

N O Z I O N I E L E M E N TA R I . R I C H I A M I

1 p u n t o m at e r i a l e

L’idea di punto materiale è uno dei concetti di base della meccanica analitica. Il punto materiale è caratterizzato dalla sua massa. La posizione di un punto mate- riale in un sistema di riferimento Oxyz, supposto inerziale salvo avviso contrario, è determinata dal raggio vettore r = x ˆx + y ˆy + z ˆz. Definiamo velocità

v = ^dr

dt = _{˙x ˆx} + _{˙y ˆy} + _{˙z ˆz,} quantità di moto

p = mv, e accelerazione a = ^dv

dt = ^d

2

r dt

²

.

Sappiamo che, in un sistema di riferimento inerziale, valgono i principi della dinamica. Se F è la forza risultante agente sulla particella di massa m si ha che, per il secondo principio della dinamica,

F = ^dp

dt = m dv

dt = ma, (1)

con m supposta costante rispetto al tempo.

Supponiamo che la particella sia libera. Allora x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) sono tra loro indipendenti. Se F = F ( r, v, t ) = F ( x, y, z; ˙x, ˙y, ˙z; t ) dalle (1) otteniamo:

m ¨x ( t ) = F

_x

( x, y, z; ˙x, ˙y, ˙z; t ) , m ¨y ( t ) = F

y

( x, y, z; ˙x, ˙y, ˙z; t ) , m ¨z ( t ) = F

z

( x, y, z; ˙x, ˙y, ˙z; t ) .

(2)

Assegnate le condizioni iniziali r ( 0 ) = r

0

e v ( 0 ) = v

0

, se in un intorno di ( r

0

, v

0

, 0 ) le funzioni F

_x

, F

_y

e F

_z

sono “buone” (per esempio sono lisce, cioè sono di classe C

^∞

), allora il sistema di equazioni (2) per t > 0 ammette, almeno in un intorno di ( r

0

, v

0

, 0 ) , un’unica soluzione. Viene così soddisfatto, almeno localmente, il principio deterministico newtoniano. Le equazioni (2) sono dette equazioni del moto.

Osservazione. La quantità di moto si conserva, cioè p è costante, se F = 0 identica-

mente.

n o z i o n i e l e m e n ta r i. richiami

Definiamo momento angolare della particella rispetto a O

L

_O

= r × ^p = mr × ^{v. (3)}

Definiamo momento della forza F (o momento torcente) rispetto al punto O dL

_O

dt = r × ^dp _dt = r × ^F ≡ ^N

O

. (4)

Dalla (4) si vede che il momento angolare si conserva, cioè L

_O

è costante, se N

_O

= 0 identicamente. Per esempio se consideriamo F forza centrale tale che il centro della forza è O, allora N

_O

= 0 e quindi L

_O

è costante. Il momento angolare della particella rispetto a un punto O

⁰

individuato rispetto a O dal vettore posizione r

_O0

è dato da

L

_O⁰

= ( r − ^r

O⁰

) × ^p.

Si vede facilmente che dL

_O0

dt = ( r − ^r

O⁰

) × ^F − ^dr _dt

^O0

× ^p = N

_O⁰

− ^dr _dt

^O0

× ^{p ,} dove N

_O0

è il momento delle forze rispetto a O

⁰

.

Se F è una forza conservativa allora F = −∇ ^U ( r ) , dove U ( r ) è l’energia potenziale.

Indichiamo con T = mv

²

/2 l’energia cinetica della particella. Sappiamo che se F è una forza conservativa vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:

T + U = costante.

Ricordiamo che vale, anche se la forza non è conservativa, il teorema dell’energia cinetica:

L =

Z _B

A

F · ^dr = ¹

2 mv

²_B

− ¹ ₂ ^mv

²A

= T

_B

− ^T

A

. 1 .1 Esempio: pendolo semplice

Studiamo il moto del pendolo in figura 1. Le forze agenti su m sono T + P = ma.

La componente radiale della risultante è uguale a T − ^{mg cos θ} = m v

²

l ,

mentre la componente trasversa è

− ^{mg sin θ} = ma

T

viii

1 p u n t o m at e r i a l e

x

y

U = 0 m

θ l

P T

Figura 1: Il pendolo semplice.

dove a

_T

è la componente trasversa dell’accelerazione. In generale, per un moto nel piano abbiamo, in coordinate polari:

r = rˆr, v = ^dr

dt = ˙rˆr + r dˆr

dt = ˙rˆr + r ˙θ ˆn, a = ^dv

dt = ^d

dt ( ˙rˆr + r ˙θ ˆn ) = ¨rˆr + ˙r ˙θ ˆn + ˙r ˙θ ˆn + r ¨θ ˆn − ^{r ˙θ}

²

^ˆr =

= ( _¨r − ^{r ˙θ}

²

) ˆr + ( r ¨θ + 2˙r ˙θ ) ˆn.

Nel caso particolare del pendolo semplice r = l = costante, quindi l’accelerazione trasversa è data da:

a

_T

= l ¨θ ˆn = − g sin θ ˆn, da cui ricaviamo

¨θ + ^g

l sin θ = 0. (5)

Questa è una equazione differenziale non lineare e la soluzione è una funzione el- littica. L’equazione diventa lineare se supponiamo che le oscillazioni siano piccole in modo da poter porre sin θ ≈ θ. In questo caso risulta:

¨θ + ^g l θ = 0.

La soluzione di questa equazione è θ = θ

₀

cos ( ωt − ^ϕ

0

)

dove θ

₀

e ϕ

₀

sono determinati dalle condizioni iniziali, mentre ω = ^p g/l. Il pendolo oscilla con periodo

T = ^2π

ω = 2π s l

g .

n o z i o n i e l e m e n ta r i. richiami

Nel caso in cui le oscillazioni non siano piccole, si dimostra che il periodo del pendolo è dato da

T = 2π s l g

 1 + ¹

2

²

sin

²

θ

m

2 + ³

²

2

²

4

²

sin

⁴

θ

m

2 + · · ·

 ,

dove θ

_m

è l’ampiezza angolare delle oscillazioni.

L’equazione del moto del pendolo può essere ricavata anche nel modo seguente:

 x = l cos θ y = l sin θ = ⇒

 ˙x ( t ) = − ^{l ˙θ sin θ}

˙y ( t ) = l ˙θ cos θ . (6)

Allora v

²

( t ) = _˙x

²

( t ) + _˙y

²

( t ) = l

²

˙θ

²

. Applicando il principio di conservazione dell’energia abbiamo:

E = ¹

2 mv

²

( t ) + mgl ( 1 − ^{cos θ} ( t )) = ¹

2 ml

²

˙θ

²

+ mgl ( 1 − ^{cos θ} ( t )) . Poiché E = costante deve risultare

dE

dt = ml

²

˙θ ¨θ + mgl ˙θ sin θ = ml

²

˙θ  ¨θ + ^g l sin θ 

= 0 da cui

¨θ + ^g

l sin θ = 0,

cioè la (5). In generale ¨θ 6= ^0.

Il moto del pendolo può ancora essere dedotto in questo modo. Abbiamo L

O

= r × ^mv = m ( l cos θ ˆx + l sin θ ˆy ) × (− l ˙θ sin θ ˆx + l ˙θ cos θ ˆy ) =

= ml

²

˙θ ˆz.

L’unico contributo al momento torcente è quello della forza peso, quindi N

_O

= r × ^P = ( l cos θ ˆx + l sin θ ˆy ) × ( ^{mg ˆx} ) = − lmg sin θ ˆz.

Dunque, ricordando la (4), abbiamo:

dL

_O

dt = ^dL

⁰

dt ˆz = ^dml

2

˙θ

dt ˆz = ml

²

¨θ ˆz = − lmg sin θ ˆz da cui

¨θ + ^g

l sin θ = 0, cioè di nuovo la (5).

x

2 s i s t e m i d i pa r t i c e l l e

Esercizi

1 . Studiare il moto di una particella di massa m soggetta alla forza F = − ^kr − ^αv ( k, α > 0 )

dove r vettore posizione della particella e v velocità, con le condizioni iniziali r ( 0 ) = r

0

6= ^{0 e v} ( 0 ) = v

0

k ^r

0

.

2 . Studiare il moto di una particella di massa m e carica q in un campo magne- tico B uniforme e costante. Siano r ( 0 ) = r

₀

e v ( 0 ) = v

₀

6= ^0.

3 . Studiare il moto di una particella di massa m e carica q in un campo elettrico E e in un campo magnetico B, uniformi e costanti e tra loro ortogonali.

2 s i s t e m i d i pa r t i c e l l e

Supponiamo di avere un sistema di N particelle puntiformi. Sia Oxyz il sistema di riferimento (inerziale). Siano m

_i

e r

_i

rispettivamente la massa e il vettore posizione dell’i-esima particella. Definiamo centro di massa

r

CM

= ^∑

iN=1

m

_i

r

_i

M ,

con M = _∑

_i^N₌₁

m

_i

. Detta inoltre v

_i

= dr

_i

/dt la velocità dell’i-esima particella, la velocità del centro di massa sarà:

v

_CM

= ^∑

Ni=1

m

_i

v

_i

M .

Definiamo infine la quantità di moto

p

_CM

=

∑

N i=1

m

_i

v

_i

= Mv

_CM

.

Osserviamo che la quantità di moto è una grandezza additiva. Ogni particella del sistema interagisce con le altre particelle e con il mondo esterno. Sia F

_ji

la forza che la j-esima particella ( j 6= ⁱ ) esercita sulla i-esima. Se vale la forma debole del principio di azione e reazione allora

F

_ij

+ F

_ji

= 0.

Per la seconda legge della dinamica dp

_i

dt = F

_i

= F

_i^(e)

+

∑

N j=1 j6=ⁱ

F

_ji

,

n o z i o n i e l e m e n ta r i. richiami

dove F

_i

è la forza totale agente sulla i-esima particella, F

_i^(e)

è la forza totale esterna agente sulla i-esima particella e ∑

^N_j=1,j6=i

F

_ji

è la forza totale interna agente sulla i-esima particella. Poiché ∑

_i^N=1

∑

^N_j=1,j6=ⁱ

F

_ji

= 0 allora

dp

CM

dt =

∑

N i=1

dp

_i

dt =

∑

N i=1

F

_i^(e)

= F

^(e)

,

dove F

^(e)

è la risultante delle forze esterne. Se F

^(e)

= 0 allora p

_CM

è costante e quindi il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme, assumendo che la massa M sia costante. Definiamo momento angolare del sistema di N particelle puntiformi rispetto a O

L

_O

=

∑

N i=1

r

_i

× ^p

i

. Si ricava banalmente che

dL

_O

dt =

∑

N i=1

r

_i

× ^F

i

= N

_O

.

Osserviamo che se vale la forma forte del principio di azione e reazione, cioè se r

_i

− ^r

j

× ^F

ji

= 0 ∀ ^{i, j} 6= ^{i, allora} N

_O

=

∑

N i=1

r

_i

× ^F

_i^(e)

= N

_O^(e)

.

Se N

_O^(e)

= 0 allora L

_O

è costante.

Sia r

⁰_i

il vettore posizione dell’i-esima particella rispetto al centro di massa, cioè si ha r

_i⁰

= r

_i

− ^r

CM

. Allora

L

_O

=

∑

N i=₁

( r

_CM

+ r

_i

− ^r

CM

) × ^p

i

= r

_CM

× ^p

CM

+ L

_CM

. Definiamo energia cinetica del sistema di N particelle

T =

∑

N i=1

1 2 m

_i

v

²_i

.

Vale ancora il teorema dell’energia cinetica:

L =

∑

N i=1

Z ₂

1

F

_i

· ^dr

i

= T

₂

− ^T

1

,

dove 1 e 2 sono rispettivamente le configurazioni iniziale e finale del sistema.

Osserviamo che

∑

N i=1

Z ₂

1

F

_i

· ^dr

i

=

∑

N i=1

Z ₂

1

F

_i^(e)

· ^dr

i

+

∑

N i=1

∑

N j=1 j6=ⁱ

Z ₂

1

F

_ji

· ^dr

i

xii

2 s i s t e m i d i pa r t i c e l l e

e inoltre

F

_ji

· ^dr

i

+ F

_ij

· ^dr

j

= F

_ji

· ^dr

i

− ^dr

j

= F

_ji

· ^dr

ji

con F

_ji

· ^dr

ji

6= 0 in generale.

Se tutte le forze sono conservative allora L =

∑

N i=1

U

_i^(e)₍₁₎

− ^U

_i^(e)₍₂₎

^ + ¹ 2

∑

N i,j=1

j6=i

U

_ij(1)

− ^U

ij(2)

.

Vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:

T + U = T +

∑

N i=1

U

⁽_i^e)

+ ¹ 2

∑

N i,j=1

i6=j

U

_ji

= costante.

Esercizi

1 . Dimostrare che dL

_CM

dt = N

_CM

,

con L

_CM

= _∑

_i^N₌₁

( r

_i

− ^r

CM

) × ^p

i

e N

_CM

= _∑

_i^N₌₁

( r

_i

− ^r

CM

) × ^F

i

. 2 . Dimostrare che

L

_CM

=

∑

N i=1

( r

_i

− ^r

CM

) × ^p

⁰_i

^,

con p

_i⁰

= m

_i

( v

_i

− ^v

CM

) .

Parte I

M E C C A N I C A A N A L I T I C A

1

P R I N C I P I O D I D ’ A L E M B E R T E D E Q U A Z I O N I D I L A G R A N G E

1 .1 vincoli 1 .1.1 Definizioni

Fissato un sistema di riferimento inerziale, la posizione di una particella punti- forme è, a ogni istante, individuata dal vettore r ( t ) . La particella è libera se non è soggetta ad alcuna condizione che ne limiti la traiettoria; in caso contrario si dice che essa è vincolata. Allo stesso modo per un sistema di N particelle, se tutte le particelle che costituiscono il sistema sono libere, il sistema è detto libero;

altrimenti si dice che è vincolato.

La presenza di vincoli comporta l’introduzione di forze che agiscono sulle par- ticelle limitandone la mobilità. Queste forze sono dette forze vincolari o reazioni vincolari. Chiameremo attive le forze che non sono dovute a vincoli.

1 .1.2 Classificazione dei vincoli Classifichiamo i vincoli:

• In base alla forma delle relazioni che legano le coordinate delle particelle:

– vincoli olònomi: possono essere espressi da relazioni del tipo

f ( r

1

, r

2

, . . . , r

N

, t ) = 0. (1.1) Il sistema si dirà, in tal caso, olonomo. Per esempio:

∗ una particella che si muove nel piano xy lungo la retta y = mx + q;

∗ il corpo rigido: le reazioni vincolari sono del tipo k ^r

i

− ^r

j

k

²

− ^c

²_ij

= 0 (la distanza tra due punti generici del corpo rigido è costante);

– vincoli anolònomi: non possono essere espressi da relazioni del ti- po (1.1). Tali vincoli possono essere espressi da vincoli di disegua- glianza o equivalentemente da vincoli di uguaglianza in cui compaiono anche le velocità. Esempio:

∗ particella vincolata a stare all’interno di una sfera di centro O e raggio a. In tal caso il vincolo si esprime con k ^r k

²

− ^a

²

< 0.

• In base alla dipendenza dal tempo:

– vincoli scleronomi: non dipendono dal tempo;

– vincoli reonomi: dipendono dal tempo. Per esempio:

p r i n c i p i o d i d’alembert ed equazioni di lagrange

∗ una particella che si muove su una retta che ruota con velocità angolare ω avrà un’equazione del tipo y = tan ( ωt ) x + q.

• In base al tipo di reazione vincolare

– vincoli lisci: la reazione vincolare è sempre normale al vincolo. Per esempio:

∗ se il vincolo olonomo è una superficie di equazione f ( r, t ) , la rea- zione vincolare ϕ sarà parallela al gradiente di f : ϕ = µ ( t ) ∇ ^{f ;} – vincoli scabri: la reazione vincolare ha una componente tangenziale al

vincolo (sono presenti forze di attrito).

1 .2 gradi di libertà e coordinate lagrangiane

La configurazione di un sistema libero formato da N particelle è definita dagli N vettori posizione r

_i

( t ) , con i = 1, . . . , N, ed è quindi individuata, in uno spazio tridimensionale, da 3N quantità scalari o coordinate indipendenti.

Definiamo numero di gradi di libertà del sistema il minimo numero di coor- dinate indipendenti in grado di individuare la configurazione. Secondo questa definizione un sistema libero di N particelle in uno spazio tridimensionale ha 3N gradi di libertà. In un sistema vincolato le coordinate non sono tra loro indipen- denti. Se i vincoli sono olonomi e sono espressi mediante k equazioni del tipo (1.1), allora il numero di coordinate indipendenti sarà n = 3N − k e quindi si avranno n gradi di libertà. Possiamo pertanto introdurre n coordinate indipendenti che tengano conto dei vincoli. Siano q

1

, q

2

, . . . , q

n

tali coordinate. Esse non hanno in generale le dimensioni di una lunghezza e non possono essere raggruppate per formare le tre componenti di un vettore.

Per esempio, si consideri un pendolo nel piano. Il sistema avrebbe due gradi di libertà se non fosse vincolato; dato che la distanza tra la particella e l’origine è fissata uguale a l si ha invece un solo grado di libertà. Si può allora individuare lo stato del sistema in ogni istante utilizzando una sola coordinata quale, per esempio, l’angolo θ.

È possibile esprimere i vettori posizione mediante le nuove coordinate tramite le trasformazioni

r

i

= r

i

( q

₁

, q

₂

, . . . , q

_n

, t ) ( i = 1, . . . , N ) .

Le coordinate q

_i

, con i = 1, . . . , n, sono dette coordinate lagrangiane o generalizzate del sistema. Esse, ovviamente, non sono uniche.

1 .3 principio di d’alembert ed equazioni di lagrange

Definiamo spostamento virtuale infinitesimo di un sistema un cambiamento di confi- gurazione relativo a una variazione δr

_i

delle coordinate, compatibile con le forze

4

1.3 principio di d’alembert ed equazioni di lagrange

e i vincoli a cui il sistema è sottoposto a un dato istante t. Chiamiamo tale sposta- mento virtuale per distinguerlo da uno spostamento reale dr

_i

in cui si considera un intervallo dt nel quale variano forze e vincoli.

Consideriamo un sistema di N particelle. Supponiamo che il sistema sia in equilibrio, cioè che ogni particella del sistema è in equilibrio. Allora

F

_i

= 0 = ⇒ ^F

i

· ^δr

i

= 0 = ⇒ δL =

∑

N i=1

F

_i

· ^δr

i

= 0, (1.2)

con i = 1, . . . , N, dove δL è il lavoro virtuale infinitesimo. Le F

_i

sono le risultanti di tutte le forze agenti sull’i-esima particella (interazione con l’Universo, con le altre particelle, forza vincolare). Se poniamo F

_i

= F

_i^(a)

+ _Φ

_i

, dove F

_i^(a)

e Φ

i

so- no rispettivamente la forza attiva totale e la forza vincolare agenti sulla i-esima particella, la (1.2) diventa:

δL =

∑

N i=₁

F

_i^(a)

· ^δr

i

+

∑

N i=₁

Φ

i

· ^δr

i

= 0. (1.3)

Assumeremo d’ora in avanti che il lavoro virtuale delle forze vincolari sia nul- lo, cioè ∑

^N_i=1

Φ

i

· ^δr

i

= 0, e che i vincoli siano olonomi bilaterali e lisci. Allora possiamo scrivere la (1.3) come

∑

N i=1

F

_i^(a)

· ^δr

i

= 0, (1.4)

che è il principio dei lavori virtuali. Osserviamo che i δr

_i

, con i = 1, . . . , N, non sono in generale linearmente indipendenti e quindi i F

_i^(a)

non sono automaticamente nulli.

Siano q

₁

, q

₂

, . . . , q

_n

le coordinate lagrangiane del sistema scelte. Allora

r

_i

= r

_i

( q

₁

, q

₂

, . . . , q

_n

, t ) , (1.5a) δr

_i

=

∑

n k=1

∂r

_i

∂q

_k

δq

_k

, (1.5b)

con i = 1, . . . , N. Supponendo che il lavoro virtuale delle forze vincolari sia nullo si ha

δ L =

∑

N i=1

F

_i^(a)

· ^δr

i

=

∑

N i=1

F

_i^(a)

· ∑

ⁿ

k=1

∂r

_i

∂q

_k

δq

_k

=

∑

n k=1

∑

N i=1

F

_i^(a)

· _∂q ^∂r

ⁱ

k

! δq

_k

=

=

∑

n k=1

Q

⁽_k^a)

δq

_k

, dove

Q

⁽_k^a)

=

∑

N i=1

F

_i^(a)

· _∂q ^∂r

ⁱ

k

( k = 1, . . . , n ) (1.6)

p r i n c i p i o d i d’alembert ed equazioni di lagrange

sono dette forze generalizzate (attive). Poiché le δq

_k

sono indipendenti si ha δL = 0 = ⇒ ^Q

⁽_k^a)

= 0 ( k = 1, . . . , n ) .

Si può dimostrare che Q

⁽_k^a)

= 0 con k = 1, . . . , n è condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio, in presenza di vincoli olonomi bilaterali lisci.

La relazione (1.4) è applicabile solo al caso statico. Se si vuole applicare il principio dei lavori virtuali anche al caso di moto del sistema, bisogna partire dalle N equazioni del moto dp

_i

/dt = F

_i

⇐⇒ ^F

i

− ^dp

i

/dt = 0 per i = 1, . . . , N.

Se continuiamo ad assumere che le forze vincolari non compiono lavoro virtuale, la (1.4) diventa:

∑

N i=1



F

_i^(a)

− ^dp _dt

ⁱ



· ^δr

i

= 0. (Principio di d’Alembert) (1.7) Osserviamo che le forze vincolari non compaiono esplicitamente.

Indichiamo d’ora in poi con F

_i

la forza attiva totale agente sull’i-esima particella, togliendo l’apice ( a ) . Come nel caso statico occorre ottenere un’espressione che contenga solo gli spostamenti virtuali delle coordinate generalizzate (che sono indipendenti). Partiamo, come nel caso statico, dalle trasformazioni

r

_i

= r

_i

( q

₁

, . . . , q

_n

, t ) ( i = 1, . . . , N ) δr

_i

=

∑

n k=1

∂r

_i

∂q

_k

δq

_k

v

_i

= ^dr

ⁱ

dt =

∑

n k=1

∂r

_i

∂q

_k

˙q

k

+ ^∂r

ⁱ

∂t . (1.8)

Come prima abbiamo

∑

N i=1

F

_i

· ^δr

i

=

∑

n k=1

Q

_k

δq

_k

,

dove Q

_k

= _∑

_i^N₌₁

F

_i

· ^∂r

i

/∂q

_k

. Osserviamo che le q

_k

non hanno necessariamen- te le dimensioni di una lunghezza, così come le Q

_k

non hanno in generale le dimensioni di una forza. Consideriamo ora

∑

N i=1

dp

_i

dt · ^δr

i

=

∑

n k=1

∑

N i=1

m

_i

dv

_i

dt · _∂q ^∂r

ⁱ

k

! δq

_k

=

=

∑

n k=1

(

_N

i

∑

=1

 d dt



m

_i

v

_i

· _∂q ^∂r

ⁱ

k



− ^m

i

v

_i

· _dt ^d _∂q ^∂r

ⁱ

k

 ) δq

_k

.

(1.9)

Osserviamo che dalla (1.8) si ricava

∂v

_i

∂ ˙ q

_k

= ^∂

∂ ˙ q

_k

dr

_i

dt = ^∂r

ⁱ

∂q

_k

. (1.10)

6

1.3 principio di d’alembert ed equazioni di lagrange

Inoltre, in analogia con la (1.8) si ha

∂v

_i

∂q

_k

=

∑

n j=1

∂

²

r

_i

∂q

_k

∂q

_j

˙q

j

+ ^∂

2

r

_i

∂q

_k

∂t =

∑

n j=1

∂

∂q

_j

 ∂r

_i

∂q

_k



˙q

j

+ ^∂

∂t

 ∂r

_i

∂q

_k



=

= ^d dt

 ∂r

_i

∂q

_k

 .

(1.11)

In base a queste osservazioni possiamo scrivere:

∑

N i=1

dp

_i

dt · ^δr

i

=

∑

n k=1

(

_N

i

∑

=1

 d dt



m

_i

v

_i

· ^∂v

ⁱ

∂ ˙ q

_k



− ^m

i

v

_i

· ^∂v _∂q

ⁱ

k

 ) δq

_k

=

=

∑

n k=1

( d dt

"

∂

∂ ˙ q

_k

∑

N i=1

 1 2 m

_i

v

²_i

 #

− _∂q ^∂

k

∑

N i=1

 1 2 m

_i

v

²_i

 ) δq

_k

=

=

∑

n k=1

 d dt

 ∂T

∂ ˙ q

_k



− _∂q ^∂T

k

 δq

_k

,

dove T = _∑

_i^N₌₁

m

_i

v

²_i

/2. Allora il principio di d’Alembert è nel nostro caso equiva- lente alla relazione

∑

n k=1

 d dt

 ∂T

∂ ˙ q

_k



− _∂q ^∂T

k



− ^Q

k



δq

_k

= 0.

