Crescita economica II: la tecnologia, i dati empirici e la politica economica

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C

APITOLO

8

Crescita economica II: la tecnologia, i dati empirici e la politica economica

Domande di ripasso

1. Secondo il modello di Solow solo il progresso tecnologico può influenzare il tasso di crescita di stato stazionario del reddito per occupato. La crescita dello stock di capitale (attraverso un elevato saggio di risparmio) e la crescita demografica non hanno alcun effetto sulla crescita di stato stazionario del reddito per occupato. Il progresso tecnologico, al contrario, può indurre una crescita sostenuta e continua.

2. Nello stato stazionario del modello di Solow, prodotto e capitale per occupato effettivo non crescono. Dato che la produttività aumenta al tasso g, il prodotto aggregato e il capitale per occupato aumentano al medesimo tasso. Lo dimostra il fatto che nel periodo 1995-2004 nel Regno Unito la produttività e il prodotto aggregato sono cresciuti approssimativamente allo stesso tasso (circa 2,5%).

3. Per stabilire se un’economia ha una dotazione di capitale in eccesso o in difetto rispetto al livello di regola aurea è necessario confrontare il prodotto marginale del capitale al netto dell’ammortamento (PMK – ␦) con il tasso di crescita del prodotto totale (n ⫹ g). Il tasso di crescita del PIL è un dato facilmente reperibile. La stima del prodotto marginale netto del capitale è più complesso ma, come abbiamo mostrato nel testo, possiamo avvalerci dei dati sullo stock di capitale in rapporto al PIL, dell’ammortamento totale in rapporto al PIL e della quota del PIL destinata al capitale.

4. La politica economica può influenzare il saggio di risparmio sia aumentando il risparmio pubblico sia incentivando il risparmio privato. Il risparmio pubblico è la differenza tra le entrate pubbliche e la spesa pubblica: se la spesa eccede le entrate, il bilancio dello Stato è in disavanzo e il risparmio pubblico è negativo. Le politiche tese a contenere il disavanzo (come la riduzione della spesa pubblica o l’aumento delle imposte) aumentano il risparmio pubblico mentre, al contrario, le politiche che fanno aumentare il disavanzo provocano una diminuzione del risparmio pubblico. Inoltre, svariati provvedimenti di politica economica possono avere un effetto sul risparmio privato. Le decisioni di risparmio di un nucleo familiare sono influenzate dal rendimento: quanto maggiore è il rendimento del risparmio, tanto più allettante è la prospettiva di risparmiare, in alternativa a consumare. Gli incentivi fiscali, come l’esenzione fiscale totale o parziale dei rendimenti generati da piani pensioni- stici individuali o collettivi e i crediti di imposta per gli investimenti delle imprese, fanno aumentare il rendimento e, di conseguenza, incentivano il risparmio privato.

5. Il tasso di crescita del prodotto pro capite ha subito un rallentamento dopo il 1972. Tale rallentamento sembra essere la conseguenza di un rallentamento della crescita della pro- duttività, cioè del tasso al quale la funzione di produzione migliora nel tempo. Sono state proposte svariate interpretazioni di tale fenomeno, che rimane però avvolto nel mistero.

Nella seconda metà degli anni 1990, negli Stati Uniti, nel Regno Unito e in alcuni altri paesi la produttività è tornata a crescere più rapidamente. Molti analisti hanno attribuito questa accelerazione della crescita della produttività agli effetti del progresso delle tecnologie informatiche.

6. Le teorie della crescita endogena tentano di spiegare il tasso di progresso tecnologico sof- fermandosi sulle decisioni che determinano la creazione della conoscenza, attraverso i pro- cessi di ricerca e sviluppo. Il modello di Solow, invece, considera il progresso tecnologico

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crescita solo temporaneamente, perché i rendimenti decrescenti del capitale alla fine spin- gono l’economia verso uno stato stazionario, nel quale la crescita dipende esclusivamente da un progresso tecnologico esogeno. Al contrario, molti modelli di crescita endogena ipo- tizzano che i rendimenti del capitale siano costanti, invece che decrescenti, includendo nella definizione di capitale anche la conoscenza. Di conseguenza, le variazioni del saggio di risparmio possono indurre variazioni permanenti del tasso di crescita.

