a) Si ha che {Z = −5

Primo Appello di Matematica C, Probabilit`a Cognome:

Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:

23 giugno 2008 Matricola:

Tema A

Esercizio 1. Si lanciano due dadi regolari a sei facce. Indichiamo con X il risultato del primo dado, con Y il risultato del secondo dado e poniamo Z = Y − X.

a) Si calcolino P {Z = −5}, P {Z = 0}, P {Z = 3}.

b) Si calcoli E(X | Z = 3).

Soluzione. Lo spazio di probabilit`a che descrive l’evento `e dato da S =(i, j) : i, j ∈ {1, . . . , 6}

munito della probabilit`a uniforme.

a) Si ha che {Z = −5} = {(6, 1)} per cui

P (Z = −5) = #{Z = −5}

#S = 1

36.

Analogamente {Z = 0} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} da cui P (Z = 0) = #{Z = 0}

#S = 6

36 = 1 6, mentre {Z = 3} = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} da cui

P (Z = 3) = #{Z = 3}

#S = 3

36 = 1 12.

b) Calcoliamo innanzitutto P (X = i|Z = 3) per i = 1, . . . , 6, ottenendo P (X = i|Z = 3) = P (X = i, Z = 3)

P (Z = 3) = #{X = i, Z = 3}

#{Z = 3} =

(0 se i = 4, 5, 6

1

3 se i = 1, 2, 3 . Si ha dunque che

E(X|Z = 3) =

6

X

i=1

i · P (X = i|Z = 3) = 1 · 1

3+ 2 · 1

3+ 3 ·1 3 = 2 .

Esercizio 2. Ci sono due diverse cassette delle lettere, che indichiamo con A e B. