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L I = − RI + V − V . ˙ chepu´oessereespressainformavettorialecompattanelseguentemodo: I I V R V ˙ I R 000 I V V = − + − ˙ LMMMLMMML R 000 I V V I ˙ Analogheequazionidifferenzialisipossonoscrivereperlealtredueinduttanze.Organizzandoinformamatricialeletreequ

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Academic year: 2021

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(1)

Circuito trifase

Si consideri il seguente circuito trifase collegato a stella.

R L

L R

L R

s s

s s

s s

s s

- 



6 6 6

I1 I2 6

I3

V1 V0 V2

V3 M

Si scelgano come variabili di stato le tre correnti I1, I2 e I3 che circolano nelle tre induttanze e si introducano le seguenti matrici:

L =

L M M M L M M M L

, R =

R 0 0 0 R 0 0 0 R

, I =

I1 I2 I3

, V =

V1 V2 V3

, V0 =

V0 V0 V0

I parametri L ed M rappresentano i coefficienti di auto e mutua induzione delle tre induttanze presenti nel circuito. L’equazione differenziale che descrive la dinamica della prima induttanza si ottiene imponendo che la derivata del flusso Φ1 = LI1+ M I2+ M I3 concatenato con la prima induttanza sia uguale alla caduta di tensione VL1 = V1 − V0 − RI1 ai capi dell’induttanza:

1

dt = VL1 → L ˙I1 + M ˙I2 + M ˙I3 = V1 − V0 − RI1

Analoghe equazioni differenziali si possono scrivere per le altre due induttanze.

Organizzando in forma matriciale le tre equazioni differenziali si ottiene la seguente equazione differenziale matriciale:

L M M M L M M M L

˙I1

˙I2

˙I3

= −

R 0 0 0 R 0 0 0 R

I1 I2 I3

+

V1 V2 V3

V0 V0 V0

che pu´o essere espressa in forma vettoriale compatta nel seguente modo:

L˙I = −RI + V − V0.

(2)

Le variabili di stato I1, I2 e I3 sono vincolate dal seguente legame algebrico:

I1 + I2 + I3 = 0.

Tale legame pu`o essere espresso in modo vettoriale nel seguente modo:

 1 1 1 

I1 I2 I3

= 0 ↔ vT3I = 0 dove v3 =

1 1 1

.

Il vettore di stato I(t) evolve nel tempo ma rimane sempre perpendicolare al vettore v3. Il modo migliore per “inserire” questo vincolo all’interno della descrizione matematica del sistema `e quello di procedere ad una trasformazione di coordinate I = T I nello spazio degli stati nella quale il versore v3 compaia come uno dei vettori della nuova base:

T =  v1 v2 v3  =

2

6 0 13

−1 6

1 2

1

−1 3

6 −1 2

1 3

, v3 = v3

|v3| =

1 13

3

1 3

I due versori v1 e v2 rendono ortonormale la matrice di trasformazione T. La matrice inversa T−1 della matrice ortonormale T ´e uguale alla sua trasposta:

T−1 =

2

6 −1 6 −1

6

0 12 −12

1 3

1 3

1 3

= TT

Per sistemi che abbiano la struttura L ˙x = Ax+Bu vale la seguente propriet´a.

Propriet`a. Se al seguente sistema dinamico:

L˙x = Ax + Bu y = Cx + Du

si applica la trasformazione di coordinate x = Tx si ottiene il seguente sistema equivalente:

L ˙x = Ax + Bu y = Cx + Du dove:

(3)

Inoltre, se la trasformazione di coordinate `e tempo variante, x = T(t) x, la matrice A assume la forma seguente:

A = T−1AT − T−1L ˙T

Prova. Per sostituzione di x = Tx nel sistema originario si ottiene:

L(T ˙x + ˙Tx) = ATx + Bu

y = CTx + Du →

LT ˙x = (AT− L ˙T)x + Bu y = CTx + Du

e moltiplicando la prima equazione a sinistra per la matrice T−1 si ottiene:

L

z }| {

T−1LT ˙x =

A

z }| {

(T−1AT − T−1L ˙T) x +

B

z }| {

T−1B u y = CT| {z }

C

x + Du

Il vantaggio di utilizzare rappresentazioni dinamiche del tipo “L ˙x = Ax+Bu”

sta nel fatto che `e possibile operare delle trasformazioni nello spazio degli stati senza dover “invertire” la matrice L e quindi `e possibile trasformare il sistema anche nei casi in cui la matrice L `e singolare.

