Il prisma

Spettroscopia e Interferenza

• Per misurare uno spettro si utilizza quasi sempre il fenomeno dell’ interferenza.

• Nel seguito mostrero’ come a seconda del numero di fasci luminosi che si fanno interferire, l’ informazione spettrale diventa piu’ o meno evidente, ma e’ comunque sempre contenuta nella figura di interferenza prodotta della luce.

• Abbiamo visto che nel caso del prisma ci sono infiniti raggi che interferiscono. Il risultato e’ una figura di interferenza con un picco univoco per ciascuna delle lunghezze d’ onda di ingresso.

Il prisma

• Interferenza costruttiva solo quando l’

angolo di incidenza e’ tale che , cioe’

solo per la lunghezza d’ onda λ tale che

• Se n(λ) e’ una funzione univoca, in D focalizza una unica lunghezza d’ onda tra tutte quelle costituenti il fascio incidente.

' α2 θ=

θ sin 2 ) ( sinθ=n λ α

Risoluzione del Prisma

d BC R dn

λ λ λ

2

=1

=Δ

• E’ un primo esempio di un risultato generale:

la risoluzione spettrale e’ proporzionale alla massima differenza di cammino ottico (massimo ritardo) che si riesce ad introdurre tra i raggi che interferiscono.

Il reticolo di diffrazione

• Qui abbiamo un numero finito (ma molto alto) di raggi che

interferiscono tra loro.

• N, tanti quante sono le fenditure (o i solchi) del reticolo.

Il reticolo di diffrazione

• La differenza di cammino tra due raggi consecutivi e’ δ = d (sin θ − sin ϕ )

d

δ

1

θ δ

₁

= d sin

θ

θ d

δ

2

ϕ δ

₂

= − d sin

φ φ

Il reticolo di diffrazione

• La condizione di interferenza costruttiva e’

• L’ interferenza di un numero finito (N) di raggi (tutti alla stessa lunghezza d’ onda) e’ distruttiva a tutti gli angoli, tranne gli angoli tali che

• Quindi si ottengono m spettri sovrapposti:

• Riducendo il numero di fasci si e’ introdotta

ambiguita’ nell’ interferogramma

λ δ = m

ϕ

m

) sin

(sin

m

d

m λ = θ − ϕ

• La risoluzione si puo’ trovare

calcolando come dipende dall’ angolo di uscita il campo elettrico al rivelatore (D).

) 2 2 cos(

...

) 4 2 cos(

) 2 2 cos(

) 2 cos(

) (

πσδ πσ

πσδ πσ

πσδ πσ

πσ ϕ

N ct E

ct E

ct E

ct E

E

o o o

o

+ +

+

+ + +

+ + +

+

=

ϕ

Il reticolo di diffrazione

• Per mezzo del teorema De Moivre si puo’ calcolare la somma :

• L’ intensita’ e’ il modulo quadro del campo elettrico:

• Per ritardo nullo c’e’ un massimo di intensita’ diffratta pari a

) 2

sin cos(

) sin

( πσ πσδ

πσδ δ

ϕ πσ N ct N

E

E

_o

⎥⎦ ⎤ +

⎢⎣ ⎡

=

2 2

2

sin ) sin , ( ) ,

( ⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

=

= πσδ

δ σ πσ

ϕ σ

ϕ E E ^N

I

_o

2

)

2

, 0

( E N

I δ → σ =

_o

=0

→

=ϕ δ

θ _m

θφ

Il reticolo di diffrazione

• Ad angoli leggermente diversi da cioe’ per lunghezze d’ onda

leggermente diverse da mλ, l’ intensita’

diffratta e’ inferiore.

• Calcoliamo dove diventa meta’ del massimo:

( )

[ ]

( )

[ ] ( )

( )

mN mN R

N m

N Nm N m

Nm

N E I

I _o

Δ =

=

→ Δ =

→

− ≅ Δ

−

→ Δ Δ =

+ Δ +

→

=

= Δ +

λ λ π

λ λ

λ πσ

λ πσ λ

λ πσ

λ λ πσ

λ λ

3 2

2 6 2 /

6 2 / 2

2 / sin

2 / sin

2 / 2 / ) 2 / (

2 2 2

2 max

ϕ

m

θ

• Ancora una volta abbiamo una risoluzione

proporzionale al massimo ritardo introdotto tra i raggi che interferiscono.

• La distanza tra i solchi deve essere dell’ ordine della lunghezza d’ onda (δ=mλ e ).

