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k de nito in R 3 ,con a,b, c,d, e, f,g,h e q parametrireali

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizi di Meccanica Razionale - Parte I

1. E'datoilcamp odiforzeF(x;y;z)=(ax+by+cz)

^

i+(dx+ey+fz)

^

j+(gx+hy+qz)

^

k

de nito in R 3

,con a,b, c,d, e, f,g,h e q parametrireali. Per qualivalori di a,b,c

e dilmotogenerato daquesto camp oe'centrale?

1

a=c=e=f =g=h=0,b=d=q qualsiasi.

2

b=c=d=f =g=h=0,a=e=q qualsiasi.

3

b=c=d=e=f =q =0,a=g=h qualsiasi.

4

b=c=d=f =g=q=0,a=e=h qualsiasi.

2. E'datoilcamp odi forzeF(x;y;z)=(ax+bx 2

)

^

i+(cy+dy 2

)

^

j+(ez+fz 2

)

^

kde nito

in R 3

, con a,b, c, d, e ed f parametri reali. Per quali valori di a,b, c, d, e ed f il

motogeneratoda questocamp o e'centrale?

1

b=c=f =0,a=d=equalsiasi.

2

b=d=e=0,a=c=f qualsiasi.

3

b=d=f =0,a=c=equalsiasi.

4

a=d=f =0,b=c=equalsiasi.

3. E' dato il camp odi forze F(x;y;z) =(ax+b)

^

i+(cy+d)

^

j+(ez+f)

^

k de nito in

R 3

,con a,b,c,d, eed f parametrireali. Perqualivaloridi a,b, c,d,eed f il moto

generato daquesto camp oe'centrale?

1

b=c=f =0,a=d=equalsiasi.

2

b=d=e=0,a=c=f qualsiasi.

3

b=d=f =0,a=c=equalsiasi.

4

a=d=f =0,b=c=equalsiasi.

4. E'dato ilcamp o di forze

F(x;y;z)= x

ay+b

^

i+ y

cy+d

^

j+ z

ey+f

^

j

de nito in R 3

,con a,b,c,d,eed f parametrireali. Perqualivaloridi a,b,c,d,eed

f il motogeneratoda questocamp o e'centrale?

1

a=c=e=0,b=d=f qualsiasi.

2

a=c=f =0, b=d=equalsiasi.

3

a=d=e=0, b=c=f qualsiasi.

4

b=c=e=0,a=d=f qualsiasi.

(2)

5. E'datoilcamp odiforze F(x;y;z)=(x+ay)

^

i+(y bz)

^

j+(z+y)

^

kde nito inR ,

con ae bparametri reali. Perqualivaloridi ae bquesto camp oe' conservativo?

1

a=1,b=1.

2

a=0,b=0.

3

a=1,b=0.

4

a=0,b= 1.

6. E'dato ilcamp o di forze

F(x;y;z)=aF

0 hy

^

i x

^

j

x 2

+h 2

y 2

de nito in R 3

,con a,h ed F

0

parametri realicon a6=0 ed F

0

6=0. Perquali valori

di a, h edF

0

questocamp o e'conservativo?

1

Nessun valoredi a, h ed F

0 .

2

Qualsiasi valoredi a, h ed F

0 .

3

Qualsiasi valoredi aed F

0

,con h=1.

4

Qualsiasi valoredi aed F

0

,con h= 1.

7. E' datoil camp odi forze F(x;y;z)=F

1

^

i+F

2

^

j+g(x;y;z)

^

kde nito in R 3

,con F

1

ed F

2

parametri reali non nulli eg una funzione derivabile due volte ovunque. Per

quale funzione g questo camp oe'conservativo?

1

g=g(x;y).

2

g=g(z).

3

Qualunque g,purche' F

1

=F

2 .

4

Nessuna funzione g.

8. E'dato ilcamp o di forze

F(x;y;z)=F

0 hr

a

de nito in R 3

, con h un vettorecostantenon nullo ed aed F

0

parametri reali non

nulli. Perquale vettore h questocamp o e'conservativo?

