Esercizi di Meccanica Razionale - Parte I
1. E'datoilcamp odiforzeF(x;y;z)=(ax+by+cz)
^
i+(dx+ey+fz)
^
j+(gx+hy+qz)
^
k
de nito in R 3
,con a,b, c,d, e, f,g,h e q parametrireali. Per qualivalori di a,b,c
e dilmotogenerato daquesto camp oe'centrale?
1
a=c=e=f =g=h=0,b=d=q qualsiasi.
2
b=c=d=f =g=h=0,a=e=q qualsiasi.
3
b=c=d=e=f =q =0,a=g=h qualsiasi.
4
b=c=d=f =g=q=0,a=e=h qualsiasi.
2. E'datoilcamp odi forzeF(x;y;z)=(ax+bx 2
)
^
i+(cy+dy 2
)
^
j+(ez+fz 2
)
^
kde nito
in R 3
, con a,b, c, d, e ed f parametri reali. Per quali valori di a,b, c, d, e ed f il
motogeneratoda questocamp o e'centrale?
1
b=c=f =0,a=d=equalsiasi.
2
b=d=e=0,a=c=f qualsiasi.
3
b=d=f =0,a=c=equalsiasi.
4
a=d=f =0,b=c=equalsiasi.
3. E' dato il camp odi forze F(x;y;z) =(ax+b)
^
i+(cy+d)
^
j+(ez+f)
^
k de nito in
R 3
,con a,b,c,d, eed f parametrireali. Perqualivaloridi a,b, c,d,eed f il moto
generato daquesto camp oe'centrale?
1
b=c=f =0,a=d=equalsiasi.
2
b=d=e=0,a=c=f qualsiasi.
3
b=d=f =0,a=c=equalsiasi.
4
a=d=f =0,b=c=equalsiasi.
4. E'dato ilcamp o di forze
F(x;y;z)= x
ay+b
^
i+ y
cy+d
^
j+ z
ey+f
^
j
de nito in R 3
,con a,b,c,d,eed f parametrireali. Perqualivaloridi a,b,c,d,eed
f il motogeneratoda questocamp o e'centrale?
1
a=c=e=0,b=d=f qualsiasi.
2
a=c=f =0, b=d=equalsiasi.
3
a=d=e=0, b=c=f qualsiasi.
4
b=c=e=0,a=d=f qualsiasi.
5. E'datoilcamp odiforze F(x;y;z)=(x+ay)
^
i+(y bz)
^
j+(z+y)
^
kde nito inR ,
con ae bparametri reali. Perqualivaloridi ae bquesto camp oe' conservativo?
1
a=1,b=1.
2
a=0,b=0.
3
a=1,b=0.
4
a=0,b= 1.
6. E'dato ilcamp o di forze
F(x;y;z)=aF
0 hy
^
i x
^
j
x 2
+h 2
y 2
de nito in R 3
,con a,h ed F
0
parametri realicon a6=0 ed F
0
6=0. Perquali valori
di a, h edF
0
questocamp o e'conservativo?
1
Nessun valoredi a, h ed F
0 .
2
Qualsiasi valoredi a, h ed F
0 .
3
Qualsiasi valoredi aed F
0
,con h=1.
4
Qualsiasi valoredi aed F
0
,con h= 1.
7. E' datoil camp odi forze F(x;y;z)=F
1
^
i+F
2
^
j+g(x;y;z)
^
kde nito in R 3
,con F
1
ed F
2
parametri reali non nulli eg una funzione derivabile due volte ovunque. Per
quale funzione g questo camp oe'conservativo?
1
g=g(x;y).
2
g=g(z).
3
Qualunque g,purche' F
1
=F
2 .
4
Nessuna funzione g.
8. E'dato ilcamp o di forze
F(x;y;z)=F
0 hr
a
de nito in R 3
, con h un vettorecostantenon nullo ed aed F
0
parametri reali non
nulli. Perquale vettore h questocamp o e'conservativo?