• Per il visibile si puo’ riempire il reticolo con decine di migliaia di fenditure (solchi):

N=10000 e la risoluzione puo’ essere altissima.

• Invece per l’ IR le dimensioni diventano proibitive:

mN

R =

=Δ λ λ

λ λ λ

δ dN b Nd R

mN

R= = ≅ → = ≈

m b m

R 10 e 100 10

per ≈ ⁵ λ= μ ⇒ =

≅ d δ

Funzione Strumentale

• La risposta S_mdi uno spettrometro allo spettro incidente S e’ genericamente

• Il prisma ha infiniti raggi che interferiscono e per ogni angolo di uscita viene selezionata una sola delle infinite lunghezze d’ onda incidenti. La sua efficienza spettrale e’

• Il reticolo ha N raggi che interferiscono e per ogni angolo di uscita ci sono molte lunghezze d’ onda incidenti. La sua efficienza spettrale e’

• La semplificazione dello strumento ha portato ad una codifica piu’ complessa dello spettro.

ν ν ν S d E S_m ⁼

∫

( ) ( )

) (

)

( ν ≅ δ ν − ν

_int.costr

E

∑ ⁻

≅

m

E ( ν ) δ ( ν ν

_m

)

Il Fabry Perot

• Produce riflessioni multiple tra due lastre parallele e altamente riflettenti.

• Beams con differenti lunghezze d’

onda producono figure di interferenza diverse.

• La OPD tra raggi

consecutivi e’

e i i e i

i

e 2 tan sin 2 cos cos

2 − =

δ =

Il Fabry Perot

λ δ

λ e i m

m = → 2 cos =

• Quindi ci si aspettano massimi di interferenza costruttiva quando

• Illuminato da una sorgente diffusa monocromatica, per la sua simmetria il FP produce una serie di frange circolari:

Il Fabry Perot

• Per sorgenti non monocromatiche, come per il reticolo, si hanno spettri sovrapposti in uscita (la stessa lunghezza d’ onda viene focalizzata su diversi angoli di uscita), uno per ogni valore di m che viene detto ordine dello spettro.

• L’ intervallo spettrale libero e’ la distanza tra due massimi consecutivi corrispondenti alla stessa lunghezza d’ onda.

λ δ

λ e i m

m = → 2 cos =

σ δ σ δσ δ

λ m ^{m m}

m

_m

= → =

_m

→

_m+

−

_m

= + 1 −

1

i ecos 2

= 1 Δ

σ

Il Fabry Perot

• Sommando i campi di tutti i raggi, ciascuno con il suo sfasamento, come abbiamo fatto per il reticolo, e tenedo conto che per ogni riflessione c’e’ un coefficiente di riflessione r<1 e che la trasmissione della lastra e’ t<1, si ottiene la formula di Airy per la

trasmissione totale:

( )

²

( )

₂

sin

²

( 2 cos )

¹

1 1 4 , 1

,

−

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= − e i

r r r

I t e i

I σ

_o

π σ

Il Fabry Perot

• Siano A l’ ampiezza del campo incidente, R e T i coefficienti di riflessione e trasmissione per il campo; trascurando l’ assorbimento si ha:

( )

) 2 (

...

1

'

^{2 4 2 6 3 8 4}

πσδ

= Δ

+ + + + +

= ATT R e

^iΔ

R e

^iΔ

R e

^iΔ

R e

^{i Δ}

E

A

AT

AT T’ AR

ATR AT³R AT

R₂ AT

R₄ ATR⁵A TR₆ ATRT’

ATR³T’ ATR⁵T’

ATR⁷T’

ATR⁷ ATR₂

T’ ATR₄

T’ ATR₆

T’

Il Fabry Perot

• Il campo trasmesso e’:

• L’ intensita’ trasmessa e’ quindi

( )

( )

Δ

Δ Δ Δ Δ

Δ Δ Δ Δ

− −

=

= + + + + +

−

=

= + + + + +

=

i

i i i i i

i i i i

e R R

A

e R

e R e R e R e R R A

e R e R e R e R ATT E

2 2

2

4 8 3 6 2 4 2 2

4 8 3 6 2 4 2

1 ) 1 1 (

argomento di

geometrica serie

...

1 ) 1 (

...

