Primo Appello di Matematica C, Probabilit`a Cognome:
Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:
23 giugno 2008 Matricola:
Tema B
Esercizio 1. Si lanciano due dadi regolari a sei facce. Indichiamo con X il risultato del primo dado, con Y il risultato del secondo dado e poniamo Z = Y − X.
a) Si calcolino P {Z = 5}, P {Z = 0}, P {Z = −3}.
b) Si calcoli E(X | Z = −3).
Soluzione. Lo spazio di probabilit`a che descrive l’evento `e dato da S =(i, j) : i, j ∈ {1, . . . , 6}
munito della probabilit`a uniforme.
a) Si ha che {Z = 5} = {(1, 6)} per cui
P (Z = 5) = #{Z = 5}
#S = 1
36.
Analogamente {Z = 0} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} da cui P (Z = 0) = #{Z = 0}
#S = 6
36 = 1 6, mentre {Z = −3} = {(4, 1), (5, 2), (6, 3)} da cui
P (Z = −3) = #{Z = −3}
#S = 3
36 = 1 12.
b) Calcoliamo innanzitutto P (X = i|Z = −3) per i = 1, . . . , 6, ottenendo P (X = i|Z = −3) = P (X = i, Z = −3)
P (Z = −3) = #{X = i, Z = −3}
#{Z = −3} =
(0 se i = 1, 2, 3
1
3 se i = 4, 5, 6 . Si ha dunque che
E(X|Z = −3) =
6
X
i=1
i · P (X = i|Z = −3) = 4 ·1
3 + 5 ·1
3 + 6 ·1 3 = 5 .
Esercizio 2. Per raggiungere la mia casa in montagna posso scegliere tra due strade, che indico con A e B. Percorrendo la strada A, per arrivare a destinazione impiego un tempo in ore pari a 2 + X, dove X ∼ Exp(14), mentre percorrendo la strada B impiego un tempo in ore pari a 1 + Y , con Y ∼ Exp(12).
a) Se scelgo la strada A, qual `e la probabilit`a di arrivare a destinazione entro tre ore?
Immaginiamo di scegliere la strada A con probabilit`a 23 e la strada B con probabilit`a 13. b) Qual `e la probabilit`a di arrivare a destinazione entro tre ore?
c) Sapendo che sono arrivato a destinazione entro tre ore, qual `e la probabilit`a di aver scelto la strada A?
Soluzione.
a) Bisogna calcolare
P (2 + X ≤ 3) = P (X ≤ 1) = Z 1
0
1
4e−14xdx = h
−e−14xi1
0 = 1 − e−14.
b) In analogia col punto a), la probabilit`a di arrivare a destinazione entro tre ore avendo scelto la strada B vale
P (1 + Y ≤ 3) = P (Y ≤ 2) = Z 2
0
1
2e−12xdx = h
−e−12xi2
0 = 1 − e−1. Introducendo gli eventi
A = “scelgo la strada A” , C = “arrivo a destinazione entro tre ore” , per la formula delle probabilit`a totali si ha che
P (C) = P (C|A) · P (A) + P (C|Ac) · P (Ac) = (1 − e−14) ·2
3 + (1 − e−1) ·1 3. c) Per la formula di Bayes si ha che
P (A|C) = P (C|A) · P (A)
P (C) = (1 − e−14) ·23
(1 − e−14) ·23+ (1 − e−1) ·13 .
Esercizio 3 (Domanda teorica di probabilit`a). Si enunci e si dimostri la formula delle proba- bilit`a totali per due eventi A, B di uno spazio di probabilit`a.
Soluzione.
