La crescita economica I: l’accumulazione del capitale e la crescita demografica

C APITOLO 7

La crescita economica I:

l’accumulazione del capitale e la crescita demografica

Domande di ripasso

1. Nel modello di crescita di Solow, quanto più elevato è il saggio di risparmio, tanto più eleva- ti sono lo stock di capitale e il livello del prodotto aggregato di stato stazionario; viceversa, quanto più basso è il saggio di risparmio, tanto più bassi sono lo stock di capitale e il livello del prodotto aggregato di stato stazionario. Un maggiore risparmio porta a una più rapida crescita economica solo nel breve periodo. Un aumento del saggio di risparmio accelera la crescita fino a quando l’economia non raggiunge il nuovo stato stazionario. Dunque, se l’economia è caratterizzata da un elevato saggio di risparmio, avrà anche uno stock di capi- tale consistente e un elevato livello di reddito, ma non potrà mantenere nel tempo un ele- vato tasso di crescita.

2. È ragionevole ipotizzare che l’obiettivo dei responsabili della politica economica sia quello di massimizzare il benessere economico dei membri della società. Dato che il benessere eco- nomico dipende dal livello dei consumi, i responsabili della politica economica dovrebbero scegliere lo stato stazionario con il più elevato livello di consumo. Il livello di capitale di rego- la aurea è quello che massimizza il consumo nello stato stazionario.

Supponiamo, per esempio, che non ci sia crescita demografica o progresso tecnologico.

Se lo stock di capitale di stato stazionario aumenta di una unità, il prodotto aggregato au- menta in misura pari al prodotto marginale del capitale, PMK; ma l’ammortamento au- menta di un ammontare ␦, cosicché l’aumento netto del prodotto aggregato disponibile per il consumo è pari a PMK – ␦. Lo stock di capitale di regola aurea è quello per cui PMK

⫽ ␦, cioè il prodotto marginale del capitale è uguale all’ammortamento.

3. Se l’economia parte da un livello di capitale superiore a quello di regola aurea e riduce il proprio stock di capitale, portandosi al livello di regola aurea, il livello dei consumi aumenta permanentemente. Di conseguenza, i responsabili della politica economica vorranno sce- gliere il livello di capitale di regola aurea, perché a un maggior consumo corrisponde un maggior benessere economico. Nel caso opposto, se l’economia parte da un livello di capita- le inferiore a quello di regola aurea, il raggiungimento del livello di regola aurea comporta una riduzione dei consumi correnti a fronte di un aumento del consumo futuro. In tal caso la decisione dei responsabili della politica economica non è chiara: se questi hanno a cuore soprattutto il benessere delle generazioni attuali, rispetto a quello delle generazioni future, potrebbero decidere di non prendere provvedimenti tesi a raggiungere lo stato stazionario di regola aurea; se invece hanno a cuore in egual misura il benessere di tutte le generazioni, sceglierebbero di portare l’economia allo stato stazionario di regola aurea: la generazione at- tuale sarebbe costretta a consumare meno, ma infinite generazioni future beneficerebbero di questo sacrificio e potrebbero consumare di più.

4. Quanto più elevato è il tasso di crescita demografica, tanto più basso è lo stock di capitale

di stato stazionario per occupato e il livello di reddito di stato stazionario. Per esempio, la fi-

gura 7.1 mostra lo stato stazionario per due livelli di crescita demografica: un livello basso

n ₁ e un livello elevato n ₂ . Se il tasso crescita demografica è elevato (n ₂ ), la retta che rappre-

senta la crescita demografica e l’ammortamento è più alta e il livello di capitale per occupa-

to di stato stazionario è più basso.

( _  n ₂ )k

(   n ₁ )k sf (k)

Investimento, Investimento di equilibrio

Capitale per occupato k k

2 * k

1 *

Figura 7.1

Nello stato stazionario il tasso di crescita del prodotto aggregato è n ⫹ g: quanto maggiore è il tasso di crescita demografica n, tanto più alto è il tasso di crescita del prodotto aggregato.

Tuttavia, nello stato stazionario il prodotto per occupato cresce al tasso g e, perciò, non è in- fluenzato dalla crescita demografica.