Dato che gli spostamenti virtuali infinitesimi δq

_k

, con k = 1, . . . , n, sono indipen- denti, possiamo scrivere n equazioni del moto

d dt

 ∂T

∂ ˙ q

_k



− _∂q ^∂T

k

= Q

_k

. (1.12)

Se supponiamo che le forze attive siano tutte conservative e derivino da un unico potenziale U, si ha F

_i

= −∇

i

U (con ∇

i

= ( ∂/∂x

_i

, ∂/∂y

_i

, ∂/∂z

_i

) ) e quindi

Q

_k

=

∑

N i=1

F

_i

· _∂q ^∂r

ⁱ

k

= −

∑

N

i=1

∇

i

U · _∂q ^∂r

ⁱ

k

= − ^∂U _∂q

k

.

Tenendo presente che U dipende solo da q e non da ˙q (cioè ∂U/∂ ˙q

_k

= 0; k = 1, . . . , n), le n equazioni del moto (1.12) possono essere scritte nel modo seguente:

d dt

 ∂

∂ ˙ q

_k

( T − ^U )



− _∂q ^∂

k

( T − ^U ) = 0.

Definendo

L = T − ^{U (1.13)}

lagrangiana del sistema, possiamo scrivere le equazioni di Lagrange:

d dt

 ∂

∂ ˙ q

_k

L



− _∂q ^∂L

k

= 0. (1.14)

p r i n c i p i o d i d’alembert ed equazioni di lagrange

Osservazione. Se consideriamo F = F ( q, t ) funzione di classe opportuna, si può dimostrare che L

⁰

( q, ˙q, t ) = L ( q, ˙q, t ) + dF/dt è un’altra funzione lagrangiana che porta alle stesse equazioni del moto.

¹

Osservazione. Le equazioni di Lagrange possono essere ancora scritte nella forma usuale se U = U ( q, ˙q, t ) e

Q

_k

= − ^∂U _∂q

k

+ ^d dt

 ∂U

∂ ˙ q

_k



. (1.15)

La funzione U è detta potenziale generalizzato, o potenziale dipendente anche dalle velocità e dal tempo. La funzione lagrangiana può ancora essere definita come L = T − ^U.

1 .3.1 Esempi nel caso statico

Determiniamo le condizioni di equilibrio del pendolo semplice (vedi figura 1 a pagina ix). Il sistema ha un solo grado di libertà e l’unica forza attiva è la forza peso P, quindi

r = l cos θ ˆx + l sin θ ˆy,

δL = P · ^δr = P · ^{ ∂} _∂θ ( l cos θ ) ˆx + ^∂

∂θ ( l sin θ ) ˆy

 δθ =

= mg ˆx · (− ^{l sin θ ˆx} + l cos θ ˆy ) δθ = − mgl sin θδθ

Q = − ^{mgl sin θ} = 0 = ⇒ ^{sin θ} = 0 = ⇒ ^θ = 0 oppure θ = π.

Consideriamo ora il punto materiale P di massa m in figura 1.1 vincolato senza attrito su una circonferenza di raggio R e centro O, posto in un piano verticale.

La particella è connessa al punto più alto mediante una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Anche questo sistema ha un solo grado di libertà.

Abbiamo

 x

_P

= R sin θ y

_P

= R cos θ , δr

_P

=

 ∂x

p

∂θ ˆx + ^∂y

^p

∂θ ˆy



δθ = R ( cos θ ˆx − ^{sin θ ˆy} ) .

La forza peso è data da P = mg ˆy. Inoltre r

_A

= − R ˆy, quindi r

_P

− ^r

A

= R sin θ ˆx + R ( 1 + cos θ ) ˆy. Pertanto la forza elastica agente sulla particella è F

_el

= − ^k ( r

_P

− r

_A

) = − ^kR [ sin θ ˆx + ( 1 + cos θ ) ˆy ] . Dunque:

P · ^δr

P

= − mgR sin θδθ,

F

_el

· ^δr

P

= − ^kR

²

[ sin θ cos θ − ^{sin θ} ( 1 + cos θ )] δθ = kR

²

sin θδθ.

1 Si è qui utilizzata la notazione, che ricorrerà per brevità in seguito, q= (q1, q2, . . . , qn)per indicare l’ennupla delle coordinate generalizzate; tuttavia bisogna tenere sempre presente che tale ennupla non è, in generale, un vettore (basti pensare che, come già osservato, le q_i possono avere anche dimensioni diverse).

8

1.3 principio di d’alembert ed equazioni di lagrange

y

x

θ R A

P O

k

Figura 1.1: Pendolo collegato a una molla.

La forza generalizzata attiva è:

Q = − ^{mgR sin θ} + kR

²

sin θ = R sin θ ( kR − ^mg ) . La condizione di equilibrio si ha per Q = 0 cioè:

1 . sin θ = 0, vale a dire θ = 0 oppure θ = π;

2 . ∀ ^θ ∈ [ ^{0, 2π} ] se mg = kR.