1
h parallelo a
^
j.
2
h parallelo ad
^
i .
3
Nessun vettoreh.
4
Perqualunque vettore h.
9. Un punto materiale P di massa m si muove in un camp o di forze conservativo
la cui energia p otenziale e' data da V(x;y;z) = (1=2)k (x 2
+ y 2
+ z 2
) de nito
nel dominio D = R 3
. Date le condizioni iniziali x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0,
_
x(0) = y(0)_ = z(0)_ = 0, in quale di queste regioni di spazio si svolge il moto del
puntoP?
1
p
Il semispazio z>0.
3
La regione esternaalla sfera di centrol'origine e raggio p
2.
4
Il semispazio z<0.
10. Un puntomaterialeP di massamsimuovein uncamp odi forzeconservativolacui
energia p otenziale e'data da V(x;y;z)= =r de nito nel dominio D=R 3
=fO g
e dover e'laco ordinataradiale in unsistema di co ordinatep olari sferiche. Datele
condizioni iniziali x(0)= 1, y(0) =z(0)= 0 e x(0)_ = y(0)_ =z(0)_ = 0, in quale di
queste regionidi spazio sisvolge ilmotodelpuntoP?
1
Perogni r1.
2
Perogni r>0.
3
Perogni r .
4
Solo p er y=z=0,x qualsiasi.
11. Un puntomaterialeP di massamsimuovein uncamp odi forzeconservativolacui
energia p otenziale e' data da V(x;y;z) =Asinx, con A >0, de nito nel dominio
D =fP (x;y;z);0x <2; 1< y <1; 1 < z< 1g. Date lecondizioni
iniziali x(0) =x
0
= 3=2, y(0) = z(0) = 0 e x(0)_ = y(0)_ = z(0)_ = 0, in quale di
queste regionidi spazio sisvolge ilmotodelpuntoP?
1
x=,y ez qualsiasi.
2
x=x
0
,y=z=0.
3
x=y =z=0.
4
x=x
0
,y e zqualsiasi.
12. Un puntomateriale P di massam si muove nelcamp odi forze datoda
F(x;y;z)= 1
a (
r
1)e
r =
^ e
r
;
dove ^e
r
e' il versore radiale ed a e sono costanti reali p ositive. Supp osto che
all'istante iniziale x(0)_ =y (0)_ =z(0)_ =0, quale di questeregioni dello spazio e'la
sup er cie di energiamassima?
1
La sfera di equazione x 2
+y 2
+z 2
= 2
.
2
Il piano di equazione x=y.
3
La sup er cie di equazione x=exp( y=).
4
La sup er cie di equazione y=exp( x=).
13. Un punto materiale P di massa m si muove nel camp o di forze F(x;y;z)= x(y
)
^
i y(x )
^
j+z
^
kde nitoneldominioD=R 3
edove e'unparametroreale. Per
qualivaloridi siconservalacomp onentedellaquantita'dimotolungoladirezione
della rettabisettrice del Ie I I I quadrantedel piano(x;y)?
1
=1.
2
=0.
3
Nessun valoredi .
4
14. UnpuntomaterialeP dimassamsimuovenelcamp odiforzeF(x;y;z)=(x+y)i+
(x+y+bxy)
^
j+g(x;y;z)
^
kde nitoneldominioD=R 3
edovebe'unparametroreale
e g una funzione reale derivabile. Perquali valori di b equali funzioni g siconserva
lacomp onentedella quantita'di motolungoladirezione della rettabisettrice delI I
e IV quadrantedelpiano (x;y)?
1
b qualsiasi e g=g(x;y).
2
b=1 e gcostante.
3
b qualsiasi e g=g(z).
4
b=0 e gqualsiasi.