Problemi e applicazioni pratiche

1. (a) Una funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti se, aumentando tutti i fattori di produzione di una stessa percentuale, il prodotto aumenta della medesima percentuale. In forma matematica, una funzione di produzione ha rendimenti di scala costanti se zY ⫽ F(zK, zL) per ogni numero positivo z. Ciò significa che se moltipli- chiamo le quantità di capitale e lavoro per una grandezza positiva z, l’ammontare di prodotto viene a sua volta moltiplicato per z. Per esempio, se raddoppiamo le quantità di capitale e lavoro impiegate (ponendo z ⫽ 2), anche la quantità di prodotto raddop- pia. Per vedere se la funzione di produzione Y ⫽ F(K, L) ⫽ K ^1/2 L ^1/2 ha rendimenti di scala costanti, scriviamo:

F(zK, zL) ⫽ (zK ) ^1/2 (zL) ^1/2 ⫽ zK ^{1/ 2} L ^{1/ 2} ⫽ zY

La funzione di produzione Y ⫽ K ^1/2 L ^{1/ 2} ha dunque rendimenti di scala costanti.

(b) Per trovare la funzione di produzione per occupato, dividiamo la funzione di produzio- ne Y ⫽ K ^1/2 L ^{1/ 2} per L:

Y L

K L

 ^{1 2} L ^{1 2}

Se definiamo y ⫽ Y/L, possiamo riscrivere l’espressione sopra come:

y ⫽ K ^1/2 /L ^1/2 Definendo k ⫽ K/L, possiamo inoltre scrivere che:

y ⫽ k ^1/2 (c) Dei paesi A e B sappiamo che:

␦ ⫽ tasso di ammortamento ⫽ 0,05 s _a ⫽ saggio di risparmio del paese A ⫽ 0,1 s _b ⫽ saggio di risparmio del paese B ⫽ 0,2

y ⫽ k ^1/2 è la funzione di produzione per occupato derivata nella parte (b) per i paesi A e B.

La crescita dello stock di capitale ⌬k è pari all’ammontare dell’investimento sf (k) al netto dell’ammortamento ␦k, cioè ⌬k ⫽ sf (k) – ␦k. Nello stato stato stazionario lo stock di capitale non aumenta, per cui possiamo scrivere questa relazione come sf (k) ⫽ ␦k.

Per trovare il livello di capitale per occupato di stato stazionario, sostituiamo la fun-

zione di produzione per occupato nella condizione di investimento di stato stazionario e

risolviamo per k*:

sk ^1/2 ⫽ ␦k Riscrivendo abbiamo:

k ^1/2 ⫽ s/␦

k ⫽ (s/␦) ²

Per trovare il livello di capitale per occupato di stato stazionario, k*, inseriamo il saggio di risparmio di ciascun paese nell’espressione sopra riportata:

Paese A: k _a * ⫽ (s a /␦) ² ⫽ (0,1/0,05) ² ⫽ 4 Paese B: k _b * ⫽ (s b /␦) ² ⫽ (0,2/0,05) ² ⫽ 16

Avendo trovato k* per ciascun paese, possiamo calcolare il livello di reddito per occu- pato di stato stazionario per i paesi A e B. Sapendo che y ⫽ k ^1/2 :

y _a * ⫽ (4) ^1/2 ⫽ 2 y _b * ⫽ (16) ^1/2 ⫽ 4

Sappiamo che, di ogni unità di reddito, i lavoratori risparmiano una frazione s e consu- mano una frazione 1 – s. In altre parole, la funzione di consumo è c ⫽ (1 – s)y. Poiché conosciamo i livelli di reddito di stato stazionario di ciascun paese, troviamo che:

Paese A: c _a * ⫽ (1 – s a )y _a * ⫽ 1(1 – 0,1)(2) ⫽ 1,8 Paese B: c _b * ⫽ (1 – s b )y _b * ⫽ 1(1 – 0,2)(4) ⫽ 3,2

