Esercizi sui limiti di successione

Analisi Matematica 1- 2014-2015, Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

Esercizi sui limiti di successione

• Calcolare i limiti seguenti:

1.

n→+∞ lim

1 + an ³ − n sin(n) + n ⁴ sin 1/n an ³ + log ⁴ (n) + √

n ³ + 1 con a ∈ R.

2.

n→+∞ lim

4 ⁿ − a ⁿ n ⁴ 2 ⁿ + 4 ⁿ con a > 0.

3.

n→+∞ lim

n ² log(1 + _n ¹ ) + e ^{n sin(n)} + 2

^{n log(n)} n ⁵ − n ⁵ sin(n) + n ⁿ

4.

n→+∞ lim n

√ n + ( √ n) ⁿ 2 ^{n+ √ n} 5.

n→+∞ lim

 1 + 1

√ n

 ( ⁿ

sin(n)+(−1)

)

6.

n→+∞ lim

1 − n ² log 1 + _n ¹

+ ^sin(n) _n

n ^α arctan _n ¹

con α ∈ R

Esercizi sulle serie numeriche 1. Dire per quali α ∈ R, con α ≥ −1 e α 6= 1, la serie

+∞

X

n=1

(cos n + 2) (p(1 + α)

|1 − α|

! n

converge.

2. Si studi la convergenza dalla serie

+∞

X

n=1

√

n ² + 1 − n

√ n .

3. Determinare il carattere della seguente serie:

+∞

X

n=1

3 ⁿ

 1 − 1

n ^3/2

 n

.

4. Dire per quali α ≥ 0 la serie

+∞

X

n=1

n2 ⁿ + 5 ⁿ α ⁿ + 3 ⁿ converge.

5. Determinare il carattere della seguente serie:

+∞

X

n=1

e ^1/n cosh _n ¹

− 1
sin _n

¹ − ¹

n

.

6. Si studi la convergenza dalla serie

+∞

X

n=1

 1 − 1

2n

 5n

.

7. Determinare il carattere della seguente serie:

+∞

X

n=1



9n ³  1

n − sin 1 n

 n

.

8. Data la serie:

+∞

X

n=1

(−1) ⁿ 1

n ^α arctan 3

√ n ,

(a) dire per quali α ∈ R converge assolutamente,

(b) discutere la convergenza per α = 1/2.

9. Si consideri la successione

a _n = n! − 3 · n ³ log n + 5 · 3 ⁿ n · cos ² n + n ⁿ⁺¹ · arcsin ² _n
. (a) Calcolare il limite lim _n→+∞ a _n .

(b) Studiare la convergenza della serie

+∞

X

n=1

a n .

10. Si consideri la successione

a n =

a

n

− 6 

a

√ n − sin 

√ 1 n



− _n ²

1 + _n ¹ − _n ²

√ n

− 1

(a) Calcolare il limite lim n→+∞ a n al variare del parametro a ∈ R.

(b) Discutere la convergenza della serie P _+∞

n=1 a _n per ogni a ∈ R.

11. Data la serie:

+∞

X

n=1

cos(nπ)  3 − a a ² + 1

 n

sin( 1 n ) (a) dire per quali a ∈ R converge assolutamente,

(b) dire per quali a ∈ R converge semplicemente.