1 .3.2 Esempio nel caso dinamico

Riprendiamo in considerazione il pendolo semplice (vedi figura 1 a pagina ix). Il sistema ha un grado di libertà, quindi sarà sufficiente scrivere una sola equazione di Lagrange. Valgono sempre le (6), dunque l’energia cinetica è data da

T = ¹

2 mv

²

= ¹

2 m ( ˙x

²

+ ˙y

²

) = ¹ 2 ml

²

˙θ

²

,

mentre l’energia potenziale è (fissando come punto a potenziale gravitazionale nullo il punto più basso del pendolo, come mostrato in figura)

U = mgl ( 1 − ^{cos θ} ) .

Pertanto la lagrangiana del sistema è L = T − ^U = ¹

2 ml

²

˙θ

²

− ^mgl ( 1 − ^{cos θ} ) e l’equazione di Lagrange

ml

²

¨θ + mgl sin θ = 0

che è equivalente alla (5).

p r i n c i p i o d i d’alembert ed equazioni di lagrange

1 .4 potenziali generalizzati e funzioni di dissipazione 1 .4.1 Potenziali generalizzati

Consideriamo una particella puntiforme di massa m e carica q in un campo elettromagnetico E, B. Su di essa agisce la forza di Lorentz:

F = q E + ^v

c × ^{B . (1.16)}

Le equazioni del moto sono perciò m dv

dt = m d

²

r

dt

²

= q E + ^v

c × ^{B .}

Siano ora ϕ = ϕ ( x, y, z, t ) e A = A ( x, y, z, t ) i potenziali scalare e vettoriale rispettivamente in modo che

E = −∇ ^ϕ − ¹ _c ^∂A _∂t ^{, (1.17)}

B = ∇ × ^{A. (1.18)}

Riscriviamo la forza di Lorentz mediante le precedenti:

F = q



−∇ ^ϕ − ¹ _c ^∂ _∂t ^A + ^v

c × (∇ × ^A )



=

= q



−∇ ϕ − ¹ _c ^∂ _∂t ^A + ¹

c ∇( ^A · ^v ) − ¹ _c ( v · ∇) ^A

 (1.19)

dove si è tenuto conto del fatto che ∇ · ^v = 0 e quindi v × (∇ × ^A ) = ∇( ^A · v ) − ( ^v · ∇) A. Osserviamo ora che dA/dt = ∂ A/∂t + ( v · ∇) A; inoltre da- to che A non dipende da v,

^d∇v_dt^(A·v)

= dA/dt; infine ∇

v

ϕ = 0 (dove ∇

v

= ( ∂/∂ ˙x

_i

, ∂/∂ ˙y

_i

, ∂/∂ ˙z

_i

) ). Allora

F = q



−∇



ϕ − ¹ _c ^A · ^v



− ¹ _c ^dA _dt



=

= q



−∇



ϕ − ¹ _c ^A · ^v

 + ^d

dt



∇

v



ϕ − ¹ _c ^A · ^v



=

= −∇ ^U + ^d ∇

v

U dt ,

(1.20)

dove U = qϕ − ^qA · v/c è un esempio di potenziale generalizzato, ovvero potenziale dipendente dalle derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate (che qui corrispondono con le solite coordinate cartesiane). La funzione lagrangiana è, allora, la seguente:

L = T − ^U = ¹

2 mv

²

− ^qϕ + ^q

c A · ^v =

= ¹

2 m ( _˙x

²

+ _˙y

²

+ _˙z

²

) − ^qϕ ( x, y, z, t )+

+ ^q

c ( ˙xA

x

( x, y, z, t ) + ˙yA

y

( x, y, z, t ) + ˙zA

z

( x, y, z, t )) .

10

1.4 potenziali generalizzati e funzioni di dissipazione

Esercizi

1 . Scrivere le equazioni di Lagrange di una carica puntiforme in un campo elettromagnetico. Dimostrare che esse coincidono con le equazioni del moto di partenza.

2 . Scrivere la lagrangiana e le equazioni di Lagrange per i seguenti sistemi:

a) pendolo piano semplice;

b) pendolo piano doppio;

c) pendolo piano il cui punto di sospensione è libero di muoversi orizzon- talmente su una retta liscia .

3 . Due punti materiali, uno di massa m

₁

e l’altro di massa m

₂

, sono collegati da una fune (inestensibile e di massa trascurabile) che passa attraverso un foro in un tavolo perfettamente liscio, in modo che m

₁

, per t = 0, abbia un moto circolare uniforme sulla superficie del tavolo ed m

₂

rimanga sospesa.

Nell’ipotesi che m

₂

possa muoversi solo in direzione verticale, si scriva la lagrangiana e si ricavino le equazioni di Lagrange. Discutere la presenza di integrali primi del moto .

Figura 1.2: Da sinistra: problema 2b, problema 2c, problema 3.

