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Classe quinta
TEOREMA di De L’HÔPITAL
Enunciato:
Siano y f(x) e yg(x) due funzioni continue e nulle per xx0 e derivabili in un intorno di x0 (escluso al più x0), inoltre nell’intorno di x0 (escluso al più x0) sia
0 ) x (
g . In tali ipotesi, se esiste il
) x ( g
) x ( lim f
x0
x
esiste allora anche il limxx0 gf((xx)) e
risulta che i due limiti sono uguali, ossia: x x H
) x ( g
) x ( lim 0 f
) x ( g
) x ( lim f
x0
x
.
Esercizio : Calcolare:
2 x 3 x
6 x x 4
lim x 4 2
2 3 1
x
.
0 0 2 x 3 x
6 x x 4
lim x 4 2
2 3 1
x
, forma indeterminata,
ma essendo verificate tutte le ipotesi del Teorema De L’ Hôpital, si può scrivere:
2 6 12 x
6 x 4
1 x 8 x lim 3 2
x 3 x
6 x x 4
lim x 3
2 1 x H 2
4 2 3 1
x
.
Osservazioni: la validità del Teorema si estende anche ai seguenti casi:
0 0 ) x ( g
) x (
limx f ;
) x ( g
) x (
limx x0 f ;
) x ( g
) x (
limx f .
In pratica, se si ha un quoziente il cui numeratore e denominatore convergono tutti e due a zero oppure divergono a infinito, si calcola il quoziente delle derivate del numeratore e del denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esiste anche il limite del quoziente originale, e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.
PROF. MAURO LA BARBERA “Teorema di De L’Hôpital”
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