(d) Utilizzando le seguenti informazioni ed equazioni, possiamo calcolare il reddito per oc- cupato y, il consumo per occupato c, e il capitale per occupato, k:

s _a ⫽ 0,1 s _b ⫽ 0,2

␦ ⫽ 0,05

k ₀ ⫽ 2 per entrambi i paesi y ⫽ k ^1/2

c ⫽ (1 – s)y Paese A

Anno k y ⫽ k ^1/2 c ⫽ (1 – s a )y i ⫽ s a y ␦k ⌬k ⫽ i – ␦k 1 2 1,414 1,273 0,141 0,100 0,041 2 2,041 1,429 1,286 0,143 0,102 0,041 3 2,082 1,443 1,299 0,144 0,104 0,040 4 2,122 1,457 1,311 0,146 0,106 0,040 5 2,102 1,470 1,323 0,147 0,108 0,039 Paese B

Anno k y ⫽ k ^1/2 c ⫽ (1 – s a )y i ⫽ s a y ␦k ⌬k ⫽ i – ␦k 1 2 1,414 1,131 0,283 0,100 0,183 2 2,183 1,477 1,182 0,295 0,109 0,186 3 2,369 1,539 1,231 0,308 0,118 0,190 4 2,559 1,600 1,280 0,320 0,128 0,192 5 2,751 1,659 1,327 0,332 0,138 0,194

Notiamo che ci vorranno cinque anni perché il consumo per occupato del paese B su- peri il consumo per occupato del paese A.

2. (a) La funzione di produzione del modello di crescita di Solow è Y ⫽ F(K, L) o, espressa in termini di prodotto per occupato, y ⫽ f(k). Se una guerra riduce la forza lavoro, L dimi- nuisce, ma il rapporto k ⫽K/L aumenta. La funzione di produzione ci dice che il pro- dotto totale diminuisce perché è diminuito il numero di lavoratori, ma il prodotto per occupato aumenta perché ciascun lavoratore ha a disposizione più capitale.

(b) La riduzione della forza lavoro fa sì che, dopo la guerra, lo stock di capitale per occupa-

to sia più alto di prima. Quindi, se prima della guerra l’economia si trovava in stato sta-

zionario, dopo la guerra si ritrova con uno stock di capitale superiore al livello di stato

stazionario. Questo è mostrato nella figura 7.2 come un aumento di capitale per occu-

pato, da k* a k 1 . Quando l’economia ritorna allo stato stazionario, lo stock di capitale per occupato passa di nuovo da k ₁ a k*, per cui anche il prodotto per occupato dimi- nuisce.

In vestimento, investimento di equilibrio

Capitale per occupato k ^* k k

1

sf (k)

( _  n) k Figura 7.2

Perciò nel periodo di transizione verso il nuovo stato stazionario la crescita del prodotto è più lenta. Sappiamo che, nello stato stazionario, il progresso tecnologico determina il tasso di crescita del prodotto per occupato. Quando l’economia ritorna allo stato sta- zionario, il prodotto per occupato è pari al tasso di progresso tecnologico, come avveniva prima della guerra.

3. (a) Seguiamo il paragrafo «La tendenza allo stato stazionario: un esempio numerico» (p.

159 del libro di testo). La funzione di produzione è Y ⫽ K ^0,3 L ^0,7 . Per dedurre la fun- zione di produzione per occupato, f(k), dividiamo entrambi i membri della funzione di produzione per la forza lavoro (il numero di lavoratori) L:

Y L

K L

 ^0,3 L ^{0 7 ,} Riordinando, otteniamo:

Y L

K

 ⎛ L

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

0 3 ,

Poiché y ⫽ Y/L e k ⫽ K/L, questa equazione diventa:

y ⫽ k ^0,3 (b) Rammentiamo che:

⌬k ⫽ sf(k) – ␦k

Per definizione, lo stock di capitale di stato stazionario per occupato, k*, è il valore di k in corrispondenza del quale lo stock di capitale è costante, cosicché ⌬k ⫽ 0. Ne conse- gue che, nello stato stazionario:

0 ⫽ sf(k) – ␦k ossia:

k f k

* ( *)  s



Data la funzione di produzione contemplata in questo problema, abbiamo:

k k

s

* ( *) ^0,3 

 Riordinando, otteniamo:

( *) k _{0 7} ^, s

 

ossia:

k s

*

/ ,

 ⎛ ⎝⎜ ⎞

 ⎠⎟

1 0 7

Sostituendo questa equazione del capitale per occupato di stato stazionario nella fun- zione di produzione per occupato della parte (a), otteniamo:

y s

*

, / ,

 ⎛ ⎝⎜ ⎞

 ⎠⎟

0 3 0 7

Il consumo è pari alla quantità di prodotto che non viene investita. Poiché l’investimento di stato stazionario è uguale a ␦k*, ne consegue che:

c f k k s s

*  ( )  ( *)  ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞

 ⎠⎟

 



0,3/0,7 1/0,7

[Nota. Per un approccio alternativo alla risoluzione di questo problema, osserviamo che il consumo è uguale anche alla quantità di prodotto che non viene risparmiata:

c s f k s k s s

* ( ) ( *) ( )( *) ^, ( )

,

= − = − = − ⎛

⎝⎜

⎞

1 1 ^{0 3} 1 ⎠⎟

0 3



// , 0 7

È sufficiente qualche manipolazione algebrica per dimostrare che questa equazione è uguale alla precedente.]

(c) La tabella sottostante mostra i valori di k*, y* e c* corrispondenti ai saggi di risparmio indicati nella prima colonna, calcolati usando le equazioni elaborate nella parte (b).

Supponiamo che il tasso di ammortamento sia pari al 10% (ossia a 0,1). [L’ultima co- lonna mostra il prodotto marginale del capitale, che calcoleremo nella parte (d) dell’esercizio].

k* y* c* MPK 0 0,00 0,00 0,00

0,1 1,00 1,00 0,90 0,30 0,2 2,69 1,35 1,08 0,15 0,3 4,80 1,60 1,12 0,10 0,4 7,25 1,81 1,09 0,08 0,5 9,97 1,99 1,00 0,06

0,6 12,93 2,16 0,86 0,05

0,7 16,12 2,30 0,69 0,04

0,8 19,50 2,44 0,49 0,04

0,9 23,08 2,56 0,26 0,03

1 26,83 2,68 0,00 0,03

È importante notare che un saggio di risparmio del 100% (s ⫽ 1,0) massimizza il pro- dotto per occupato. In questo caso, ovviamente, non viene consumato alcunché, quin- di c* ⫽ 0. Il consumo per occupato raggiunge il massimo valore in corrispondenza di un saggio di risparmio di 0,3 (ossia del 30%), cioè quando s è uguale alla quota del prodot- to riconducibile al capitale. Questo è il livello di s della regola aurea.

(d) Possiamo differenziare la funzione di produzione Y ⫽ K ^0,3 L ^0,7 rispetto a K per trovare il prodotto marginale del capitale, PMK:

PMK K L

K

Y K

y

= 0 3 , ^{0 3 0 7 , ,} = 0 3 , = 0 3 , k

La tabella nella parte (c) mostra il prodotto marginale del capitale per ogni valore del saggio di risparmio. (Osservate che nel capitolo 3 è stato derivato il PMK per la funzio- ne di produzione di Cobb-Douglas. La precedente equazione corrisponde al caso parti- colare in cui ␣ ⫽ 0,3.)

4. Supponiamo che l’economia inizi con uno stock di capitale di stato stazionario inferiore al livello di regola aurea. L’effetto immediato di dedicare una quota maggiore del prodotto nazionale all’investimento è che l’economia si ritrova con un livello di consumo ridotto: il

«tenore di vita», misurato dal consumo, diminuisce. All’aumentare del saggio di investimen-

to, lo stock di capitale cresce più rapidamente, quindi i tassi di crescita del prodotto e del

prodotto per occupato aumentano. La produttività del lavoro è la quantità prodotta in media dal singolo lavoratore, cioè il prodotto per occupato; di conseguenza, la produttività aumenta. In breve, l’effetto immediato è un calo del tenore di vita, ma un’accelerazione della crescita economica.

Nel nuovo stato stazionario il prodotto cresce al tasso n ⫹ g, mentre il prodotto per occu- pato cresce al tasso g. Ciò significa che nello stato stazionario la crescita della produttività è indipendente dal saggio di investimento. Poiché l’economia inizia con uno stock di capitale di stato stazionario inferiore al livello di regola aurea, l’aumento del saggio di investimento implica che il nuovo stato stazionario sarà caratterizzato da un più alto livello di consumo e quindi da un tenore di vita più elevato.

In conclusione, un aumento del saggio di investimento provoca un aumento del tasso di crescita della produttività, ma non ha alcun effetto nel lungo periodo. Il tenore di vita, d’altra parte, diminuisce nell’immediato e cresce soltanto successivamente. Pertanto la ci- tazione riportata mette in evidenza soltanto la crescita, ma non il sacrificio necessario per conseguirla.

5. Come riportato nel testo, poniamo k ⫽ K/L il capitale per occupato. L’equazione che de- scrive l’evoluzione nel tempo di k è:

⌬k ⫽ Risparmio – (␦ ⫹ n)k

Se tutto il reddito destinato al capitale viene risparmiato, e se il capitale è remunerato in misura corrispondente al suo prodotto marginale, il risparmio è pari a PMK ⫻ k. Sostituen- do questa espressione nell’equazione precedente otteniamo:

⌬k ⫽ PMK ⫻ k – (␦ ⫹ n)k

Nello stato stazionario il capitale per occupato non varia, quindi ⌬k ⫽ 0. Considerando l’equazione precedente, scriviamo:

PMK ⫻ k ⫽ (␦ ⫹ n)k oppure:

PMK ⫽ (␦ ⫹ n) il che equivale a:

PMK – ␦ ⫽ n

In questa economia nello stato stazionario il prodotto marginale netto del capitale, PMK –

␦, è pari al tasso di crescita del prodotto, n. Ma tale condizione descrive lo stato stazionario di regola aurea. Possiamo quindi concludere che questa economia raggiunge il livello di ac- cumulazione del capitale di regola aurea.

6. Consideriamo dapprima gli stati stazionari. Nella figura 7.3 il rallentamento della crescita demografica sposta verso il basso la retta che rappresenta la crescita demografica e l’ammortamento. Il nuovo stato stazionario ha un maggiore stock di capitale per occupato, k* ₂ , e dunque una maggiore quantità di prodotto per occupato.

Capitale per occupato In vestimento, investimento di equilibrio

k (   n ₁ )k

(   n ₂ )k sf (k)

k 2 * k 1 *

Figura 7.3

Che cosa accade ai tassi di crescita di stato stazionario? Nello stato stazionario il prodotto totale cresce al tasso n ⫹ g, mentre il prodotto pro capite cresce al tasso g. Di conseguenza, il rallentamento della crescita demografica fa diminuire la crescita del prodotto totale, mentre la crescita del prodotto pro capite rimane invariata.

Prendiamo ora in considerazione la transizione. Sappiamo che il livello del prodotto pro capite di stato stazionario è più elevato quando la crescita demografica rallenta. Quindi, durante la transizione verso il nuovo stato stazionario, per un po’ di tempo il prodotto pro capite cresce a un tasso maggiore di g. Nei decenni successivi alla diminuzione del tasso di crescita demografica si registrerà una drastica riduzione del tasso di crescita del prodotto totale, in coincidenza con un’accelerazione della crescita del prodotto pro capite.

7. In presenza di rendimenti decrescenti di lavoro e capitale, se si aumentano nella stessa proporzione i fattori capitale e lavoro, il prodotto aumenta in misura proporzionalmente in- feriore. Per esempio, se si raddoppiano i fattori capitale e lavoro, il prodotto aggregato cre- sce in misura inferiore al doppio. Questo può accadere in presenza di un fattore di produ- zione fisso (per esempio, la terra), che diventa scarso al crescere dell’economia. In tal caso la crescita demografica fa aumentare il prodotto totale, ma il prodotto per occupato diminui- sce, poiché ciascun lavoratore ha a disposizione una quantità minore del fattore di produ- zione fisso.