15. Un punto materiale P di massa m si muove nel camp o di forze F(x;y;z)= (x 2
+
y 2
)(
^
i+h
^
j) (x 2
+y 2
+bxy)
^
k de nito nel dominio D = R 3
e dove b ed h sono
parametri reali. Perquali valori di bed h si conservalacomp onentedella quantita'
dimotolungoladirezionedellarettabisettricedelIeI I Iquadrantedelpiano(x;z)?
1
b=0 ed h=0.
2
b=0 ed hqualsiasi.
3
b qualsiasi ed h=0.
4
b ed hqualsiasi.
16. Un punto materiale P di massa m si muove nel camp o di forze F(x;y;z)= (x 2
+
y 2
)(
^
i h
^
j)+(x 2
+y 2
bxy)
^
k de nito nel dominio D = R 3
e dove b ed h sono
parametri reali. Perquali valori di bed h si conservalacomp onentedella quantita'
dimotolungoladirezionedellarettabisettricedelI IeIVquadrantedelpiano(x;z)?
1
b qualsiasi ed h=0.
2
b=0 ed h=0.
3
b=0 ed hqualsiasi.
4
b ed hqualsiasi.
17. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)
^
i+
g(y)
^
j+f(z)
^
k de nito nel dominio D = R 3
e dove h, g ed f sono funzioni reali
derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,
g ed f aÆnche'si conservilacomp onentex delmomentoangolare?
1
h qualsiasi con g ed f costanti.
2
Qualsiasi g,h ed f.
3
Nessuna funzione g,h ed f.
4
g=f =y=z.
18. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)
^
i+
g(y)
^
j+f(z)
^
k de nito nel dominio D = R 3
e dove h, g ed f sono funzioni reali
derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,
g ed f aÆnche'si conservilacomp onentey delmomentoangolare?
1
Qualsiasi g,h ed f.
h=f =x=z.
3
Nessuna funzione g,h ed f.
4
g qualsiasi con h ed f costanti.
19. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)
^
i+
g(y)
^
j+f(z)
^
k de nito nel dominio D = R 3
e dove h, g ed f sono funzioni reali
derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,
g ed f aÆnche'si conservilacomp onentez delmomentoangolare?
1
Nessuna funzione g,h ed f.
2
Qualsiasi g,h ed f.
3
h=g=x=y.
4
f qualsiasicon he g costanti.
20. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)
^
i+
g(y)
^
j+f(z)
^
k de nito nel dominio D = R 3
e dove h, g ed f sono funzioni reali
derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,
g ed f aÆnche'si conserviilmomentoangolare?
1
Qualsiasi g,h ed f.
2
g=f =y=z e h=f =x=z.
3
Nessuna funzione g,h ed f.
4
f,h e g costanti.
21. UnpuntomaterialeP dimassamsimuovesottol'azionedellaforzaviscosaF(x;y;z)=
v
x
^
iconcondizioneiniziale v (0)=v
0x
^
i+v
0y
^
j+v
0z
^
kconv
0x ,v
0y ev
0z
tuttediverse
da zero. L'andamentodelle velo cita' neltemp o e'tale che:
1
v
x
siannulla in untemp o nito con v
y e v
z
costanti.
2
Tuttele comp onenti della velo cita' decadono esp onenzialmente neltemp o.
3
Tuttele comp onenti della velo cita' rimangonocostantineltemp o.
4
v
x
decadeesp onenzialmente nel temp ocon v
y e v
z
costanti.
22. Un puntomaterialeP di massamsimuovesottol'azione dellaforzadip endentedal
temp o F(x;y;z) = bt
^
i con condizione iniziale r(0) = 0 e v (0)= v
0
^
i . I tempi t
1
et
2
in cuiilpuntoP inverteilsuomotoeripassap erl'originesono,risp ettivemente:
1
nessun temp o t
1 e t
2
= p
6mv
0
=b.
2
nessun temp o t
1 e t
2 .
3
t
1
= p
2mv
0
=be t
2
= p
6mv
0
=b.
4
t
1
= p
2mv
0
=be nessun temp ot
2 .
