I V V V = 2 R I I = V /R ++++ ı  +=+= IRIRVIRIRVDB V : ∑∑∑∑ I g V V V r I ++++ ı I I V

ESERCIZIO E.1: Si consideri il doppio bipolo di figura1. Si determini la matrice a parametri R della formulazione afferente la controllabilità in corrente. Si dica, motivando la risposta, se esiste la matrice G della duale formulazione della controllabilità in tensione. (1ª Prova in Itinere 2011)

La specifica richiesta concernente la determinazione della matrice R per la formulazione della controllabilità in corrente, implica che entrambe le sorgenti indipendenti richieste per l’alimentazione, rispettivamente alla porta d’ingresso e alla porta d’uscita saranno costituite da due generatori ideali di corrente, indicati con I1 e I2, così come mostrato in figura 1a.

Il modello matematico che esprime la relazione costitutiva del doppio bipolo in esame è esplicitato nella scrittura che di seguito si riporta:

 



+

=

+

=

2 22 2

21 2

2 12 1 11

:

1

I R I R V

I R I R DB

_R

V

Per ispezione diretta si evince che:

V

_X

= 2

·

R

·

I

₁;

I

_X

= V

₂

/R

L’applicazione della seconda legge di Kirchhoff, legge delle correnti, al supernodo ∑∑∑∑ consente di scrivere quanto segue:

X X m

V I g

I

I

₁

+

₂

+ =

dallaqualericordando la precedente espressione di VX, si ottiene:

I

₁

+ I

₂

+ 2 g

_m

RI

₁

= I

_X , ovvero:

( 1 + 2 g

_m

R ) I

₁

+ I

₂

= I

_X

( 1 )

Atteso quanto già premesso per ispezione diretta, relativamente all’espressione di IX = V2/R, si ha:

2 1

2 2

2

1

( ) ( 1 2 )

) 2 1

( + g

_m

R I + I = V R ⇒ V = + g

_m

R RI + RI

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia afferente alla porta di ingresso consente le posizioni seguenti:

X m X

X X

m

X

r I RI V V R r I

V

V

₁

− − = ⇒

₁

− = ( + )

Ricordando che VX = 2RI1 e quanto sancito dalla relazione (1) in merito alla corrente IX, si perviene alla scrittura di seguito riportata:

] )

2 1 )[(

( 2

)

(

_{1 1 1 2}

1

V R r I V RI R r g R I I

V −

_X

= +

_{m X}

⇒ = + +

_m

+

_m

+

L’attivazione dei necessari e dovuti passaggi algebrici consente di esplicitare la relazione seguente:

2 1

1

1

2 RI ( R r )( 1 2 g R ) I ( R r ) I

V = + +

_m

+

_m

+ +

_m , ovvero, in conclusione:

2 1

1

1

[ 2 RI ( R r )( 1 2 g R )] I ( R r ) I V = + +

_m

+

_m

⋅ + +

_m

⋅

In definitiva non resta che scrivere il modello costitutivo, a parametri R, del doppio bipolo relativo alla rete di figura 1, nella formulazione afferente la controllabilità in corrente; si ottiene:

 



⋅ +

⋅ +

⋅

=

⋅ + +

⋅ +

+ +

=

2 1

2

2 1

1

) 2 1 (

) (

)]

2 1 )(

( 2 : [

I R I R g R

V

I R r I R g r

R R DB V

m

m m

m ⇔⇔⇔⇔

 



+

=

+

=

2 22 2 21 2

2 12 1 11

:

1

I R I R V

I R I R DB

_R

V

Il confronto del modello ora ottenuto con quello canonico della formulazione controllata in corrente consente di concludere quanto segue:

) 2 1 ( ) (

11

2 R R r g R

R = + +

_m

⋅ +

_m

R

₁₂

= ( r

_m

+ R )

R

₂₁

= R ⋅ ( 1 + 2 g

_m

R )

R

₂₂

= R

La matrice [R] della formulazione della controllabilità in corrente assume la forma seguente:

+ + + + ı

V

2

R 2R

I

_X

V

_X

r

_m

I

_X

g

m

V

X

V

1

I

2

I

1

(figura – 1)

V

₂

R 2R

I

_X

V

_X

r_mI_X

g_mV_X

V

1

I₁ I₂

(figura – 1a)

