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International Review of Scientific Synthesis – ISSN 2282-2119 Monografia 00x – 2015

Matematica Open Source

La curvatura della curva di Koch e il pettine di Dirac

Marcello Colozzo

Sommario

Dimostriamo che la curvatura della curva di Koch si esprime attraverso il pettine di Dirac.

Indice

1 La funzione delta di Dirac 2

1.1 Applicazione all’elettrostatica . . . 3 1.2 Densit`a del numero di punti. Il pettine di Dirac . . . 4 1.3 La curva di Kock . . . 5

Bibliografia 7

1 LA FUNZIONE DELTA DI DIRAC

1 La funzione delta di Dirac

La funzione δ (x) di Dirac `e una funzione impropria, in quanto la sua espressione analitica `e formal- mente data da:

δ (x) =

 0, per x 6= 0

+∞, per x = 0 (1)

Non esiste alcuna funzione f : X → R con X ⊆ R, tale da verificare la (1); da qui la denominazione di

“funzione impropria”, ed `e compito della teoria delle distribuzioni [1] conferire un significato preciso alla (1). Ci limitiamo a darne una giustificazione inuitiva. Precisamente, assegnato a > 0 si consideri la funzione:

fa(x) =

 0, per x /∈ (−a, a)

1

2a, per x ∈ [−a, a] , (2)

il cui grafico `e riportato in fig. 1.

-a a

x

1 2 a

y

Figura 1: Grafico della funzione (2)

Intuitivamente, la (1) `e riprodotta dalla seguente operazione di passaggio al limite:

a→0lim⁺fa(x) , per cui poniamo:

δ (x) = lim

a→0⁺fa(x) (3)

Una definizione molto utilizzata nelle applicazioni `e:

δ (x) = d

dxθ (x) , (4)

dove θ (x) `e la funzione di Heaviside:

θ (x) =

 1, per x > 0

0, per x < 0 (5)

Dalla (2):

Z+∞

−∞

fa(x) = 1, ∀a ∈ (0, +∞)

Da ci`o segue la notevole propriet`a della δ (x):

Z+∞

−∞

δ (x) = 1 (6)

Un’altra propriet`a notevole `e:

Z+∞

−∞

f (x) δ (x) = f (0) , ∀f ∈ C⁰(R) (7)

Le (6)-(7) si generalizzano a una delta di Dirac centrata in x0 6= 0:

Z+∞

−∞

δ (x − x0) = 1, Z+∞

−∞

f (x) δ (x − x0) = f (x0)

1.1 Applicazione all’elettrostatica

Sia data una distribuzione di N + 1 cariche puntiformi qk localizzate in N + 1 punti di un segmento rappresentato dall’intervallo [a, b] dell’asse reale. Se x_k `e l’ascissa di q<sub>k</sub>, senza perdita di generalit`a supponiamo che sia:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xN = b (8) Come `e noto, la (8) `e una decomposizione D ([a, b]) di norma ∆ = max (xk+1− xk) dell’intervallo chiuso e limitato [a, b]. Precisamente, detto intervallo si decompone in N intervalli [xk, xk+1]:

[a, b] =

N −1[

k=0

[xk, xk+1] (9)

La carica elettrica totale della distribuzione {q0, q1, ..., qN} `e:

Q = XN k=0

qk

Ci`o premesso, sussiste la seguente proposizione:

Proposizione 1 La distribuzione di cariche puntiformi {q0, q1, ..., qN} ha una densit`a deltiforme, cio`e:

ρN(x) = XN

k=0

qkδ (x − xk) (10)

Dimostrazione. La carica totale di una distribuzione continua di carica elettrica localizzata in [a, b]

con densit`a lineare ρ (x) `e:

Q = Zb

a

ρ (x) dx (11)

Dal momento che ρ (x) = 0 per x /∈ (a, b), si ha che l’equazione precedente pu`o essere scritta come:

Q = Z+∞

−∞

ρ (x) dx (12)

1 LA FUNZIONE DELTA DI DIRAC

D’altra parte:

Z+∞

−∞

ρ_N(x) dx = XN

k=0

q_k Z+∞

−∞

δ (x − x_k) dx

| {z }

=1

= XN

k=0

qk,

cio`e la carica totale della distribuzione discreta {q0, q1, ..., qN}.

Osservazione 2 Dalla (3) vediamo che la delta di Dirac ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza. Pertanto, la (10) ha le giuste dimensioni (carica elettrica per unit`a di lunghezza).

1.2 Densit` a del numero di punti. Il pettine di Dirac

Se nella (10) ci svincoliamo dalle cariche elettriche, nel senso che formalmente poniamo q_k = 1 (adimensionale), otteniamo:

ρ_N(x) = XN k=0

δ (x − x_k) (13)

La funzione impropria (13) `e denominata pettine di Dirac di ordine N e, per quanto precede, `e la densit`a del numero di punti della decomposizione D ([a, b]). Infatti, dall’osservazione (2) segue che ρN(x) `e il numero di punti della decomposizione contenuti in un segmento di lunghezza unitaria.