Problemi e applicazioni pratiche

1. (a) Per trovare i valori di stato stazionario di y in funzione di s, n, g e ␦, partiamo dall’equazione che esprime la variazione dello stock di capitale nello stato stazionario:

⌬k ⫽ sf(k) – (␦ ⫹ n ⫹ g)k ⫽ 0 La funzione di produzione y ⫽ k–

può essere riscritta come y² ⫽ k. Sostituendo questa espressione nell’equazione precedente, otteniamo che, nello stato stazionario:

sy – (␦ ⫹ n ⫹ g)y² ⫽ 0 Risolvendo troviamo il valore di stato stazionario di y:

y * ⫽ s/(␦ ⫹ n ⫹ g)

(b) La domanda fornisce le seguenti informazioni sui due paesi:

Paese industrializzato Paese in via di sviluppo

s 0,28 0,10 n 0,01 0,04 g 0,02 0,02

␦ 0,04 0,04

Utilizzando l’equazione di y* sviluppata nella parte (a) possiamo calcolare i valori di y di stato stazionario per ciascun paese:

Paese industrializzato: y* ⫽ 0,28/(0,04 ⫹ 0,01 ⫹ 0,02) ⫽ 4 Paese in via di sviluppo: y * ⫽ 0,10/(0,04 ⫹ 0,04 ⫹ 0,02) ⫽ 1

(c) L’equazione di y* derivata nella parte (a) mostra che il paese in via di sviluppo potreb- be aumentare il proprio livello di reddito riducendo il tasso di crescita demografica n o aumentando il saggio di risparmio s. I provvedimenti volti alla riduzione del tasso di cre- scita demografica includono una maggiore diffusione dei metodi per il controllo delle nascite e l’introduzione di disincentivi alla procreazione. I provvedimenti tesi ad aumentare il risparmio includono invece l’aumento del risparmio pubblico, la riduzione del disavanzo e l’introduzione di sgravi fiscali atti ad aumentare il rendimento del risparmio.

2. Per risolvere questo problema è necessario riepilogare che cosa conosciamo dell’economia britannica.

• Una funzione di produzione di Cobb-Douglas con la forma y ⫽ k^␣, dove ␣ è la quota del prodotto destinata al capitale. L’esercizio ci dice che ␣ ⫽ 0,3, per cui sappiamo che la funzione di produzione è y ⫽ k^0,3.

• Un tasso di crescita del prodotto di stato stazionario di 2,5%, per cui (n ⫹ g) ⫽ 0,025.

• Un tasso di ammortamento ␦ ⫽ 0,04.

• Un rapporto capitale/prodotto K/Y ⫽ 2,5. Poiché k/y ⫽ [K/(L ⫻ E)]/[Y/(L ⫻ E)] ⫽ K /Y, sappiamo anche che k/y ⫽ 2,5, cioè che il rapporto capitale/prodotto è uguale sia in termini assoluti, sia espresso per lavoratore effettivo.

(a) Cominciamo dalla condizione di stato stazionario sy ⫽ (␦ ⫹ n ⫹ g)k. Riscrivendo questa relazione, otteniamo l’espressione del risparmio nazionale di stato stazionario:

s ⫽ (␦ ⫹ n ⫹ g)(k/y) Inserendo i valori indicati sopra:

s ⫽ (0,04 ⫹ 0,025)(2,5) ⫽ 0,163

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Il saggio di risparmio iniziale è pari al 16,3%.

(b) Sappiamo dal capitolo 3 che in una funzione di produzione di Cobb-Douglas la quota di reddito destinata al capitale è pari a ␣ ⫽ PMK(K/Y ). Questa relazione può essere scritta anche come:

PMK ⫽ ␣/(K/Y ) Sostituendo i valori riportati sopra otteniamo:

PMK ⫽ 0,3/2,5 ⫽ 0,12 (c) Sappiamo che nello stato stazionario di regola aurea:

PMK ⫽ (n ⫹ g ⫹ ␦) Sostituendo i valori scritti sopra otteniamo:

PMK ⫽(0,025 ⫹ 0,04) ⫽ 0,065

Nello stato stazionario di regola aurea il prodotto marginale del capitale è il 6,5%, mentre nello stato stazionario iniziale era il 12%. Quindi, per passare dallo stato stazionario iniziale a quello di regola aurea è necessario aumentare k.