+ + + +

ı

∑

∑ ∑

∑

 



 



+

⋅

+ +

+

= +

R R

g R

R r R g r

R R R

m

m m

m

DB

( 1 2 )

) (

) 2 1 )(

( 2

L’esistenza dell’eventuale matrice “G” per la duale formulazione della controllabilità in tensione è legata alla caratteristica di NON singolarità della matrice “R”; pertanto, è necessario calcolare il determinante della matrice “R”. Si ottiene quanto di seguito esplicitato:

2

2

( )( 1 2 ) ( ) ( 1 2 ) 2

2

) 2 1 ( ) (

)]

2 1 )(

( 2 [ )

det(

R R

g R

r R R g r

R R R

R g R

r R R g r

R R R R

m m

m m

m m

m m

DB

= +

⋅ +

⋅

− +

+

⋅ +

=

= +

⋅ +

⋅

− +

+ +

⋅

=

Poichérisulta

det(R

DB

) = 2

·

R

²

≠ ≠ ≠ ≠ 0 ∀ ∀ ∀ ∀ R ≠ ≠ ≠ ≠ 0

, la matriceRDBèNON SINGOLARE e quindi anche INVERTIBILE. Si conclude asserendo l’esistenza della matrice “G” della formulazione controllata in tensione; in particolare vale la posizione GDB=(RDB)^-1.

Secondo metodo: Procedura delle Prove Semplici. È la procedura che attiene alla definizione dei parametri stessi, ovvero alla loro relazione costitutiva; infatti la determinazione dei parametri Rij si effettua a coppie imponendo il funzionamento a vuoto prima della porta d’uscita e successivamente

della porta di ingresso.

Calcolo di R11 e di R21. La rete che si deve studiare è mostrata in figura 1b.

Giovaricordarele relazionicostitutive dei due parametri oggetto della ricerca

A I A

I

I

R V I

R V

1 0 21 2 1 0

11 1

2

2= =

=

=

Per ispezione diretta si evince che:

V

X

= 2

·

R

·

I

1;

I

X

= V

2

/R

La legge di Kirchhoff delle correnti, applicata al supernodo di corrente ∑∑∑∑ consente di scrivere, ricordando che è I2 =0A, quanto segue:

X m

X X m X

X

m

V I I g V I I g RI I

g I

I

₁

₊

₂

_{+ =} ⇒

₁

_{+ =} ⇒

₁

+ ₂

₁

=

da cui si ottiene:

X m

R I I g ⋅ = + 2 )

₁

1

(

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia relativa alla porta d’ingresso consente le posizioni seguenti:

1 1

1

1

V r I RI V 2 RI ( R r ) ( 1 2 g R ) I

V ₋

_X

₋

_{m X}

₌

_X

⇒ − = +

_m

⋅ +

_m

⋅

Da tale scrittura si perviene alla relazione caratterizzante il parametro R11; infatti si ha:

1 1

1 1

1

2 RI ( R r ) ( 1 2 g R ) I V [ 2 R ( R r ) ( 1 2 g R )] I

V _{= + +}

_m

_{⋅ +}

_m

_⋅ ⇒ = + +

_m

⋅ +

_m

⋅

Si conclude, pertanto, con la scrittura di seguito riportata:

) 2 1 ( ) (

)] 2 2

1 ( ) (

2 [

1

1 1 0

11 1

2

R g r

R I R

I R g r

R R I

R V

^{m m} _{m m}

A I

+

⋅ + +

⋅ = +

⋅ +

= +

=

=

L’applicazionedellalegge diOhm aimorsettidellaresistenzaRpermettediscriverequanto segue:

1 2

2

RI V R ( 1 2 g R ) I

V ₌

_X

⇒ = ⋅ +

_m

⋅

Da questa scrittura si perviene alla relazione caratterizzante il parametro R21; infatti si ha:

) 2 1 ) (

2 1 (

1

1 1 0

21 2

2

R g I R

I R g R

I

R V

^m _m

A I

+

⋅

⋅ = +

= ⋅

=

=

Calcolo di R11 e di R21. La rete che si deve esaminare è riportata nella figura 1c, caratterizzata dalla sola presenza della sorgente indipendente I2 e dalla messa a vuoto della porta di ingresso ottenuta tramite lo spegnimento della sorgente indipendente I1.