In presenza di rendimenti crescenti, se si raddoppiano i fattori capitale e lavoro il pro- dotto aggregato cresce in misura superiore al doppio. Questo può accadere se la specializza- zione del lavoro cresce al crescere della popolazione. La crescita demografica provoca un aumento non solo del prodotto totale, ma anche del prodotto per occupato, poiché l’economia è in grado di beneficiare più rapidamente delle economie di scala.

8. (a) Per trovare il prodotto pro capite y, dividiamo il prodotto totale per il numero dei lavo- ratori:

y k u L

 ^ [ ^{( 1} − L ^*) ] ^{− }

 ⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ − ⁻

K

L u



( 1 *) ¹ 

 − k   ( 1 u *) ^{1 −}

dove nel passaggio finale abbiamo utilizzato k ⫽ K/L. Osservate che la disoccupazione riduce l’ammontare di prodotto pro capite per ogni dato livello del capitale pro capite, perché alcuni individui non producono niente.

Il livello di capitale pro capite di stato stazionario è quello in corrispondenza del quale l’aumento del capitale pro capite che deriva dall’investimento è esattamente uguale al- la diminuzione provocata dall’ammortamento e dalla crescita demografica. (Per mag- giori dettagli, vedi il libro di testo, cap. 4).

sk * ^ (1 – u ) ^1–  ( + n)k*

sy nk *   ( )* 

k u s

* ( = − *) ⎛ n

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

1 −

1 1

 +



La disoccupazione riduce il prodotto marginale del capitale e, di conseguenza, ha lo

stesso effetto di uno shock tecnologico negativo che riduce la quantità di capitale che

l’economia può riprodurre nello stato stazionario. La figura 7.4 mostra graficamente il

fenomeno: un aumento della disoccupazione sposta verso il basso la curva sf(k) e il livel-

lo di capitale pro capite di stato stazionario.

In vestimento, investimento di equilibrio

Capitale per occupato

(  ^{+ n)k}

sf(k, u 2 ^* ) sf(k, u 1 ^* )

k ₂ ^* k ₁ ^*

Figura 7.4

Infine, per trovare il prodotto di stato stazionario inseriamo nella funzione di produzio- ne il valore dello stock di capitale di stato stazionario:

y u s

n u

* ( = − *) ( *) +

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ −

− −

1 1

1

1 1









= − +

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

( 1 u *) s ¹ −

 n





La disoccupazione riduce il prodotto per due ragioni: per un dato k, la disoccupazione riduce y e anche il valore di stato stazionario di k*.

(b) La figura 7.5 mostra l’andamento del prodotto nel tempo. Appena la disoccupazione scende da u ₁ a u ₂ , il prodotto balza verso l’alto dal suo valore iniziale di stato stazionario y*(u 1 ). L’economia ha la stessa quantità di capitale (poiché ci vuole tempo per aggiusta- re lo stock di capitale), ma questo capitale è combinato con più lavoro. In quel momen- to l’economia è fuori dallo stato stazionario: ha meno capitale di quanto sarebbe neces- sario per far fronte all’aumento del numero di lavoratori nell’economia. L’economia ini- zia la sua transizione accumulando più capitale, aumentando il prodotto oltre il livello al quale era balzato. Alla fine, lo stock di capitale e il prodotto convergono al nuovo, più alto livello di stato stazionario.

t u *

scende y * (u * )

y * (u * ) y

2

1

Figura 7.5

9. Non c’è un unico modo per rispondere a questa domanda. Per esempio, nel sito internet

della Banca mondiale abbiamo seguito il link a «Data and Research». Si possono ottenere

informazioni dettagliate sia attraverso il link «Country profile» o consultando la più recente edizione del WDI (World Development Indicators: web.worldbank.org/WBSITE/

EXTERNAL/DATASTATISTICS/).

A titolo di esempio, abbiamo deciso di confrontare i dati del Regno Unito (che nel 2006 aveva un reddito pro capite di 32 690 dollari) con quelli del Pakistan (che nello stesso anno aveva un reddito pro capite, a parità di potere d’acquisto, di 2350 dollari, inferiore di ben quattordici volte). Come possiamo stabilire quali siano i fattori rilevanti? Nel testo è spiegato che le differenze di reddito sono dovute a differenze nello stock di capitale, nel lavoro o nella tecnologia. Il modello di crescita di Solow ci offre un sistema di riferimento per valuta- re l’importanza di tali fattori.