(d) Dal capitolo 3 sappiamo che nella funzione di produzione di Cobb-Douglas PMK ⫽

␣(Y/K ). Risolvendo per il rapporto capitale/prodotto otteniamo:

K/Y ⫽ ␣/PMK

Usando questa equazione possiamo calcolare il rapporto capitale/prodotto di regola aurea. Se sostituiamo il valore del prodotto marginale del capitale di regola aurea, pari a 0,065, e il valore di ␣, pari a 0,3, otteniamo:

K/Y ⫽ 0,3/0,065 ⫽ 4,62

Nello stato stazionario di regola aurea il rapporto capitale/prodotto è pari a 4,62, mentre invece il suo valore iniziale è pari a 2,5.

(e) Sappiamo dalla parte (a) che nello stato stazionario:

s ⫽ (␦ ⫹ n ⫹ g)(k/y)

dove k/y è il rapporto capitale/prodotto di stato stazionario. Nell’introduzione a questa risposta abbiamo visto che k/y ⫽ K/Y, mentre nella parte (d) abbiamo visto che il rap- porto capitale/prodotto di regola aurea è K/Y ⫽ 4,62. Sostituendo questi valori a quelli sopra riportati:

s ⫽ (0,04 ⫹ 0,025)(4,62) ⫽ 0,30

Per raggiungere lo stato stazionario di regola aurea, il saggio di risparmio deve crescere dal 16,5% al 30%.

3. (a) Sappiamo che nello stato stazionario sy ⫽(␦ ⫹ n ⫹ g)k. Questo implica che:

(k/y) ⫽ s/(␦ ⫹ n ⫹ g)

Dato che s, ␦, n e g sono costanti, anche k/y sarà a sua volta una costante. Poiché k/y ⫽ [K /(L ⫻ E)]/[Y/(L ⫻ E)] ⫽ K/Y, possiamo concludere che nello stato stazionario il rapporto capitale/prodotto è costante.

(b) Sappiamo che la quota di reddito destinata al capitale è PMK ⫻ (K/Y ). Dalla parte (a) sappiamo che nello stato stazionario il rapporto capitale/lavoro K/Y è costante. Il sugge- rimento ci dice anche che PMK è funzione di k, che nello stato stazionario è costante;

quindi anche PMK deve essere a sua volta costante. Di conseguenza, la quota di pro- dotto destinata al capitale deve essere costante. La quota di prodotto destinata al lavoro è [1 – (quota destinata al capitale)]. Dunque, se la quota destinata al capitale è costante, lo sarà anche quella destinata al lavoro.

(c) Sappiamo che nello stato stazionario il reddito totale cresce al tasso n ⫹ g (il tasso di cre- scita demografica più il tasso di progresso tecnologico). Nella parte (b) abbiamo mostrato che le quote di prodotto destinate a capitale e lavoro sono costanti. Se le quote sono costanti e il reddito totale cresce al tasso n ⫹ g, anche il reddito del lavoro e del capitale devono crescere al tasso n ⫹ g.

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(d) Definiamo la rendita reale del capitale R come:

R ⫽ Reddito totale del capitale/stock di capitale

⫽ (PMK ⫻ K )/K

⫽ PMK

Sappiamo che nello stato stazionario il prodotto marginale del capitale PMK è costante, perché il capitale per lavoratore effettivo k è costante. Perciò possiamo concludere che la rendita reale del capitale nello stato stazionario è costante.

Per dimostrare che il salario reale w cresce a un tasso identico al tasso di progresso tecnologico g, definiamo:

RTL ⫽ Reddito totale del lavoro L ⫽ Forza lavoro

Come ci è stato suggerito, il salario reale è uguale al reddito totale del lavoro diviso per la forza lavoro:

w ⫽ RTL/L ovvero

wL ⫽ RTL In termini percentuali possiamo scrivere:

⌬w/w ⫹ ⌬L/L ⫽ ⌬RTL/RTL

Questa equazione dice che il tasso di crescita del salario reale sommato al tasso di crescita della forza lavoro è uguale al tasso di crescita del reddito totale del lavoro. Sappia- mo che la forza lavoro cresce al tasso n e, dalla parte (c), che il reddito totale del lavoro cresce al tasso n ⫹ g. Di conseguenza, possiamo concludere che il salario reale cresce al tasso g.