V

2

R 2R

I

X

V

X

r_mI_X

g_mV_X

V

₁

I1

I2=0A

(figura – 1b)

+ + + +

ı

∑

∑

∑

∑

Per una corretta applicazione della procedura delle prove semplici è necessarioricordarele relazioni costitutive dei due parametri R che sono l’oggetto della ricerca:

A I A

I

I

R V I

R V

2 0 22 2 2 0

12 1

1

1= =

=

=

Per ispezione diretta si evince che:

V RI

V A

I

₁

₌ 0 ⇒

_X

= 2

₁

= 0

da cui consegue che:

g

m

V

X

= 0 A

Pertanto il generatore ideale dipendente di corrente pilotato dalla tensione VX si deveconsiderarespento.Siottiene,così, il circuito mostrato con la figura 1d.

Atteso quanto ottenuto tramite l’ispezione diretta, si osserva che l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo

∑∑∑

∑ permette di posizionare quanto segue:

X X m

V I g

I

I

₁

+

₂

+ =

da cui si ottiene:

I

₂

= I

_X

L’applicazione della legge di Ohm ai capi della resistenza R determina la relazione che segue:

2

2

R I R I

V = ⋅

_X

= ⋅

Pertanto, si perviene alla relazione caratterizzante il parametro R22; infatti è evidente che:

I R I R I

R V

A I

⋅ =

=

=

= 2

2 2 0

22 2

1

Il ricorso all’uso della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata, in riferimento al verso mostrato in figura 1d, alla maglia relativa alla porta di ingresso esplicita la seguente scrittura:

X m X

m X X

X m

X

r I RI V RI r I V R r I

V

V

₁

_{− − =} ⇒

₁

_{= +} ⇒

₁

= ₍ + ₎ ⋅

dalla quale ricordando che I2 =IX, come già precedentemente dedotto con l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo ∑∑∑∑, si perviene alla seguente scrittura conclusiva:

2 1

( R r ) I V = +

_m

⋅

Pertanto, si perviene alla relazione caratterizzante il parametro R22; infatti è evidente che:

) ) (

(

2 2 2 0

12 1

1

m m

A I

r I R

I r R I

R V + ⋅ = +

=

=

=

Il modello canonico della formulazione controllata in corrente è, pertanto, costituito dai parametri R di seguito riportati:

) 2 1 ( ) (

11

2 R R r g R

R = + +

_m

⋅ +

_m

R

₁₂

= ( r

_m

+ R )

R

₂₁

= R ⋅ ( 1 + 2 g

_m

R )

R

₂₂

= R

Consegue che la matrice a parametri R, caratteristica della formulazione controllata in corrente, assume la forma seguente:

 



 



+

⋅

+ +

+

= +

 

 



= 

R R

g R

R r R g r

R R R

R R R R

m

m m

m

DB

( 1 2 )

) (

) 2 1 )(

( 2

22 21

12 11

V

2

R 2R

I

_X

V

_X

r_mI_X

g_mV_X

V

1

I2

I₁=0A

(figura – 1c)

+ + + +

ı

∑ ∑

∑ ∑

V

2

R 2R

I

_X

V

X

rmIX

V

₁

I₂ I₁=0A

(figura – 1d)

+ + + +

ı

∑ ∑

∑ ∑

ESERCIZIO E.2: Nel circuito di figura 2 l’operazionale è da ritenersi ideale. Si vuole determinare la tensioneVKai morsetti d’uscita e lacorrenteIOP al morsettod’uscitadell’operazionalestesso.

Sono noti: VS =8V; R1 =R2 =R3 =R=12KΩΩΩΩ; R4 =11KΩΩΩ; RΩ F =48KΩΩ; RΩΩ K =100ΩΩΩΩ.