————–

Propriet`a. Le matrici di trasferimento H(s) e H(z) dei seguenti sistemi dinamici:

L˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)

Lx(k+ 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) possono essere ottenute utilizzando le seguenti formule:

H(s) = C(L s− A)−1B+ D, H(z) = C(L z − A)−1B+ D.

Prova. La matrice di trasferimento H(s) si calcola come segue:

H(s) = C(I s− (L−1A))−1(L−1B) + D

= C(L−1(L s− A))−1(L−1B) + D

= C(L s − A)−1L(L−1B) + D

= C(L s − A)−1B + D

(4)

Applicando al sistema:

L˙I = −RI + V − V0

la trasformazione di coordinate I = T I si ottiene il sistema trasformato:

(T−1LT)

| {z }

L

˙I = − (T−1RT)

| {z }

R

I+ T−1(V − V0)

Essendo R proporzionale alla matrice identit`a, si ha che R = T−1RT = R.

La matrice trasformata L = T−1LT ha invece la seguente struttura:

L = T−1LT =

2 6 −1

6 −1 6

0 12 −12

1 3

1 3

1 3

L M M M L M M M L

2

6 0 13

−1 6

1 2

1

−1 3

6 −1 2

1 3

=

2 6 −1

6 −1 6

0 12 −12

1 3

1 3

1 3

2(L−M)

6 0 (L+2M )3

−(L−M) 6

(L−M) 2

(L+2M )

−(L−M) 3 6

−(L−M) 2

(L+2M ) 3

=

(L − M) 0 0

0 (L − M) 0

0 0 (L + 2M )

I vettori trasformati I = T−1I, V = T−1V e V0 = T−1V0 assumono la seguente forma:

I =

2I1−I2−I3 6 I2−I3

2 I1+I2+I3

3

, V =

2V1−V2−V3 6 V2−V3

2 V1+V2+V3

3

, V0 =

0 0

3V0

3

Essendo I1 + I2 + I3 = 0, la terza componente ¯I3 del nuovo vettore di stato I

`e identicamente nulla: ¯I3 = 0:

I =

123

=

2I1−I2−I3 6 I2−I3

2

0

(5)

La nuova descrizione dinamica del sistema di partenza `e ora la seguente:

L− M 0 0

0 L− M 0 0 0 L+ 2M

I˙¯1 I˙¯2 0

= −

R 0 0 0 R 0 0 0 R

12 0

+

2V1−V2−V3 V2−V63 V1+V2+V23−3V0

3

La terza equazione del sistema esprime un legame statico che permette di determinare il valore V0 della tensione di centro stella:

V0 = V1 + V2 + V3

3 .

Il sistema trifase di partenza ha quindi una dinamica interna del secondo ordine:

Lb

z }| {

L − M 0

0 L − M

˙Ib

z }| {

I˙¯1 I˙¯2

= −

Rb

z }| {

R 0 0 R

Ib

z }| {

12

+

Vb

z }| {

2V1−V2−V3 V2−V63

2

In forma compatta si pu`o scrivere

Lb ˙Ib = −R Ib + Vb ↔ (L − M) ˙Ib = −R Ib + Vb

Supponiamo ora che la terna di tensioni in ingresso sia equilibrata:

V =

V1 V2 V3

= VM

cos(θ) cos(θ − 3 ) cos(θ + 3 )

e che l’unico grado di libert`a per il controllo del sistema sia l’ampiezza VM

delle tensioni V1, V2 e V3. Si noti che le tre tensioni V1, V2 e V3 soddisfano lo stesso vincolo algebrico delle correnti:

V1 + V2 + V3 = 0 ↔ vT3V = 0

La terza componente del vettore V `e quindi identicamente nulla. Ne segue che anche V0 = 0. Il vettore Vb assume invece la seguente forma:

Vb =

2V1−V2−V3 V2−V6 3

2

= VM

2 cos(θ)−cos(θ−3 )−cos(θ+3 )

6

cos(θ−3 )−cos(θ+3 )

2

= VM

3 cos(θ) 6

−2 sin(θ) sin(−2π3 )

2

= VM

r3 2

cos(θ) sin(θ)

(6)

Il sistema di partenza diventa quindi lineare tempo-variante in quanto la matrice degli ingressi Bb `e funzione del parametro θ:

L − M 0

0 L − M

| {z }

Lb

I˙¯1 I˙¯2

| {z }

˙Ib

= −

R 0 0 R

| {z }

Rb

12

| {z }

Ib

+

vu uu t3

2

cos(θ) sin(θ)

| {z }

Bb

VM

In forma compatta si ottiene la seguente equazione differenziale matriciale:

Lb ˙Ib = −RbIb + BbVM (1)

Gli autovalori di questo sistema sono λ1,2 = L−R−M, cio`e due autovalori reali.