4. (a) La funzione di produzione per occupato è data da:

f k F K L

L

AK L

L A K

L Ak

a a a

( ) ( ) a

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

, ¹−

(b) Ricordiamo che l’equazione che descrive la variazione dello stock di capitale nello stato stazionario è:

⌬k ⫽ sf(k) – (␦ ⫹ n ⫹ g)k ⫽ 0 Ma se y ⫽ AK^a, abbiamo

k y A

⎛ a

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1/

Sostituendo nell’equazione precedente otteniamo:

sy n g y A

a

* ( )⎛ * ^/

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

e risolvendo per y* troviamo che il livello di reddito per occupato di stato stazionario è dato da:

y n g

s A ^a

a a

* + +_/

( )

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ ⁻

1 1

Osservate che la soluzione al quesito 1(a) non è che un caso particolare di questa solu- zione più generale (nell’esercizio 1 avevamo A ⫽ 1 e ␣ ⫽ 1/2).

Il rapporto tra i redditi di stato stazionario dei due paesi sarà:

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y y

n g s A

s A n

R M

R R R R

a

M a

M

*

* /

/

= ( )+ + ( )

( )

1

M M a a

+ +g ( )

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

=

−

1

0 08 0 32

010 010 , ,

, ,

⎛⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⁻ = ⁻

a

a a

1 41a

Questa è chiaramente una funzione di ␣.

(c) Se ␣ ⫽ 1/3, avremo:

y y

R M

*

4^{1 2}/ 2

Il reddito per occupato di Ricchezza sarà superiore a quello di Miseria di un fattore 2.

(d) Per ottenere un rapporto di 16, dobbiamo avere 4^{a /(a –1)} ⫽ 16. È facile stabilire che, per ottenere questo risultato, la quota di reddito destinata al capitale ␣ dovrebbe essere 2/3 invece di 1/3. Un modo per giustificare un più alto valore della quota di reddito destinata al capitale è considerare che K rappresenta non soltanto il capitale fisico, ma anche il capitale umano accumulato (cioè la conoscenza e le competenze che i lavoratori hanno acquisito nel tempo attraverso l’istruzione e la formazione sul posto di lavoro). In tal caso ␣ non rappresenta soltanto la quota di reddito che remunera la proprie- tà del capitale fisico, ma anche il reddito corrisposto a remunerazione della proprietà del capitale umano.

Un’altra possibile causa dell’ingente differenza di reddito tra Ricchezza e Miseria po- trebbe avere a che fare con le produttività dei fattori di produzione nei due paesi. In questo esercizio abbiamo ipotizzato che la produttività totale dei fattori sia uguale ad A in entrambi i paesi: ma si tratta di un’ipotesi poco realistica, dal momento che, nella re- altà, la produttività dei fattori di produzione varia molto da paese a paese. Probabil- mente Miseria avrebbe un minore prodotto aggregato rispetto a Ricchezza anche se le dotazioni di capitale e lavoro fossero identiche nei due paesi, per esempio, a causa della disponibilità di tecnologie meno avanzate, o dell’inadeguatezza delle istituzioni di go- verno dell’economia, che potrebbero scoraggiare la produzione, invece di incentivarla (per esempio, non eliminando il rischio che i politici si approprino di una parte di quanto prodotto).

5. In che modo le differenze dei livelli di istruzione influenzano i risultati del modello di So- low? L’istruzione è uno dei fattori che influenza l’efficienza del lavoro, che chiameremo E.

(Tra gli altri fattori che influenzano tale variabile ci sono lo stato generale di salute, le competenze e le conoscenze dei lavoratori.) Dato che il paese 1 ha una forza lavoro più istruita rispetto al paese 2, i lavoratori del paese 1 sono più efficienti. Quindi, E1 > E2. Ipotizziamo che entrambi i paesi si trovino nello stato stazionario.

(a) Nel modello di crescita di Solow il tasso di crescita del reddito aggregato è pari a n ⫹ g, ed è indipendente dal livello di istruzione della forza lavoro. I due paesi, quindi, avran- no il medesimo tasso di crescita del reddito aggregato, perché hanno il medesimo tasso di crescita demografica e di progresso tecnologico.

(b) Dato che entrambi i paesi hanno lo stesso saggio di risparmio, la stessa crescita demografica e lo stesso tasso di progresso tecnologico, sappiamo che convergeranno verso il medesimo livello di capitale per unità di lavoro efficiente, k*, come mostrato nella figu- ra 8.1. Pertanto il prodotto per occupato effettivo di stato stazionario, y* ⫽ f (k*), è lo stesso in entrambi i paesi. Ma y * ⫽ Y/(L ⫻ E), cioè Y/L ⫽ y*E. Sappiamo che y * è u- guale nei due paesi, ma che E₁ > E₂. Di conseguenza, y *E₁ > y *E₂. Ciò implica che (Y/L)1 > (Y/L)2: il livello di reddito per occupato è dunque maggiore nel paese con la forza lavoro più istruita.

