Programma del corso di Topologia Algebrica
(Terzo Anno - II Semestre - 6 CFU - settore MAT/03)
G. Marini - A.A. 2015/2016
Matematica
Prerequisiti
Elementi di base di topologia generale, gruppo fondamentale, (gli argomenti di Topologia Algebrica svolti nel corso di Geometria 3).
Programma
Richiami sul gruppo fondamentale, sul Teorema di Seifert-Van Kampen, sulla classificazione delle superfici.
Rivestimenti. Omologia singolare, simpliciale e cellulare. Invarianza omotopica. Escissione. Successione di Mayer-Vietoris. Omologia dei CW complessi. Caratteristica di Eulero Poincarè. Esempi ed applicazioni (spazio proiettivo reale e complesso, varietà notevoli). Teorema dei coefficienti universali. Coomologia. Prodotto Cup.
Dualità di Poincarè.
Obiettivi di apprendimento
Familiarizzare con l'algebra omologica, l'omologia e la coomologia.
TESTI DI RIFERIMENTO
- Hatcher A., Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002
(disponibile online sul sito dell'autore: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html
...il download per uso personale è perfettamente legale)
- Massey W.S., A basic course in Algebraic Topology, GTM 127, Springer Verlag 1991 - Marini G., Note di Topologia Algebrica
(note del corso, reperibili nella mia pagine web http://www.mat.uniroma2.it/~marini/TA.pdf)
ALTRE LETTURE CONSIGLIATE
- Esercizi svolti (reperibili sulla pagina web di L. Geatti) - Esercizi svolti (reperibili sulla pagina web di P. Salvatore)
- Wikipedia, 'algebraic topology' e voci correlate (si consiglia la versione in inglese)
Programma dettagliato (diario delle lezioni):
I settimana (3 mar. 2016)
Introduzione alla Topologia Algebrica. Richiami sul gruppo fondamentale, applicazioni: il teorema fondamentale dell'algebra, il teorema del punto fisso di Brouwer.
[Hat] Teoremi 1.8, 1.9.
II settimana (7-10 mar. 2016)
Applicazioni del gruppo fondamentale: il Teorema di Borsuk-Ulam in dimensione 2. Rivestimenti: definizione, esempi. Cenni sui gruppi liberi.
[Hat] Teorema 1.10. Ch 1, § 3 (introduzione). Esempio 1, pag. 58. [Note] §1, def. 14 - def. 17. §A1, def. 2.
III settimana (14-17 mar. 2016)
Rivestimenti: unicità ed esistenza dei sollevamenti, sollevamento dell'omotopia; alcune conseguenze. (Teorema generale di esistenza dei sollevamenti: solo cenno della dimostrazione). Azione del gruppo fondamentale sulla fibra del punto base.
[Hat] Prop. 1.30, 1.31, 1.33, 1.34. Pag. 69. [Note] §1, Lemma 18, Teoremi 21 e 22. Lemma 26 e Corollario 27.
IV settimana (21-24 mar. 2016)
Rivestimento Universale: proprietà e Teorema di esistenza (costruzione: solo come insieme). Applicazioni:
calcolo del gruppo fondamentale del piano proiettivo reale e del Toro. Richiami su gruppi liberi, prodotti liberi di gruppi e teorema di Seifert-Van Kampen, applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale delle superfici topologiche compatte.
Ch 1, §3 (fino a Prop. 1.36, solo caso H=0). [Note] §1, Lemma 27, corrispondenza 27.1, Teorema 34. Teorema 8 e Corollario 9.
V settimana (31 mar. 2016) Incollamenti e CW-complessi.
[Hat] Ch 0, sezione Cell Complexes. [Note] §0, sezioni incollamenti e CW-complessi.
VI settimana (4-7 apr. 2016)
Caratteristica di Eulero-Poincaré. Esempi di CW-complessi: superfici compatte (richiami sulla classificazione, tecnica del "cut & paste"), spazi proiettivi reali e complessi, toro Rn/Zn. Introduzione all'omologia: simplessi singolari.
[Hat] Ch 0, esempi 01, da 03 a 06. [Note] §0. §2, def. 2.
VII settimana (11-14 apr. 2016)
Omologia: simplessi singolari, complesso delle catene dei simplessi singolari, operatore di bordo, prime proprietà.
Rudimenti di algebra omologica: morfismi di complessi di catene, equivalenza omotopica.
[Hat] Prop. 2.6, 2.7 e 2.8. [Note] §2 fino a Oss.7. §A2, Oss.7, Cor.8.1, Def.10, Teor.11.
VIII settimana (18-21 apr. 2016)
Omologia: invarianza omotopica e per raffinamenti (solo enunciati). Teorema di Hurewicz.
[Hat] Ch 2, sezione Homotopy Invariance. Ch 2, Prop. 2.21. Ch 2A, Teorema 2A.1. [Note] §2, Proposizione 15 e Lemma 19. Teorema 21.
IX settimana (28 apr. 2016)
Algebra omologica: successione esatta lunga associata ad una successione esatta corta di complessi di catene.
Teorema di Mayer-Vietoris.
[Hat] Teorema 2.16. Sezione 2.2 "Mayer–Vietoris Sequences". [Note] §A2, lemma 9. §2, sezione successione di Mayer-Vietoris. §2.
X settimana (2-5 mag. 2016)
Omologia delle sfere. Omologia della coppia e successione esatta lunga della coppia. Omologia ridotta.
Escissione e suoi corollari: omologia di un quoziente; omologia locale. Applicazione: invarianza della dimensione.
[Hat] Teorema 2.13. Teorema 2.20. Proposizione 2.22. Teorema 2.26. [Note] §2, Proposizione 30. §2, sezione omologia della coppia (successione 24, Teorema 27, Corolario 28, Definizione 29).
X settimana (9-12 mag. 2016)
Morfismi della sfera Sn in se, nozione di grado e sue conseguenze (morfismi senza punti fissi; non pettinabilità delle sfere di dimensione pari). Omologia degli sapzi Sn \ φ(Dk) e Sn \ φ(Sk) e suoi corollari: Teorema di Jordan, Teorema di invarianza del dominio.
[Hat] Sezione 2.2 (fino al Teorema 2.28 incluso). Proposizione 2B.1, Teorema 2B.3, Corollario 2B.4. [Note] §2, sezione omologia della sfera. §2, Esempio 40.
XI settimana (16-19 mag. 2016)
Omologia di Rn\φ(Dk). Omologia cellulare (quozienti di scheletri Xk
/
Xk-1 e loro omologia, complesso cellulare, omologia degli spazi proiettivi complessi, caratteristica di Eulero-Poincaré).[Hat] sezione 2.2, Lemma 2.34, Teorema 2.35. [Note] §2, sezione Omologia cellulare (lemma 60 senza dimostrazione).
XII settimana (23-26 mag. 2016)
Omologia degli spazi proiettivi reali (complesso cellulare). Cenni sul Teorema dei coefficeienti universali in omologia/coomologia (enunciati senza dimostrazione)
[Hat] esempio 2.42. Teoremi 3A.3 e 3.2. [Note] §2 omologia con coefficienti, §3, sezione coomologia XIII settimana (30 mag. 2016)
Cenni sull'orientazione e sulla dualità di Poincaré (enunciati senza dimostrazione).
[Hat] sezione 3.3. [Note] §4, sezione orientazione; §4, Cor. 5.1, Teorema 6, Teorema 9.