1 .4.2 Equazioni di Lagrange in presenza di forze non derivabili da un potenziale Supponiamo che su una particella puntiforme agisca anche la seguente forza viscosa:

F

_a

= −( α

x

v

_x

ˆı + α

y

v

_y

ˆ + α

z

v

_z

ˆk )

dove i coefficienti α

_x

, α

_y

, α

_z

sono caratteristici del mezzo

²

e ˆı, ˆ, ˆk sono i versori degli assi coordinati. Osserviamo che, se introduciamo la cosiddetta funzione di dissipazione di Rayleigh

F = ¹

2 ( α

x

v

²_x

+ α

y

v

²_y

+ α

z

v

²_z

) ,

2 In realtà questi coefficienti dipendono oltre che dal mezzo anche dalla forma e dalle dimensioni del corpo immerso nel fluido.

p r i n c i p i o d i d’alembert ed equazioni di lagrange

abbiamo che F

_a

= −∇

v

F. Più in generale se il sistema è formato da N particelle, la forza viscosa totale è data da:

F

a

= −

∑

N k=1

( α

x

v

_kx

ˆı + α

y

v

_ky

ˆ + α

z

v

_kz

ˆk ) ,

dove si intende v

_k

= ( v

_kx

, v

_ky

, v

_kz

) è la velocità della k-esima particella. La funzio- ne di dissipazione in questo caso è data da:

F = ¹ 2

∑

N k=1

( α

_x

v

²_kx

+ α

_y

v

²_ky

+ α

_z

v

²_kz

) .

La forza viscosa agente sulla k-esima particella può ovviamente essere scritta co- me F

_a,k

= −∇

vk

F. Se il sistema ha n gradi di libertà e q

_j

con j = 1, . . . , n sono le coordinate generalizzate, le equazioni di Lagrange sono le seguenti:

d dt

 ∂L

∂ ˙ q

_j



− _∂q ^∂L

j

= Q

_j

(1.21)

dove le Q

_j

sono le forze generalizzate associate alle forze viscose e non derivabili da un potenziale, e L è la lagrangiana, scritta tenendo conto di tutte le forze conservative. Sappiamo che:

Q

_j

=

∑

N k=1

F

_a,k

· ^∂r _∂q

^k

j

= −

∑

N

k=1

∇

v_k

F · ^∂r _∂q

^k

j

=

= −

∑

N k=₁

∇

v_k

F · ^∂v _{∂ ˙ q}

^k

j

= − _{∂ ˙} ^∂F _q

j

.

Allora in conclusione possiamo scrivere le equazioni di Lagrange (1.21) nel modo seguente:

d dt

 ∂L

∂ ˙ q

_j



− _∂q ^∂L

j

+ ^∂F

∂ ˙ q

_j

= 0.

Evidentemente siamo in grado di scrivere esplicitamente le equazioni del moto conoscendo le due funzioni scalari L e F.

1 .4.3 Trasformazioni di gauge e lagrangiana di una particella immersa in un campo elettromagnetico

Siano ϕ e A i potenziali scalare e vettoriale nel campo elettromagnetico. Sappiamo che la lagrangiana assume la forma: L = mv

²

/2 − ^qϕ + qA · v/c. Il sistema ha tre gradi di libertà. Operiamo le seguenti trasformazioni di gauge:

ϕ → ^ϕ

⁰

= ϕ − ¹ _c ^∂χ ( r, t )

∂t ; A → ^A

⁰

= A + ∇ ^χ ( r, t ) .

12

1.4 potenziali generalizzati e funzioni di dissipazione

Il campo elettromagnetico è invariante per trasformazioni di gauge. Sia ora L

⁰

= mv

²

/2 − ^qϕ

⁰

+ qA

⁰

· v/c la nuova lagrangiana. Allora:

L

⁰

= ^mv

2

2 − ^qϕ + ^q c

∂χ

∂t + ^q

c A · ^v + ^q

c ∇ ^χ · ^v =

= L + ^q c

∂χ

∂t + ^q

c ∇ χ · ^v =

= L + ^q c

dχ dt .

Concludendo, L

⁰

ed L differiscono per la derivata totale rispetto al tempo di una funzione scalare di r e di t. Le equazioni di Lagrange sono, di conseguenza, invarianti per trasformazioni di gauge.

Problemi

1 . Se L = L ( q, ˙q, t ) è una lagrangiana per un sistema a n gradi di libertà che verifica le equazioni di Lagrange, dimostrare che L

⁰

= L + dF ( q, t ) /dt, con F funzione arbitraria di classe opportuna, verifica anch’essa le equazioni di Lagrange.

Dimostrazione. Osserviamo che dF ( q, t )

dt =

∑

n k=1

∂F ( q, t )

∂q

_k

˙q

k

+ ^∂F ( q, t )

∂t . Allora per j = 1, . . . , n

∂L

⁰

( q, ˙q, t )

∂ ˙ q

_j

= ^∂L ( q, ˙q, t )

∂ ˙ q

_j

+ ^∂F ( q, t )

∂q

_j

∂L

⁰

( q, ˙q, t )

∂q

_j

= ^∂L ( q, ˙q, t )

∂q

_j

+ ^∂

∂q

_j

dF ( q, t ) dt . Supponendo che

∂

∂q

_j

dF ( q, t )

dt = ^d

dt

∂F ( q, t )

∂q

_j

abbiamo dunque, sempre per j = 1, . . . , n, che d

dt

 ∂L

∂ ˙ q

_j



− _∂q ^∂L

j

= 0 ⇐⇒

d dt

 ∂L

⁰

∂ ˙ q

_j



− _dt ^{d ∂F} ( q, t )

∂q

_j

− ^∂L _∂q

⁰

j

+ ^∂

∂q

_j

dF ( q, t )

dt = 0 ⇐⇒

d dt

 ∂L

⁰

∂ ˙ q

_j



− ^∂L _∂q

⁰

j

= 0.