Un’evidente differenza tra i due paesi è il livello di istruzione della popolazione. Tali dif- ferenze possono essere interpretate come il segnale di più generali differenze di «capitale umano» (analogo al capitale fisico) o di differenze tecnologiche (se la forza lavoro è più i- struita, può utilizzare tecnologie più sofisticate). Per i nostri scopi, interpreteremo l’istruzione come un segnale tecnologico, dal momento che permette di aumentare il pro- dotto per occupato, dato lo stock di capitale per occupato.

Sempre dal sito della Banca mondiale abbiamo estrapolato i seguenti dati (luglio 2006):

Crescita Tasso di

demografica Investimento/PIL analfabetismo (2004, (2004) (2004) popolazione con più di 15 anni)

Regno Unito 1,5% 17% trascurabile

Pakistan 2% 17% 50%

Come possiamo stabilire quali di questi fattori ha il peso maggiore? Poiché il rapporto inve- stimento/PIL è uguale nei due paesi, bisogna stabilire se la differenza di reddito pro capite sia attribuibile alla crescita della forza lavoro (approssimata dalla crescita demografica) o al tasso di analfabetismo (o, più in generale, alla tecnologia). Possiamo ragionare in termini più formali sul problema utilizzando il modello di Solow.

Seguiamo l’approccio del paragrafo «La tendenza allo stato stazionario: un esempio nu- merico» (p. 159 del libro di testo). Per il momento, ipotizziamo che i due paesi abbiano la medesima tecnologia di produzione: Y ⫽ K ^0,5 L ^0,5 . (Questo ci permette di stabilire se le dif- ferenze nel risparmio e nella crescita demografica possano spiegare la differenza di reddito pro capite; in caso contrario, l’unica possibile spiegazione resterebbe la tecnologia.) Come nel testo, possiamo esprimere questa equazione in termini di funzione di produzione per occupato f (k):

y ⫽ k ^0,5 Sappiamo che, nello stato stazionario:

⌬k ⫽ sf(k) – (␦ ⫹ n)k

Il valore del capitale di stato stazionario, k*, è il valore di k per il quale lo stock di capitale è costante, sicché ⌬k ⫽ 0. Ne consegue che, nello stato stazionario:

0 ⫽ sf(k*) – (␦ ⫹ n)k*

ovvero,

k f k

s n

* ( *) 

 

Data la funzione di produzione di questo problema, ne consegue che:

k k

s n

*

* ^,

( ) ^{0 5  + }

Riordinando:

k s

* ^, n

( ) ^{0 5 } _{+ }

ovvero:

k s

*  n +

⎛ ⎝⎜ ⎞

 ⎠⎟

2

Sostituendo questa equazione al capitale per occupato di stato stazionario nella funzione di produzione per occupato, otteniamo:

y s

*  n +

⎛ ⎝⎜ ⎞

 ⎠⎟

Se ipotizziamo che Regno Unito e Pakistan si trovino nello stato stazionario e abbiano lo stesso tasso di ammortamento (diciamo, il 5%) allora il rapporto tra il reddito pro capite nei due paesi sarà:

y y

s s

n n

UK PAK

UK PAK

PAK UK

,

 ⎡ ,

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ +

+

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0 05 0 05

Questa equazione ci dice che se, per esempio, il saggio di risparmio del Regno Unito fosse il doppio di quello del Pakistan, il reddito per occupato nel Regno Unito sarebbe il doppio di quello del Pakistan (a parità delle altre condizioni). Ma, essendo il saggio di risparmio iden- tico nei due paesi, abbiamo:

y y

n n

UK PAK

PAK UK

,

 + ,

+

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 0 05 0 05

La differenza di crescita demografica può spiegare soltanto un fattore 1,27 (0,07/0,55) della differenza rilevata tra i livelli di prodotto per occupato.

Per la parte restante della differenza, la responsabilità è da attribuire alla tecnologia.

L’elevato livello di analfabetismo rilevato in Pakistan è coerente con tale conclusione.