Pi`u precisamente:

Z+∞

−∞

ρN(x) = XN

k=0

Z+∞

−∞

δ (x − xk) dx

| {z }

1

= N + 1,

cio`e il numero di punti di D ([a, b]). Senza perdita di generalit`a, consideriamo una decomposizione di norma costante ∆ = ^b−a_N , cosicch`e xk = _N^k (b − a). Quindi:

ρ_N(x) = XN

k=0

δ



x − kb − a N



(14) Integrando primo e secondo membro da −∞ a +∞:

1 = Z+∞

−∞

XN k=0

δ x − k^b−a_N

N + 1 dx (15)

Per N → +∞, i.e. applicando l’operatore limN →+∞ a primo e secondo membro della (15) si ottiene:

N →+∞lim 1 = lim

N →+∞

Z+∞

−∞

XN k=0

δ x − k^b−a_N

N + 1 dx

Cio`e:

Z+∞

−∞

N →+∞lim XN k=0

δ x − k^b−a_N

N + 1 dx = 1

Per il teorema della media

N →+∞lim XN k=0

δ x − k^b−a_N

N + 1 = 1

b − a Zb

a

δ (x − ξ) dξ (16)

Quindi:

Z+∞

−∞

dx Zb

a

dξδ (x − ξ) = b − a,

che pu`o essere scritta come:

Z Z

A

δ (x − ξ) = b − a,

essendo A = {(x, ξ) ∈ R² | −∞ < x < +∞, a ≤ ξ ≤ b}. Invertendo l’ordine di integrazione:

Zb

a

dξ Z+∞

−∞

dxδ (x − ξ)

| {z }

=1

= b − a

Cio`e l’identit`a b − a = b − a. Calcoliamo l’integrale Zb

a

δ (x − ξ) dξ che compare a secondo membro della (16). Eseguendo il cambio di variabile y = x − ξ:

Zb

a

δ (x − ξ) dξ = Zx−a

x−b

δ (y) dy =

eq. (4) θ (y)|^x−a_x−b = θ (x − a) − θ (x − b) , Riassumendo: il pettine di Dirac di ordine N

ρN(x) = XN

k=0

δ



x − kb − a N



`e la densit`a del numero di punti della decomposizione D ([a, b]). La ρN (x) verifica le relazioni (equivalenti) che esprimono il passaggio al continuo:

N →+∞lim

ρN(x)

N + 1 = θ (x − a) − θ (x − b)

b − a ,

Z+∞

−∞

N →+∞lim

ρN(x)

N + 1dx = 1

1.3 La curva di Kock

Come `e noto, la curva di Kock `e una curva frattale ottenuta per ricorsione. Intuitivamente, tale processo ricorsivo genera una curva infinitamente spigolosa. Ci`o suggerisce la seguente definizione:

Definizione 3 Una curva di Kock generalizzata `e il grafico Γf di una funzione f : [a, b] → R tale che la derivata prima f<sup>′</sup>(x) ha una discontinuit`a di prima specie in x, ∀ ∈ [a, b]. In altri termini, ogni punto di Γf `e punto angoloso.

1 LA FUNZIONE DELTA DI DIRAC

Possiamo allora congetturare che una curva di Kock generalizzata sia una curva integrale dell’e- quazione differenziale del secondo ordine di forma normale:

y^′′= lim

N →+∞ρN(x) , (17)

Ma il termine a secondo membro `e manifestamente divergente, per cui riscriviamo:

y^′′= ρN(x) (18)

Senza perdita di generalit`a consideriamo a = 0 e b = 0, per cui:

ρN(x) = XN k=0

δ

 x − k

N



Un integrale particolare della (18) `e:

fN(x) =



















0, se x < x1

x − x1, se x ∈ (x1, x2)

2 (x − x1) + x2− x1, se x ∈ (x2, x3)

3 (x − x3) + 2 (x3− x1) + x2− x1, se x ∈ (x3, x4) ...

(N − 1) (xN − xN −1) + (N − 2) (xN −1− xN −2) + ... + x2− x1, se x ∈ (xN −1, xN) (19) Risulta fN ∈ C⁰(R) mentre la derivata prima `e continua a tratti e il suo insieme delle discontinuit`a `e S = {xk}<sub>k∈N</sub>. Per essere pi`u specifici, Pk(xk, f (xk)) `e punto angoloso per Γf : y = f (x). Poniamo:

f (x) = lim

N →+∞fN(x)

Per quanto precede, il grafico di f (x) `e una curva di Kock generalizzata. La sua curvatura in un generico punto di ascissa x si ottiene dalla nota relazione:

K (x) = f^′′(x)

1 + f^′(x)²3/2

Cio`e:

K (x) =

limN →+∞

XN k=0

δ x − _N^k

1 + [limN →+∞f_N^′ (x)]² 3/2, dove f_N^′ (x) si ottiene dalla (19).

Riferimenti bibliografici

[1] M.J. Lighthill, Fourier Analysis and Generalized Functions. Cambridge University Press, Cambridge, 1964.