23. Un puntomaterialeP di massamsimuovesottol'azione dellaforzadip endentedal
temp oF(x;y;z)= F
0
exp( t)
^
jconcondizioneiniziale r(0)=0ev (0)=v
0
^
j. Per
tempit>>,cio e'tali che exp( t) sia trascurabile,
1
il punto P simuovedi motorettilineo uniforme.
2
lavelo cita' di P cresceesp onenzialmente nel temp o.
4
laco ordinata y di P cresce esp onenzialmente neltemp o.
24. Un punto materiale P di massa m si muove nello spazio sotto l'azione della forza
dip endentedaltemp oF(x;y;z)= mg
^
k+Acos!t
^
icon condizioneinizialer(0)=0
ev (0)=v
0
^
k. Perquale valorediv
0
ilvettorevelo cita'siannullap erqualchetemp o
t
1
>0?
1
v
0
=g=(2!).
2
v
0
=g=!.
3
Nessun valoredi v
0 .
4
Qualsiasi valoredi v
0 .
25. E'data nelpiano lacurva spirale
=e k
con e co ordinate p olari piane. Il versoretangente
^
t e'dato da:
1
^
t=[(kcos sin )
^
i+(ksin+cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
2
^
t=[(kcos+sin )
^
i+(ksin cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
3
^
t=[(kcos+sin )
^
i+(ksin+cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
4
^
t=[(kcos sin )
^
i+(ksin cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
26. E'data nelpiano lacurva spirale
=e k
con e co ordinate p olari piane. Il versoretangente
^
t e'dato da:
1
^
t=[ (kcos sin )
^
i+( ksin+cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
2
^
t=[ (kcos+sin )
^
i+( ksin+cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
3
^
t=[ (kcos sin )
^
i+( ksin cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
4
^
t=[ (kcos sin )
^
i+( ksin cos )
^
j]=
p
k 2
+1.
27. E'data nelpiano cartesiano(x;y)lacurva
x=a+Rcos
y=Rsin
cherappresentaunacicloideconaedRrealip ositivi. Ilversoretangente
^
te'datoda:
1
^
t=[Rsin
^
i+(a Rcos )
^
j]=
p
a 2
+R 2
2aRsin.
2
^
t=[(a Rsin )
^
i+Rcos
^
j ]=
p
a 2
+R 2
2aRsin.
3
^
t=[Rsin
^
i+(a Rcos )
^
j]=
p
a 2
+R 2
+2aRsin.
4
^
t=[(a Rsin )
^
i+Rcos
^
j ]=
p
a 2
+R 2
+2aRsin.
28. E'data nelpiano cartesiano(x;y)lacurva
x=Rcos
cherappresentaunacicloideconaedRrealip ositivi. Ilversoretangentete'datoda:
1
^
t=[ Rsin
^
i+(b+Rcos )
^
j]=
p
b 2
+R 2
2bRsin.
2
^
t=[(b Rsin )
^
i+Rcos
^
j]=
p
b 2
+R 2
+2bRsin .
3
^
t=[(b Rsin )
^
i+Rcos
^
j]=
p
b 2
+R 2
2bRsin .
4 ^
t=[ Rsin
^
i+(b+Rcos )
^
j]=
p
b 2
+R 2
+2bRsin.
29. Enunciare le condizioni necessariee suÆcienti aÆnche'un camp odi forze F(x;y;z)
de nito in un dominio D2R 3
sia conservativo.
30. De nire ilpiano osculatoredi una curva in un suopuntoP.
31. E' dato un camp o di forze F(x;y;z) de nito in R 3
ed una retta r . Enunciare e
giusti care le condizioni sotto le qualila comp onentedella quantita' di motodi un
puntoP di massa m lungolarettare' costante.
32. E' dato un camp o di forze F(x;y;z) de nito in R 3
ed una retta r . Enunciare e
giusti care le condizioni sotto le quali la comp onente del momentoangolare di un
puntoP di massa m lungolarettare' costante.