1 '

δ

( )

( )( ) ( )

( )

( )

1

22 2 2 4

2 22

4 2

22 2

2 22 2

*

1 2 / sin 1 4 cos

2 1

1

) ( 1

1 1

1 1

− Δ

− Δ Δ

− Δ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + Δ

= + ⇒ Δ

−

= −

+ = +

−

= −

−

−

= −

=

R I R

R I R I R

R e e R I R e R e R A R EE I

o o

i o i

i i

Il Fabry Perot

• Se r e’ la riflettivita’ per l’ intensita’, si ha

• Per

si ha quindi interferenza costruttiva

• Se allora e’ grande, e basta un piccolo scostamento di σ rispetto a σ_m per produrre interferenza distruttiva.

• Si ha quindi una alta risoluzione quando la riflettivita’ della lamina e’ alta.

( )

₂ ¹ ( )₂ ²( ) ¹

2 2 2

cos 2 1 sin 1 4 1

2 / sin 1 4

− −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥ =

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

− + Δ

= e i

r I r R

I R

I o o πσ

(

_m

)

_o

mecosi=2 m⇒sin 2 ecosi =0⇒I=I

2

πσ π

²

πσ

→1

r 4r/(1−r²)²

• Immagine con CCD e FP di M33 in Hα

Δα=2 A

( )

²

( )

₂^sin2

(

^{2 cos}

)

¹

1 1 4 , 1

,

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= − e i

r r r

I t e i

I

σ

_o

π σ

dell’

assorbimento:

• Variando e con continuita’ si spostano tutti i massimi di trasmissione, realizzando la scansione spettrale.

Il Fabry Perot

( ) ( )

2 ²

( )

¹

2

cos 2 1 sin 1 4 , 1

,

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= − e i

r r r

I t e i

Iσ o πσ

• Tenendo conto dell’ assorbimento:

• Variando e con continuita’ si spostano tutti i massimi di trasmissione, realizzando la scansione spettrale.

Risoluzione del Fabry-Perot

• Vediamo quanto deve cambiare s per diminuire l’ intensita’ di un fattore 2: dovra’

essere unitario il secondo termine a denominatore:

• Ma vicino a σ_m il sin e’ circa 0, quindi si confonde con l’ incremento dell’ argomento:

( )

( )

₂ ²

( )

¹

2

cos 2 sin 1 1 4 , 1

,

−

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= − e i

r r r

I t e i

I σ

_o

π σ

( )

sin

[

2

(

/2

)

cos

]

1 )

1 ( 2 4 / 2

/ _{max 2} ² +Δ =

⇒ −

= Δ

+ e i

r I r

Iσ_m σ πσ_m σ

[ ]

) 1 ( 2

cos 1 ) 1 ( 1 2 ) cos

1 (

4 2

2 r

r m i

e r i r

r e

r _{m m}

= −

⇒Δ

= Δ

= Δ

⇒ −

=

− Δ

π σ σ σ π

σ σ σ π

π

Il Fabry Perot ℑ

− = Δ =

= m

r r R m

1 π σ σ

E’ la Finesse, il parametro che caratterizza la risoluzione. Il confronto con l’ analoga formula del reticolo mostra che siamo in presenza di raggi efficaci che stanno interferendo.

ℑ

ℑ

• Se il rivelatore non e’ puntiforme la Finesse diminuisce. Considerando il raggio centrale e quello estremo al rivelatore, questi hanno ritardi leggermente diversi:

Il Fabry Perot

R A A

i i e i e m

e m

π

λ λ λ

λ

2

) 2 1 2 ( 2 cos 2 '

2 2

2 max max max

= Ω

Δ =

⎪⎩ →

⎪⎨

⎧

−

≈

=

=

• Per il reticolo era:

R AΩ=βA

• Vantaggio Jaquinot per il FP, dovuto alla simmetria cilindrica.

Il Fabry Perot

• Massimizzando la riflettivita’ si massimizza la Finesse.

• Pero’ si diminuisce la trasmissione massima. A parita’ di assorbimento della lastra (a=1-r-t)

• Si deve quindi fare in modo che l’

assorbimento sia piccolo:

( )

( )

₂ ²

( )

¹

2

cos 2 sin 1 1 4 , 1

,

−

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= − e i

r r r

I t e i

I σ

_o

π σ

ℑ

− =

= Δ m

r r R m

1 π σ σ

( )

^{2 2 2}

max 1 1

1 1 1 ,

, ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− −

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

−

= −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

= r

a r

r a r t I

e i T I

o

σ

Il Fabry Perot

Il Fabry Perot

• Per utilizzare un solo intervallo spettrale libero si passa preliminarmen te il fascio da analizzare attraverso un predispersore (filtro o reticolo, o FP a bassa

risoluzione)