Posto θ = ωt `e possibile applicare al precedente sistema (1) la seguente nuova trasformazione di coordinate Ib = TωIω dove:

Tω =

cos ωt − sin ωt sin ωt cos ωt

, T−1ω =

cos ωt sin ωt

− sin ωt cos ωt

.

Le matrici Tω e T−1ω rappresentano due rotazioni nel piano di angoli, rispet- tivamente, θ = ωt e θ = −ωt. Applicando la trasformazione Ib = TωIω al sistema (1) si ottiene il seguente sistema trasformato:

T−1ω LbTω

| {z }

Lω

˙Iω = (− T−1ω RbTω

| {z }

Rω

− T−1ω Lbω

| {z }

Aω

) Iω + T−1ω Bb

| {z }

Bω

VM

La matrice Tω `e tempo variante per cui nel sistema trasformato compare anche il termine Aω = T−1ω Lbω. In questo caso il termine Aω ha la seguente forma:

Aω = T−1ω Lbω =

0 −ω(L − M)

ω(L − M) 0

Il vettore trasformato Bω assume la seguente forma:

Bω = T−1ω Bb = T−1ω

vu uu t3

2

cos(θ) sin(θ)

=

r3

2

0

Ora il vettore trasformato Vω = BωVM ´e costante:

Vω = BωVM = VM

r3

2

0

(7)

La trasformazione Ib = TωIω ha reso il sistema lineare tempo-invariante:

˙¯Iω =

L−R−M ω

−ω L−R−M

¯Iω +

r3

2 1 (L−M)

0

VM I = TbTω¯Iω

(2)

dove con Tb si `e indicata la matrice rettangolare formata dalla prime due colonne della matrice T:

Tb =  v1 v2  =

2 6 0

−1 6

1

−1 2

6 −1 2

Gli autovalori del sistema (2) sono complessi coniugati:

λ1,2 = −R

L − M ± jω

La trasformazione di coordinate tempo-variante Ib = TωIω ha modificato “la parte immaginaria dei poli” del sistema.

Il sistema (2) ´e un descrizione dinamica completamente equivalente al sistema di equazioni differenziali iniziali:

L M M M L M M M L

˙I1

˙I2

˙I3

= −

R 0 0 0 R 0 0 0 R

I1 I2 I3

+

V1 V2 V3

V0 V0 V0

ed ingloba gi´a al proprio interno il vincolo strutturale sulle correnti:

I1 + I2 + I3 = 0.

(8)

Simulazioni: spazio degli stati trifase statico

• Andamento temporale delle correnti I. Risposta al gradino VM = 100:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−300

−200

−100 0 100 200 300

Correnti I1, I2 e I3

(A)

Tempo [s]

• Traiettoria nello spazio degli stati:

−300

−200

−100 0

100 200

−200

−100 0 100 200 300

−200

−100 0 100 200 300

I2 I1

I3

(9)

Spazio degli stati bifase statico

• Andamento temporale delle correnti Ib. Risposta al gradino VM = 100:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−300

−200

−100 0 100 200 300 400

Correnti Ib1 e Ib2

(A)

Tempo [s]

• Traiettoria nello spazio degli stati:

−300 −200 −100 0 100 200 300

−300

−200

−100 0 100 200 300 400

Trajettoria nello spazio degli stati (Ib1, Ib2)

Ib2

Ib1

(10)

Spazio degli stati bifase ruotante

• Andamento temporale delle correnti Iω. Risposta al gradino VM= 100:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−400

−300

−200

−100 0 100 200 300

Correnti Iw1 e Iw2

Tempo [s]

(A)

• Traiettoria nello spazio degli stati:

−50 0 50 100 150 200 250

−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50 0

Trajettoria nello spazio degli stati (Iw1, Iw2)

Iw2

Iw1

(11)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Circuito_trifase.m

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear all; clc; echo off

set(0,’DefaultFigureWindowStyle’,’docked’) %%%% Figures ’docked’ or ’normal’