La rete lineare che utilizza l’amplificatore operazionale nella tipica configurazione mostrata in figura 2, al fine di evidenziare al meglio le sue proprietà e la peculiarità dei collegamenti , può essere ridisegnata in conformità allo schema circuitale della figura2a.L’applicazione del principiodel bipolo equivalente di Thevenin alla rete individuata dal bipolo αααα consente così di pervenire allo schema elettrico mostrato nella figura 2b in cui devono intendersi le due seguenti posizioni:

2

2

1 2

1

S S S

TH

V R R

V R R R

V

E R =

+

= ⋅ +

= ⋅

) 2 ( ) ( ) (

_{1 2}

1

R R R R R

R

_TH

= = =

Sostituendo i dati noti forniti dalla traccia si ottiene il risultato che segue:

V V

E

_TH

(

_S

2 ) ( 8 2 ) 4

1

= = =

Ω

=

=

= R K

R

_TH

( 2 ) 12 2 6

1

La reiterazionedel principio del bipolo equivalente di Thevenin applicatoalla rete individuata dal bipolo ββββ consente ancoradipervenire alloschema elettrico mostrato in figura2b in cui vanno intese le seguenti posizioni:

V V R

R V

E

_TH

R

^{S S}

23 88 12 11

11

4 3

4

2

=

+

= ⋅ +

= ⋅

Ω

=

=

= R R K

R

_TH

23 ) 132 12 11 ( ) (

_{3 4}

2

Lo schema circuitale di figura 2b realizza un amplificatore operazionale nella tipica configurazione “DIFFERENZIALE non vincolata” per la quale l’applicazione del Principio di Sovrapposizione degli Effetti consente di relazionare come segue:

1 1

2 2

2

1

_TH

F TH

F TH

F TH

TH F

K

E

R R

R R

E R R

V R ⋅

⋅ +

 





 



 + +

⋅

−

=

(1)

La sostituzione nella (1) dei parametri noti consente di pervenire alla scrittura di seguito esplicitata:

54 4 48 11 1 92 32 48 4

6 48 132

23 1 48

23 88 132

23

48  ⋅ ⋅



 



 + +

−

= + ⋅

 ⋅



 



 ⋅

+ +

⋅ ⋅

−

K

=

V

, da cui si ottiene:

R mA I V

V V

K K K

K

0 , 012929 12 , 929

100 29 , 29 1

, 9 1 32 11

32 103  = ⇒ = = = =



 



 ⋅ +

−

=

+ ++ +

−−−

− VS

R4

R3

V

_K

R2

R1

− + + + +

RF

RF RK

IOP

++ ++

−−

−− VS

R4

R3

V

_K

R2

R1

−

+ + + +

RF

RF RK

IOP

++ ++

−−

−− VS

(figura – 2a) (figura -2)

α α α β α

β β β

+ + + +

−

−

−

− ETH1

V

_K

RTH1

−

+ + + +

RF

RF RK

IOP

(figura – 2b) RTH2

++ ++

−−

−− ETH2

IF

VRF

I_K

γγγγ

Ai fini della determinazione della corrente IOP al morsettod’uscitadell’operazionale si deve fare ricorso allaleggediKirchhoffdellecorrentiapplicataalnodoγγγγ;a tale riguardo,l’applicazione della legge di Ohm ai morsetti della resistenza di reazione RF consente di relazionare nella forma che di seguito si riporta:

 



 



+

− ⋅

⋅

− =

⋅

=

=

+

1

1

1

TH F

TH F K

F F

K F

RF

F

R R

E V R

R R

V V R

I V

Sostituendo i valori noti e attivando le dovute semplificazioni aritmetiche, si ottiene quanto segue:

mA

I

_F

10 0 , 047

48 26 , 2 9

29 32 , 48 1 10 6

48 4 29 48

, 48 1

10

^{3 3} ₃

−

=

⋅

−

 =



 



 −

⋅

 =



 





+

− ⋅

⋅

=

⁻

−

−

Come precedentemente indicato, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al morsetto di uscita γγγγ consente di determinare la corrente IOP dell’operazionale; infatti si verifica che:

mA I

I I

I I

I

_OP

+

_F

+

_K

= 0 ⇒

_OP

= − (

_F

+

_K

) = − ( − 0 , 047 + 12 , 929 ) ⋅ 10

⁻³

= − 12 , 882

Secondo metodo: Principio dei potenziali di nodo. L’operazionale è reazionato negativamente tramite la resistenza RF che collega la sua uscita con il morsetto invertente. Quindi è operante il Principio di traslazione del potenziale il cui effetto viene esplicitato nella nota relazione: V⁺=V^–. Per tanto, si può concludere che i nodi da considerare sono solo tre e sono rappresentati dalle tre tensioni VK, V⁺ e V^– , considerando noto il potenziale VS della sorgente in tensione.