1

h parallelo a

^

j.

2

h parallelo ad

^

i .

3

Nessun vettoreh.

4

Perqualunque vettore h.

9. Un punto materiale P di massa m si muove in un camp o di forze conservativo

la cui energia p otenziale e' data da V(x;y;z) = (1=2)k (x 2

+ y 2

+ z 2

) de nito

nel dominio D = R 3

. Date le condizioni iniziali x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0,

_

x(0) = y(0)_ = z(0)_ = 0, in quale di queste regioni di spazio si svolge il moto del

puntoP?

1

p

(3)

Il semispazio z>0.

3

La regione esternaalla sfera di centrol'origine e raggio p

2.

4

Il semispazio z<0.

10. Un puntomaterialeP di massamsimuovein uncamp odi forzeconservativolacui

energia p otenziale e'data da V(x;y;z)= =r de nito nel dominio D=R 3

=fO g

e dover e'laco ordinataradiale in unsistema di co ordinatep olari sferiche. Datele

condizioni iniziali x(0)= 1, y(0) =z(0)= 0 e x(0)_ = y(0)_ =z(0)_ = 0, in quale di

queste regionidi spazio sisvolge ilmotodelpuntoP?

1

Perogni r1.

2

Perogni r>0.

3

Perogni r .

4

Solo p er y=z=0,x qualsiasi.

11. Un puntomaterialeP di massamsimuovein uncamp odi forzeconservativolacui

energia p otenziale e' data da V(x;y;z) =Asinx, con A >0, de nito nel dominio

D =fP (x;y;z);0x <2; 1< y <1; 1 < z< 1g. Date lecondizioni

iniziali x(0) =x

0

= 3=2, y(0) = z(0) = 0 e x(0)_ = y(0)_ = z(0)_ = 0, in quale di

queste regionidi spazio sisvolge ilmotodelpuntoP?

1

x=,y ez qualsiasi.

2

x=x

0

,y=z=0.

3

x=y =z=0.

4

x=x

0

,y e zqualsiasi.

12. Un puntomateriale P di massam si muove nelcamp odi forze datoda

F(x;y;z)= 1

a (

r

 1)e

r =

^ e

r

;

dove ^e

r

e' il versore radiale ed a e  sono costanti reali p ositive. Supp osto che

all'istante iniziale x(0)_ =y (0)_ =z(0)_ =0, quale di questeregioni dello spazio e'la

sup er cie di energiamassima?

1

La sfera di equazione x 2

+y 2

+z 2

= 2

.

2

Il piano di equazione x=y.

3

La sup er cie di equazione x=exp( y=).

4

La sup er cie di equazione y=exp( x=).

13. Un punto materiale P di massa m si muove nel camp o di forze F(x;y;z)= x(y

)

^

i y(x )

^

j+z

^

kde nitoneldominioD=R 3

edove e'unparametroreale. Per

qualivaloridi siconservalacomp onentedellaquantita'dimotolungoladirezione

della rettabisettrice del Ie I I I quadrantedel piano(x;y)?

1

=1.

2

=0.

3

Nessun valoredi .

4

(4)

14. UnpuntomaterialeP dimassamsimuovenelcamp odiforzeF(x;y;z)=(x+y)i+

(x+y+bxy)

^

j+g(x;y;z)

^

kde nitoneldominioD=R 3

edovebe'unparametroreale

e g una funzione reale derivabile. Perquali valori di b equali funzioni g siconserva

lacomp onentedella quantita'di motolungoladirezione della rettabisettrice delI I

e IV quadrantedelpiano (x;y)?

1

b qualsiasi e g=g(x;y).

2

b=1 e gcostante.

3

b qualsiasi e g=g(z).

4

b=0 e gqualsiasi.

15. Un punto materiale P di massa m si muove nel camp o di forze F(x;y;z)= (x 2

+

y 2

)(

^

i+h

^

j) (x 2

+y 2

+bxy)

^

k de nito nel dominio D = R 3

e dove b ed h sono

parametri reali. Perquali valori di bed h si conservalacomp onentedella quantita'

dimotolungoladirezionedellarettabisettricedelIeI I Iquadrantedelpiano(x;z)?

