1. Si considerino la matrici A :=

ESERCIZI Geometria 1 – VI Foglio 2011 Autoteoria.

1. Si considerino la matrici A :=





5 4 3

−1 0 −3

1 −2 1



 , B :=





3 1 −1 1 3 −1

0 0 2



 . (i) Calcolare il polinomio caratteristico di A e di B;

(ii) trovarne autovalori ed autovettori;

(iii) dire se la matrici A (rispettivamente B) ` e diagonalizzabile e, in caso di risposta affermativa, esibire una matrice invertibile H tale che H

⁻¹

AH (rispettivamente H

⁻¹

BH) sia diagonale.

2. Discutere la diagonalizzabilit` a su R e su C delle matrici reali di ordine 2. In particolare, distinguere i seguenti casi

(a) tr(A)

²

− 4det(A) > 0;

(b) tr(A)

²

− 4det(A) = 0;

(c) tr(A)

²

− 4det(A) < 0.

3. Si considerino le suguenti matrici A

λ





1 − 2λ −λ −λ

2λ 1 + λ λ

2λ λ 1 + λ



 ,









1 2 λ

²

− λ λ

2 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 3







 al variare di λ ∈ R.

(i) Determinare autovalori ed autovettori di A

_λ

; (ii) trovare i λ per cui A

λ

` e diagonalizzabile;

(iii) determinare gli autospazi relativi ad A

_λ

;

(iv) nel caso in cui A

_λ

sia diagonalizzabile trovare una matrice invertibile H

_λ

tale che H

_λ⁻¹

A

_λ

H

_λ

= J

_λ

.

4. Si considerino le seguenti matrici reali A









2 0 0 0

−4 2 −4 3

4 0 5 3

−3 0 −2 0







 ,









2 0 −1 0

2 3 1 1

1 0 4 0

−1 0 0 2







 ,









−1 0 2 0

−1 1 2 −1

−1 0 1 0

−2 2 2 3







 .

(i) calcolare il polinomio caratteristico;

(ii) trovarne autovalori ed autovettori;

(iii) dire se ` e diagonalizzabile e in questo case trovare una matrice invertibile H tale che H

⁻¹

AH = J .

5. La traccia di un endomorfismo Definiamo la traccia tr(A) di una matrice quadrata A come la somma degli elementi nella diagonale principale. Mostrare che per ogni matrice invertibile P si ha tr(A) = tr(P

⁻¹

AP ) (suggerimento: pensare al polinomio caratteristico di A e guardare il coefficiente del termine di grado n−1).

Dedurre che possiamo definire la traccia per una applicazione lineare come la traccia di una qualunque matrice che la rappresenti scelta una base dello spazio (cio` e, la definizione appena data non dipende dalla base).

i) Mostrare che tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(αA) = αtr(A) per α ∈ R

¯ . ii) Dimostrare che tr(AB) = tr(BA) e che tr(AB) 6= tr(A)tr(B) in generale.

1

2

6. La successione di Fibonacci. La successione di Fibonacci ` e definita da x

0

= 1, x

1

= 1 e poi ricorsivamente da x

_n+1

= x

_n

+ x

_n−1

. Scrivere i primi numeri della successione. Determinare una formula chiusa, cio` e non ricorsiva, che dia x

n

in funzione di n.

Suggerimento: Osservare che

 x

_n+1

x

n



=

 1 1 1 0

  x

_n

x

n−1



e iterando il procedimento:

 x

_n+1

x

n



=

 1 1 1 0



n

 x

₁

x

0



. Si tratta di calcolare la potenza n-sima di una matrice, che risulta diagonalizzabile.

Esiste quindi una matrice invertibile H ed una matrice diagonale B tale che

 1 1 1 0



= HBH

⁻¹

. Ma

 1 1 1 0



n

= HB

ⁿ

H

⁻¹

(perch` e?)....

7. Data la base B := {u

1

:=

^t

(−1, 1, 1), u

2

:=

^t

(1, 0, 1), u

3

:=

^t

(0, 1, 1)} di R

³

, trovare la matrice di cambio di base B :=

B

M

_C

(id) tra la base canonica e la base B.

Dato l’endomorfismo dipendente dal parametro t ∈ R, f

t

: R

³

→ R

³

, tale che f

_t

(u

₁

) =

^t

(−2t − 1, −5t − 1, −6t), f

_t

(u

₂

) =

^t

(2t + 2, 4t + 2, 5t)

f

t

(u

3

) =

^t

(0, −t, −t).

(a) Trovare la matrice A

_t

associata a f

_t

rispetto alla base canonica.

(b) Dire per quali valori di t la matrice A

_t

` e diagonalizzabile su R.

(c) Trovare gli autovalori e gli autovettori di A

−1

.

8. Si consideri l’endomorfismo dipendente dal parametro t ∈ R, f

t

: R

³

→ R

³

, tale che f

_t

(

^t

(1, 1, 1)) =

^t

(−t + 2, 2t + t

²

, 0), f

_t

(

^t

(1, 0, 1)) =

^t

(−t + 1, t + t

²

, 0)

f

t

(

^t

(1, 1, 0)) =

^t

(−t + 1, 2t, 0), .

(i) Verificare che f

t

esiste ed ` e unico. Trovare la matrice A

t

associata a f

t

rispetto alla base canonica.

(ii) Dire per quali valori di t la matrice A

_t

` e diagonalizzabile su R e su C.

(iii) Trovare gli autovalori e gli autovettori di A

−1

.

9. Si consideri l’endomorfismo dipendente dal parametro t ∈ R, f

t

: R

⁴

→ R

⁴

, tale che f

t

(

^t

(1, 0, t, 0)) =

^t

(1, 1, 3t

²

− 1, 1), f

t

(

^t

(0, 1, 0, 0)) =

^t

(1, 1, −1, 1)

f

_t

(

^t

(0, t, 0, 1)) =

^t

(1 + t, 1 + t, −1 − t, 1 + t), f

_t

(

^t

(−t, −1, 1, 1)) =

^t

(−t, −t, 4t, −t).

(a) Verificare f

t

esiste unico.

(b) Trovare la matrice A

t

associata a f

t

rispetto alla base canonica.

(c) Dire per quali valori di t A

t

` e diagonalizzabile su R.

(d) Calcolare gli autovalori di A

³₀

− 3A

²₀

.