a) Si ha che {Z = 5

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Primo Appello di Matematica C, Probabilit`a Cognome:

Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:

23 giugno 2008 Matricola:

Tema B

Esercizio 1. Si lanciano due dadi regolari a sei facce. Indichiamo con X il risultato del primo dado, con Y il risultato del secondo dado e poniamo Z = Y − X.

a) Si calcolino P {Z = 5}, P {Z = 0}, P {Z = −3}.

b) Si calcoli E(X | Z = −3).

Soluzione. Lo spazio di probabilit`a che descrive l’evento `e dato da S =(i, j) : i, j ∈ {1, . . . , 6}

munito della probabilit`a uniforme.

a) Si ha che {Z = 5} = {(1, 6)} per cui

P (Z = 5) = #{Z = 5}

#S = 1

36.

Analogamente {Z = 0} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} da cui P (Z = 0) = #{Z = 0}

#S = 6

36 = 1 6, mentre {Z = −3} = {(4, 1), (5, 2), (6, 3)} da cui

P (Z = −3) = #{Z = −3}

#S = 3

36 = 1 12.

b) Calcoliamo innanzitutto P (X = i|Z = −3) per i = 1, . . . , 6, ottenendo P (X = i|Z = −3) = P (X = i, Z = −3)

P (Z = −3) = #{X = i, Z = −3}

#{Z = −3} =

(0 se i = 1, 2, 3

1

3 se i = 4, 5, 6 . Si ha dunque che

E(X|Z = −3) =

6

X

i=1

i · P (X = i|Z = −3) = 4 ·1

3 + 5 ·1

3 + 6 ·1 3 = 5 .

(2)

Esercizio 2. Per raggiungere la mia casa in montagna posso scegliere tra due strade, che indico con A e B. Percorrendo la strada A, per arrivare a destinazione impiego un tempo in ore pari a 2 + X, dove X ∼ Exp(14), mentre percorrendo la strada B impiego un tempo in ore pari a 1 + Y , con Y ∼ Exp(12).

a) Se scelgo la strada A, qual `e la probabilit`a di arrivare a destinazione entro tre ore?

Immaginiamo di scegliere la strada A con probabilit`a 23 e la strada B con probabilit`a 13. b) Qual `e la probabilit`a di arrivare a destinazione entro tre ore?

c) Sapendo che sono arrivato a destinazione entro tre ore, qual `e la probabilit`a di aver scelto la strada A?

Soluzione.

a) Bisogna calcolare

P (2 + X ≤ 3) = P (X ≤ 1) = Z 1

0

1

4e14xdx = h

−e14xi1

0 = 1 − e14.

b) In analogia col punto a), la probabilit`a di arrivare a destinazione entro tre ore avendo scelto la strada B vale

P (1 + Y ≤ 3) = P (Y ≤ 2) = Z 2

0

1

2e12xdx = h

−e12xi2

0 = 1 − e−1. Introducendo gli eventi

A = “scelgo la strada A” , C = “arrivo a destinazione entro tre ore” , per la formula delle probabilit`a totali si ha che

P (C) = P (C|A) · P (A) + P (C|Ac) · P (Ac) = (1 − e14) ·2

3 + (1 − e−1) ·1 3. c) Per la formula di Bayes si ha che

P (A|C) = P (C|A) · P (A)

P (C) = (1 − e14) ·23

(1 − e14) ·23+ (1 − e−1) ·13 .

(3)

Esercizio 3 (Domanda teorica di probabilit`a). Si enunci e si dimostri la formula delle proba- bilit`a totali per due eventi A, B di uno spazio di probabilit`a.

Soluzione.

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