1

b=0 ed h=0.

2

b=0 ed hqualsiasi.

3

b qualsiasi ed h=0.

4

b ed hqualsiasi.

16. Un punto materiale P di massa m si muove nel camp o di forze F(x;y;z)= (x 2

+

y 2

)(

^

i h

^

j)+(x 2

+y 2

bxy)

^

k de nito nel dominio D = R 3

e dove b ed h sono

parametri reali. Perquali valori di bed h si conservalacomp onentedella quantita'

dimotolungoladirezionedellarettabisettricedelI IeIVquadrantedelpiano(x;z)?

1

b qualsiasi ed h=0.

2

b=0 ed h=0.

3

b=0 ed hqualsiasi.

4

b ed hqualsiasi.

17. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)

^

i+

g(y)

^

j+f(z)

^

k de nito nel dominio D = R 3

e dove h, g ed f sono funzioni reali

derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,

g ed f aÆnche'si conservilacomp onentex delmomentoangolare?

1

h qualsiasi con g ed f costanti.

2

Qualsiasi g,h ed f.

3

Nessuna funzione g,h ed f.

4

g=f =y=z.

18. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)

^

i+

g(y)

^

j+f(z)

^

k de nito nel dominio D = R 3

e dove h, g ed f sono funzioni reali

derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,

g ed f aÆnche'si conservilacomp onentey delmomentoangolare?

1

Qualsiasi g,h ed f.

(5)

h=f =x=z.

3

Nessuna funzione g,h ed f.

4

g qualsiasi con h ed f costanti.

19. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)

^

i+

g(y)

^

j+f(z)

^

k de nito nel dominio D = R 3

e dove h, g ed f sono funzioni reali

derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,

g ed f aÆnche'si conservilacomp onentez delmomentoangolare?

1

Nessuna funzione g,h ed f.

2

Qualsiasi g,h ed f.

3

h=g=x=y.

4

f qualsiasicon he g costanti.

20. Un puntomateriale P di massa m simuovenel camp odi forzeF(x;y;z)=h(x)

^

i+

g(y)

^

j+f(z)

^

k de nito nel dominio D = R 3

e dove h, g ed f sono funzioni reali

derivabili non identicamentenulle. Quali relazione deve sussisteretra lefunzioni h,

g ed f aÆnche'si conserviilmomentoangolare?

1

Qualsiasi g,h ed f.

2

g=f =y=z e h=f =x=z.

3

Nessuna funzione g,h ed f.

4

f,h e g costanti.

21. UnpuntomaterialeP dimassamsimuovesottol'azionedellaforzaviscosaF(x;y;z)=

v

x

^

iconcondizioneiniziale v (0)=v

0x

^

i+v

0y

^

j+v

0z

^

kconv

0x ,v

0y ev

0z

tuttediverse

da zero. L'andamentodelle velo cita' neltemp o e'tale che:

1

v

x

siannulla in untemp o nito con v

y e v

z

costanti.

2

Tuttele comp onenti della velo cita' decadono esp onenzialmente neltemp o.

3

Tuttele comp onenti della velo cita' rimangonocostantineltemp o.

4

v

x

decadeesp onenzialmente nel temp ocon v

y e v

z

costanti.

22. Un puntomaterialeP di massamsimuovesottol'azione dellaforzadip endentedal

temp o F(x;y;z) = bt

^

i con condizione iniziale r(0) = 0 e v (0)= v

0

^

i . I tempi t

1

et

2

in cuiilpuntoP inverteilsuomotoeripassap erl'originesono,risp ettivemente:

1

nessun temp o t

1 e t

2

= p

6mv

0

=b.

2

nessun temp o t

1 e t

2 .

3

t

1

= p

2mv

0

=be t

2

= p

6mv

0

=b.

4

t

1

= p

2mv

0

=be nessun temp ot

2 .