La rete da studiare è riportata in figura 2c in cui si sono evidenziate tutte le correnti di specifico interesse per l’analisi nodale.

Si definiscono pertanto, in funzione dei tre potenziali dianzi citati, le seguenti correnti:

F K RF

F F S

S

R V I V

R I V R

I V R

V I V

R I V R

V

I V −

=

=

− =

=

− =

=

+ +

+ + + +

;

;

;

;

;

4 4 3

3 2 2 1

1

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti ai nodi interessati dai tre potenziali citati si caratterizza per le seguenti relazioni di interesse:

a)

F S

F S

F

R

V R V R V R V R

V R V R

V I V

I I

+ + + +

+ +

+ +

⇒ = +

− = + ⇒

=

2 1 1 2

1 2

1 , da cui si ottiene:

1 2

1 2 1

2 1 2

1 1

1 1 1

R V R R R R R R

R R V R

R V R R R

V

_S

F F

F F

S

⋅

+

= +

⋅ ⇒

 



 

 + +

=

^{+ +}

S F F

F

V

R R R R R R

R

V R ⋅

+

= +

+

2 1

2 1

2 ovvero: _S

F

F

V

R R R

R

V R ⋅

= +

+

) (

) (

2 1

2 da cui:

V

⁺

= (32/9) V

Il risultato conseguito poteva essere ottenuto immediatamente per ispezione diretta; infatti, atteso che il morsetto invertente e non invertente dell’operazionale non possono assorbire o erogare corrente, consegue che la corrente I1 si riparte fra le due resistenze R2 e RF, collegate fra loro in parallelo e la tensione VS si riparte fra la resistenza R1 e la resistenza equivalente del parallelo di R2 e RF.

b)

F K F S

F K S

RF

R

V R V R V R V R V R

V V R V R

V I V

I

I − ⇒ = + + −

+

− = + ⇒

=

+ + + +

+ +

4 3 3 4

3 4

3

Svolgendo i dovuti passaggi algebrici e le necessarie semplificazioni si ottiene:

++ ++

−−

−− VS

R4

R3

V

K

R2

R1

− + + + +

RF

RF RK

IOP

(figura – 2c) I1

I2 I4 IF

IRF

IK

I3

V⁺

S F F

F K S

F F

K

V

R V R

R R R R

R V V V R R R R

V  ⋅ − ⋅





 

 + +

⇒ =

−

 ⋅





 

 + +

=

^{+ +}

3 4

3 3

4 3

1 1 1 1

1 1

La sostituzione di V⁺ con l’espressione precedentemente ricavata consente di relazionare come di seguito riportato:

S F S F F

F F

F

K

V

R V R R R R R R R

R R R

R

R R R R R

V R  ⋅ − ⋅





 



+

⋅ +

 



 

 + +

=

3 2

1 2 1

2 4

3

4 3

4

3 (2)

L’inserimento dei dati dei componenti forniti dalla traccia consente di ricavare il valore di VK:

V

V

_K

8 1 , 29

12 8 48 48 12 48 12 12 12

48 12 11

12

48 11 48 12 11

12  =



 



 ⋅

−

 ⋅



 





⋅ +

⋅ +

⋅

⋅ ⋅

 

 





⋅

⋅ +

⋅ +

= ⋅

È doveroso e interessante osservare che la relazione (2) coincide, anche se scritta in altra forma, con la relazione (1) trovata con la precedente procedura risolutiva attuata con la semplificazione del circuito mediante l’applicazione del principio del generatore equivalente di Thevenin; infatti, dalla (1) ricordando quanto in precedenza esplicitato e che di seguito si riporta:

( )

2 1

2 2 1

1 2

1 2

1

1

;

R R

R R R

R R R

R V

E

_TH

R

^S _TH

= + + =

= ⋅

( )

4 3

4 4 3

3 4

3 4

2

2

;

R R

R R R

R R R

R V

E

_TH

R

^S _TH

= + + =

= ⋅

la già citata relazione (1) assume la forma che di seguito in particolare si evidenzia:

) (

) 1 (

) (

) (

1

2 1

2

2 1

2 4 1

3

4 3 4

3 4 4

3

4 3

1 1

2 2

2

R R

V R

R R

R R R

R R

R

R R R R

R V R R

R

R R R

R E R

R R

E R R

V R

S

F F F

S F

TH F TH

F TH

F TH

TH F K

+

⋅ ⋅

+ +

 ⋅



 