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Investimento, investimento di equilibrio

k Capitale per occupato effettivo

k*

( + n + g) k sf (k)

Figura 8.1

(c) Sappiamo che la rendita reale del capitale è pari al prodotto marginale del capitale (PMK ), il quale, a sua volta, dipende dallo stock di capitale per occupato effettivo.

Nello stato stazionario, k1* ⫽ k2* ⫽ k*, dato che i due paesi hanno lo stesso saggio di risparmio, la stessa crescita demografica e lo stesso tasso di progresso tecnologico. In con- seguenza, anche R₁ ⫽ R2 ⫽ PMK. Perciò la rendita reale del capitale è uguale nei due paesi.

(d) Il prodotto aggregato è suddiviso in reddito destinato alla remunerazione del capitale e reddito destinato alla remunerazione del lavoro. Di conseguenza, il salario per occupato effettivo può essere espresso come:

w ⫽ f (k) – MPK ⫻ k

Come discusso nelle parti (b) e (c), entrambi i paesi hanno lo stesso stock di capitale k e lo stesso PMK, quindi il salario per occupato effettivo deve essere uguale nei due paesi.

Ma i lavoratori sono interessati al salario per occupato, non al salario per occupato effettivo. Inoltre, possiamo osservare che il salario per occupato non corrisponde necessariamente al salario per occupato effettivo; il rapporto tra le due quantità è dato dall’equazione:

Salario per occupato ⫽ wE

Pertanto il salario per occupato sarà più elevato nel paese con la forza lavoro più istruita.

6. (a) Nel modello di crescita endogena a due settori sviluppato nel testo, la funzione di pro- duzione dei beni industriali è:

Y ⫽ F[K, (1 – u)EL]

In questo modello abbiamo ipotizzato che tale funzione abbia rendimenti di scala costanti. Come abbiamo visto nel paragrafo 3.1, se i rendimenti di scala sono costanti, al- lora per qualsiasi numero positivo z, zY ⫽ F [zK, z (1 – u)EL]. Ponendo z ⫽ 1/EL, otte- niamo:

Y

EL F K

EL u

−⎛

⎝⎜ ⎞

, ( )1 ⎠⎟

Indicando con y il prodotto per occupato effettivo e con k il capitale per occupato:

y ⫽ F[k, (1 – u)]

(b) Per cominciare, notiamo dalla funzione di produzione della ricerca nelle università che il tasso di crescita dell’efficienza del lavoro, ⌬E/E, è uguale a g(u). Possiamo ora seguire l’approccio sviluppato nel paragrafo 8.1, sostituendo la funzione g (u) alla costante g.

L’investimento necessario per tenere costante il capitale per occupato effettivo (K/EL) deve includere tre termini: ␦k per reintegrare l’ammortamento del capitale; nk per do- tare di capitale i nuovi lavoratori; e g (u) per garantire una dotazione di capitale suffi-

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ciente al maggiore stock di conoscenza E, creato nella ricerca universitaria: di conse- guenza, tale investimento di equilibrio è [␦ ⫹ n ⫹ g(u)]k.

(c) Continuando a fare riferimento all’approccio sviluppato nel paragrafo 8.1, la crescita del capitale per occupato effettivo è la differenza tra il risparmio per occupato effettivo e l’investimento di pareggio per occupato effettivo. Possiamo ora sostituire la funzione di produzione per occupato effettivo calcolata nella parte (a) e la funzione g (u) alla co- stante g, in modo da ottenere:

⌬k ⫽ sF[k, (1 – u)] – [␦ ⫹ n ⫹ g(u)]k

Nello stato stazionario, ⌬k ⫽ 0, per cui possiamo riscrivere l’equazione precedente come:

sF [k, (1 – u)] ⫽ [␦ ⫹ n ⫹ g(u)]k

Come nella nostra analisi del modello di Solow, per un dato valore di u possiamo descri- vere graficamente il membro destro e il membro sinistro dell’equazione (figura 8.2).