23. Un puntomaterialeP di massamsimuovesottol'azione dellaforzadip endentedal

temp oF(x;y;z)= F

0

exp( t)

^

jconcondizioneiniziale r(0)=0ev (0)=v

0

^

j. Per

tempit>>,cio e'tali che exp( t) sia trascurabile,

1

il punto P simuovedi motorettilineo uniforme.

2

(6)

lavelo cita' di P cresceesp onenzialmente nel temp o.

4

laco ordinata y di P cresce esp onenzialmente neltemp o.

24. Un punto materiale P di massa m si muove nello spazio sotto l'azione della forza

dip endentedaltemp oF(x;y;z)= mg

^

k+Acos!t

^

icon condizioneinizialer(0)=0

ev (0)=v

0

^

k. Perquale valorediv

0

ilvettorevelo cita'siannullap erqualchetemp o

t

1

>0?

1

v

0

=g=(2!).

2

v

0

=g=!.

3

Nessun valoredi v

0 .

4

Qualsiasi valoredi v

0 .

25. E'data nelpiano lacurva spirale

=e k 

con e co ordinate p olari piane. Il versoretangente

^

t e'dato da:

1

^

t=[(kcos sin )

^

i+(ksin+cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

2

^

t=[(kcos+sin )

^

i+(ksin cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

3

^

t=[(kcos+sin )

^

i+(ksin+cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

4

^

t=[(kcos sin )

^

i+(ksin cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

26. E'data nelpiano lacurva spirale

=e k 

con e co ordinate p olari piane. Il versoretangente

^

t e'dato da:

1

^

t=[ (kcos sin )

^

i+( ksin+cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

2

^

t=[ (kcos+sin )

^

i+( ksin+cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

3

^

t=[ (kcos sin )

^

i+( ksin cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

4

^

t=[ (kcos sin )

^

i+( ksin cos )

^

j]=

p

k 2

+1.

27. E'data nelpiano cartesiano(x;y)lacurva

x=a+Rcos

y=Rsin

cherappresentaunacicloideconaedRrealip ositivi. Ilversoretangente

^

te'datoda:

1

^

t=[Rsin

^

i+(a Rcos )

^

j]=

p

a 2

+R 2

2aRsin.

2

^

t=[(a Rsin )

^

i+Rcos

^

j ]=

p

a 2

+R 2

2aRsin.

3

^

t=[Rsin

^

i+(a Rcos )

^

j]=

p

a 2

+R 2

+2aRsin.

4

^

t=[(a Rsin )

^

i+Rcos

^

j ]=

p

a 2

+R 2

+2aRsin.

28. E'data nelpiano cartesiano(x;y)lacurva

x=Rcos

(7)

cherappresentaunacicloideconaedRrealip ositivi. Ilversoretangentete'datoda:

1

^

t=[ Rsin

^

i+(b+Rcos )

^

j]=

p

b 2

+R 2

2bRsin.

2

^

t=[(b Rsin )

^

i+Rcos

^

j]=

p

b 2

+R 2

+2bRsin .

3

^

t=[(b Rsin )

^

i+Rcos

^

j]=

p

b 2

+R 2

2bRsin .

4 ^

t=[ Rsin

^

i+(b+Rcos )

^

j]=

p

b 2

+R 2

+2bRsin.

29. Enunciare le condizioni necessariee suÆcienti aÆnche'un camp odi forze F(x;y;z)

de nito in un dominio D2R 3

sia conservativo.

30. De nire ilpiano osculatoredi una curva in un suopuntoP.

31. E' dato un camp o di forze F(x;y;z) de nito in R 3

ed una retta r . Enunciare e

giusti care le condizioni sotto le qualila comp onentedella quantita' di motodi un

puntoP di massa m lungolarettare' costante.

32. E' dato un camp o di forze F(x;y;z) de nito in R 3

ed una retta r . Enunciare e

giusti care le condizioni sotto le quali la comp onente del momentoangolare di un

puntoP di massa m lungolarettare' costante.

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