 ⋅ +

+ + +

⋅ ⋅ +

− ⋅

=

= + ⋅

 ⋅







 



 + +

⋅

−

=

L’attivazionedeinecessari calcolialgebricie delle dovute semplificazioni esplicitano la scrittura:

) (

)

(

^{1 2}

2

2 1

2 1 2 4 1

3

4 3

4 3

3

R R

V R

R R

R R R R R R

R R

R

R R R R R V R

R

V R

^S

F F

F F

F S

F

K

+

⋅ ⋅

+ +

⋅ +

 



 

 + +

+

⋅

−

=

alla quale,dopo l’ultimazionedelle evidenti semplificazionialgebriche,corrispondela relazione che di seguito si riporta:

S F

F F F

F S

F

K

V

R R R R R R

R R R

R

R R R R R V R

R

V R  ⋅





 



+

⋅ +

 



 

 + +

+

⋅

−

=

2 1 2

1

2 4

3

4 3

4 3 3

Essa, sia nella forma, sia nella sostanza, coincide con la scrittura (2) ottenuta mediante il metodo risolutivo che attiene all’applicazione dell’analisi nodale.

Noto il potenziale VK del morsetto di uscita dell’operazionale, l’applicazione della legge di Ohm ai morsetti della resistenza di carico RK consente di determinare la corrente IK; si ha infatti:

R mA V R R R R R R R R

R R R R R R R R R

V R R R

I V

K S F

F

F F

F K

S F K

K

K

12 , 929

100 29 , 1 )

(

) (

2 1 2

1 4 3

4 3

4 3 2

3

=

= + ⋅

+

⋅

+ +

+ ⋅

⋅

−

=

=

La determinazione delle tensioni VK e V⁺ consente di calcolare la corrente di reazione IRF con la relazione IRF = (V⁺–VK)/RF = [(32/9) – (128/99)]/48 = [(4/9) – (16/99)]/6 = 47,138µµµµA.

Con la legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo d’uscita dell’operazionale si determina la corrente IOP; si ha infatti: IRF =IOP +IK, da cui si ottiene: IOP =IRF –IK =–12,882mA.

ESERCIZIO E.3: Mediante l’Analisi nodale o “principio dei potenziali di nodo”, si determini la tensione VY, considerando il nodo connesso a terra come nodo di riferimento. Si determini anche la potenza PIS erogata dal generatore ideale di corrente IS. Sono assegnati: ES =30V; R=25ΩΩΩΩ;

IS =4A; µµµµ=2.

È utile ridisegnare il circuito di figura 3 nella equivalente struttura mostrata in figura 3a in cui è, altresì, evidenziata la numerazione dei nodi di interesse e attribuito ai singoli lati della rete lineare i corrispondenti versi delle correnti.

Per ispezione diretta si evince che la tensione VY, oggetto della richiesta della traccia, costituisce una ripartizione del potenziale V2 associato al nodo 2; pertanto, l’applicazione della legge del partitore resistivo di tensione consente di relazionare come segue:

2 2

) 2 ( ) 2 (

) 2

(

_{2 2}

V

₂

R R V R

R

V

V

_Y

R = ⋅ =

+

= ⋅

Sempre per ispezione diretta si evince quanto segue:

V

3

= µ µ µ µ V

X

V

₁₂

= E

_S

→ → → → (V

₁

– V

₂

) = E

_S

→ → → → V

₁

= (E

_S

+ V

₂

) .

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia afferente l’anello esterno della rete consente di relazionare come di seguito esplicitato:

X X

X

V V V V V V

V = (

₂

−

₃

) =

₂

− µ ⇒

₂

= ( 1 + µ )

Da cui si ottiene la seguente relazione:

) 1 (

2

µ

= V + V

_X

La scrittura delle correnti nei singoli lati d’interesse porge le relazioni che di seguito si esplicitano:

R V R

R I V R

V E R

I

₁

V

^{1 S 2} _Y ^{2 2}

) 2 ( ) 2

; ( =

= +

= +

=

Inoltre,ricordando il legame che intercorre fra la tensione di pilotaggio VX e il potenziale V2 del nodo 2 si ottiene:

R V R

V R

V

I

_R

V

^X

) 1 ( )