Capitale per occupato effettivo

[ + n + g(u)]k sF (k, 1 – u)

Figura 8.2

Lo stato stazionario corrisponde all’intersezione delle due curve.

(d) Come mostrato nella figura 8.2 qui sopra, lo stato stazionario ha un capitale per occu- pato effettivo, k, costante. Ipotizziamo anche che nello stato stazionario ci sia una quota costante di tempo dedicato alla ricerca nelle università, in modo che u sia costante.

(Dopotutto, se u non fosse costante, non sarebbe uno stato «stazionario».) Di conse- guenza, anche y, il prodotto aggregato per occupato effettivo, è costante. Il prodotto per occupato è uguale a yE ed E cresce al tasso g (u). Il saggio di risparmio non influenza questa variabile, che è influenzata però dalla quantità di tempo dedicata alla ricerca nelle università: quanto più tempo è dedicato alla ricerca, tanto più aumenta il tasso di crescita del reddito per occupato di stato stazionario.

(e) Un incremento di u fa spostare entrambe le curve della figura: per ogni dato livello di capitale per occupato effettivo, il prodotto per occupato effettivo diminuisce, dato che alla produzione di beni industriali è dedicata una parte minore del tempo di ogni lavoratore. Ma questo è solo l’effetto immediato della variazione, dato che lo stock di capita- le K e l’efficienza del singolo lavoratore E sono costanti. Con la diminuzione del prodot- to per occupato effettivo, la curva che illustra il risparmio per occupato effettivo ruota verso il basso.

Ma, contemporaneamente, l’aumento del tempo dedicato alla ricerca fa aumentare il tasso di crescita dell’efficienza del lavoro g (u). Per ogni dato livello di k, pertanto, l’investimento di equilibrio [che abbiamo calcolato nella parte (b)] aumenta, e quindi la curva che mostra l’investimento di equilibrio ruota verso l’alto, come mostra la figura 8.3. Nel nuovo stato stazionario il capitale per occupato effettivo diminuisce da k1 a k2. Anche il prodotto per occupato effettivo diminuisce.

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Capitale per occupato effettivo

[δ + n + g(u₂)]k

sF (k, 1 – u₁)

B

A

[δ + n + g(u1)]k

sF (k, 1 – u₂)

k₂ k₁

Figura 8.3

(f) Nel breve periodo un aumento di u fa diminuire il consumo. D’altra parte, nella parte (e) abbiamo visto che l’effetto immediato di un aumento di u è una diminuzione del prodotto, dato che i lavoratori dedicano meno tempo alla produzione di beni industriali e più tempo all’ampliamento dello stock di conoscenza. Per ogni dato saggio di risparmio, la diminuzione del prodotto provoca una diminuzione del consumo.

L’effetto di lungo periodo sullo stato stazionario è meno chiaro. Nella parte (e) abbiamo stabilito che il prodotto per occupato effettivo nello stato stazionario diminuisce.

Ma il benessere dipende dal prodotto (e dal consumo) per occupato, non per occupato effettivo. L’aumento del tempo dedicato alla ricerca fa aumentare il tasso di crescita di E e, quindi, del prodotto per occupato, che è pari a yE. Per quanto diminuisca, nel lun- go periodo la più rapida crescita di E finisce per dominare. Quindi, nel lungo periodo, il consumo è destinato ad aumentare.

Tuttavia, dato l’iniziale declino del consumo, l’aumento di u non è necessariamente un bene: se i responsabili della politica economica hanno più a cuore il benessere della generazione attuale, rispetto a quello delle generazioni future, potrebbero decidere di non perseguire provvedimenti tesi a far aumentare u. (Questo esercizio è analogo a quello posto nel capitolo 7, a proposito del perseguimento del livello di capitale per occupato effettivo dello stato stazionario di regola aurea, nel caso in cui, nel momento ini- ziale, k sia al di sotto del livello di regola aurea.)

Altri problemi e applicazioni pratiche del capitolo 8

1. (a) La crescita del prodotto totale (Y ) dipende dal tasso di crescita del lavoro (L), del capi- tale (K ) e della produttività totale dei fattori (A), come sintetizzato dall’equazione:

⌬Y/Y ⫽ ␣⌬K/K ⫹ (1 – ␣)⌬L/L ⫹ ⌬A/A

dove ␣ è la quota del prodotto destinata alla remunerazione del capitale. Per valutare l’effetto di un aumento del lavoro del 5% sul prodotto totale, poniamo ⌬K/K ⫽ ⌬A/A

⫽ 0. Dato che ␣ ⫽ 2/3:

⌬Y/Y ⫽ (1/3)(5%) ⫽ 1,67%

Un aumento del fattore lavoro del 5% fa aumentare il prodotto aggregato dell’1,67%.