MainString = mfilename; % MainString

%%%%% Unit di misura

A=1; ohm=1; V=1; H=1; rad=1; sec=1; Stampa=1;

%%%%% Parametri del sistema

R=0.1*ohm; % Resistenza di ogni singolo circuito L=0.05*H; % Autoinduttanza di ogni singolo circuito M=0.04*H; % Mutuainduttanza di ogni singolo circuito w=50*rad/sec; % Frequenza di rete

VM=100*V; % Ampiezza della tensione in ingresso

%%%%% Matrici di sistema MA=[ -R/(L-M) w;

-w -R/(L-M)];

MB=[ sqrt(3/2)/(L-M); 0];

MC=[ 1 0; 0 1];

SYS=ss(MA,MB,MC,0); % Sistema SYS nel riferimento ruotante set(SYS,’InputName’,’V_M’)

set(SYS,’StateName’,[’Iw_1’; ’Iw_2’]) set(SYS,’OutputName’,[’Iw_1’; ’Iw_2’]) SYS

%%%%% Risposta al gradino del sistema SYS [Y t X]=step(SYS);

X=X*VM; % La risposta del sistema lineare rispetto Y=Y*VM; % all’ampiezza VM della tensione di ingresso Iw1=X(:,1); % Corrente bifase routante: prima componente Iw2=X(:,2); % Corrente bifase routante: seconda componente Lw=1.2; % Larghezza di linea

%

%%%%% Andamento temporale delle correnti Iw1 Iw2 figure(1); clf

plot(t,[Iw1 Iw2],’LineWidth’,Lw) xlim([0 t(end)])

title(’Correnti Iw1 e Iw2’) xlabel(’Tempo [s]’)

ylabel(’(A)’); grid

if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end

%

%%%%% Traiettoria (Iw1 Iw2) nel sistema ruotante figure(2); clf; hold off

plot(Iw1,Iw2,’LineWidth’,Lw); hold on

Iw_ss=-inv(MA)*MB*VM; % Valore a regime delle correnti Iw1 e Iw2 plot(Iw_ss(1),Iw_ss(2),’rx’,’LineWidth’,Lw)

axis square; grid

title(’Trajettoria nello spazio degli stati (Iw1, Iw2)’) ylabel(’Iw2’)

xlabel(’Iw1’)

if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end

%

%%%%% La matrice di trasformazione Tw ha la seguente struttura:

% Tw=[cos(w*t) -sin(w*t);

% sin(w*t) cos(w*t)];

% L’andamento delle correnti sul piano bifase statico il seguente:

Ib1=sum(([cos(w*t) -sin(w*t)].*[Iw1’;Iw2’]’)’)’;

Ib2=sum(([sin(w*t) cos(w*t)].*[Iw1’;Iw2’]’)’)’;

%

%%%%% Andamento temporale delle correnti Ib1 Ib2 figure(3); clf

(12)

plot(t,[Ib1 Ib2],’LineWidth’,Lw) xlim([0 t(end)])

title(’Correnti Ib1 e Ib2’) ylabel(’(A)’); grid

xlabel(’Tempo [s]’)

if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end

%

%%%%% Traiettoria (Ib1 Ib2) nel piano bifase statico figure(4); clf; hold off

plot(Ib1,Ib2,’LineWidth’,Lw) grid; axis square

title(’Trajettoria nello spazio degli stati (Ib1, Ib2)’) ylabel(’Ib2’)

xlabel(’Ib1’)

if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end

%

%%%%% La matrice di trasformazione Tb ha la forma seguente:

Tb=[

2/sqrt(6) 0;

-1/sqrt(6) 1/sqrt(2);

-1/sqrt(6) -1/sqrt(2)];

I=Tb*[Ib1’;Ib2’];

I1=I(1,:)’; I2=I(2,:)’; I3=I(3,:)’;

%

%%%%% Andamento temporale delle correnti I1, I2 e I3 figure(5); clf

plot(t,I,’LineWidth’,Lw) xlim([0 t(end)])

title(’Correnti I1, I2 e I3’) ylabel(’(A)’); grid

xlabel(’Tempo [s]’)

if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end

%

%%%%% Traiettoria (I1 I2 I3) nel piano trifase statico figure(6); clf; hold off

plot3(I1,I2,I2,’LineWidth’,Lw) axis square; grid

zlabel(’I3’) ylabel(’I2’) xlabel(’I1’)

if Stampa; eval([’print -depsc ’ MainString ’_’ num2str(gcf)]); end return

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