(

_{3 2 2}

µ

− +

=

−

− =

=

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ∑∑∑∑ di tensione, consente inoltre di relazionare come segue:

 

 



 + +

=

⇒ − + +

= + +

⇒ − +

=

+ µ 1 µ

2 1 )

) ( 1

(

²

2 2

1 2

RI E V

R V R

V I E

R I V

I I

I

_{R S Y S} ^S

_{S S}

Svolgendo i necessari passaggi algebrici si perviene alla seguente scrittura:

) 1 (

1 2 2

2

RI

S

E

S

V = −

+ ⋅ + +

µ

µ

⇒

) 3 2 (

) )(

1 (

2

+

−

= +

µ

µ ^RI

_S

^E

_S

V

_⇒

V 30 V

) 2 2 3 (

) 30 4 25 ( 3

2

=

⋅ +

−

⋅

= ⋅

La conoscenza del valore del potenziale V2 del nodo 2 consente di determinare quanto segue:

V V V V V

V V

V V

E

V

_{S X Y}

15

2 30 20 2

3 30 2 60 1

30

30

₃ ^{2 2}

2

1

⋅ = = = =

+ =

=

=

= +

= +

= µ

µ µ

La potenza erogata dal generatore indipendente di corrente è determinata dalla relazione:

P

_IS

= V

₁₃

·I

_S

= (V

₁

– V

₃

)·I

_S

= (60 – 20)·4 = 40·4 = 160 W

. R/2

µ µ µ µVX

I

_S

+ ı ES

R/2

V

X

R

−

R

− −

− + + + +

V

Y

(figura–3)

R/2 µµ

µµV_X

+ ı

E

_S

R/2

V

_X

R

R

I

_S

+ + + +

− −

− −

V_Y (figura – 3a)

3 1 2

V₁ V₂ V₃

IR

I₁ I_Y V_Y

∑

∑

∑

∑

ESERCIZIO E.4: Si determini, col principio del bipolo equivalente di Thevenin, la corrente IX

assorbita dalla resistenza R1 e la tensione VX ai poli del generatore di corrente ββββIX pilotato dalla corrente IX nel circuito di figura 4. Si determini, inoltre, la corrente IN dell’equivalentebipolo di Norton verificando la correttezza del risultato ottenuto. Sono assegnati: ES =2V; IS =1A; ββββ=3;

R1 =3ΩΩ; RΩΩ 2 =1ΩΩ; ΩΩ

Si tratta di determinare il bipolo equivalente di Thevenin, ovvero se esiste, il generatore reale di tensione che collegato direttamente ai morsetti della resistenza R1 garantisca la circolazione della stessa corrente IX dovuta alla rete di figura 4. Pertanto, l’applicazione della procedura risolutiva del Principio del bipolo equivalente di Thevenin si traduce nella determinazione della rete equivalente così come mostrato in figura 4a.

Per ispezione diretta si evince, in ossequio alle legge di Ohm che:

V

X

= R

1

·I

X.

a) Determinazione della tensione ETH.La retedaprendereinconsiderazioneèmostratainfigura4b in cui si evidenzia la rete originaria privata del lato costituito dalla resistenza R1 della quale si vuole

calcolare la corrente in essa circolante. Il condizionamento afferente la messa a vuoto della rete originaria privata del lato in esame comporta la validità della posizione IX = 0A; il generatore dipendente di corrente ββββIX pilotato dalla corrente IX deve, conseguentemente, considerarsi spento, così come mostrato in figura 4c. L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni all’unica maglia costituente il circuito di figura 4c, consente di relazionare come segue:

V I

R E E

I R E

E

_TH

−

_S

= −

_{2 S}

^⇒

_TH

=

_S

−

_{2 S}

= 2 − ( 1 ⋅ 1 ) = 1

R1

+++ +

−−−

− R2

ES

IX

IS

ββ ββIX

VX

R1

+ ++ +

−

−−

− R2

ES

IX

IS

β β β βIX

VX

+ + + +

ETH

–

(figura–4a)

RTH

R1

IX

A

A

B

B (figura–4)

R

1

R I E

TH TH

X

= +

++ ++

−−

−− R2

ES

IX

IS

ββ ββIX =0

(figura–4c) A

B ETH

+ + + +

−

−

−

− R2

ES

IX

IS

β β β βIX

ETH

(figura–4b) A

B