La produttività del lavoro è Y/L. Possiamo scrivere il tasso di crescita della produttivi- tà del lavoro come:

–

(Y/L) Y/L

L L

Y Y

Sostituendo i valori della crescita del prodotto e della crescita del lavoro, otteniamo:

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1,67% – 5% –3,34%

(Y/L) Y/L

La produttività del lavoro diminuisce del 3,34%.

Per calcolare la variazione della produttività totale dei fattori utilizziamo l’equazione:

⌬A/A ⫽ ⌬Y/Y – ␣⌬K/K – (1 – ␣)⌬L/L Con i dati di questo esercizio otteniamo:

⌬A/A ⫽ 1,67% – 0 – (1/3)(5%) ⫽ 0

La produttività totale dei fattori è la quota della crescita del prodotto che rimane dopo aver preso in considerazione le determinanti misurabili della crescita. In questo caso non si ha cambiamento tecnologico, per cui la crescita del prodotto nella sua interezza è attribuibile alla crescita misurata dei fattori di produzione. Di conseguenza, la crescita della produttività totale dei fattori è nulla, come ci si poteva attendere.

(b) Tra l’anno 1 e l’anno 2 lo stock di capitale cresce di 1/6, l’input di lavoro di 1/3 e il prodotto di 1/6. Sappiamo che la crescita della produttività totale dei fattori è data da:

⌬A/A ⫽ ⌬Y/Y – ␣⌬K/K – (1 – ␣)⌬L/L Sostituendo i valori indicati sopra e ponendo ␣ ⫽ 2/3, troviamo:

⌬A/A ⫽ 1/6 – (2/3)(1/6) – (1/3)(1/3)

⫽ 3/18 – 2/18 – 2/18

⫽ –1/18

⫽ –0,056

La produttività totale dei fattori diminuisce di 1/18, pari a circa il 5,6%.

2. Per definizione, il prodotto totale Y è uguale alla produttività del lavoro Y/L moltiplicata per la forza lavoro L:

Y ⫽ (Y/L)L

Ricorrendo all’espediente matematico suggerito nel testo dell’esercizio, possiamo riscrivere l’espressione come:

Y Y

L L

(Y/L) Y/L Riordinando, otteniamo:

(Y/L) Y/L

L L

Y Y

Sostituendo il valore di ⌬Y/Y indicato nel testo, troviamo:

(Y/L) A K (1 – ) L – L Y/L A K L L

A K – L A K L

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

A A

K K

L L

Ricorrendo allo stesso espediente utilizzato sopra, possiamo esprimere il termine tra paren- tesi come:

K

K L L

K L

− = ( / )K L /

Sostituendo questa espressione nell’equazione della crescita della produttività del lavoro, giungiamo alla conclusione che:

(Y/L) A (K/L) Y/L A K/L

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3. Sappiamo che:

Y

Y n g

K

K n g

L

L n

= + =

= = 3 6

3 6

1 2 , %

, %

quota del lavoro ⫽ ␣ ⫽ 0,33 quota del capitale ⫽ 1 – ␣ ⫽ 0,66

Sulla base di tali fatti, possiamo facilmente calcolare il contributo di ciascuno dei fattori e, quindi, il contributo della crescita della produttività totale dei fattori, usando le seguenti equazioni:

Crescita Contributo Contributo Produttività totale

del prodotto del capitale del lavoro dei fattori

Y K (1 – )L A

A L

K Y

3,6% (0,33)(3,6%) (0,66)(1,2%) A/A Possiamo facilmente risolvere per ⌬A/A, ottenendo:

3,6% ⫽ 1,2% ⫹ 0,8% ⫹ 1,6%

In conclusione, il contributo totale del capitale alla crescita del prodotto è dell’1,2%

all’anno; il contributo del lavoro è dello 0,8% all’anno; e il contributo della produttività totale dei fattori è dell’1,6% all’anno. Questi valori sono qualitativamente simili a quelli rela- tivi al Regno Unito, riportati nella tabella 8.3 (p. 204 del testo).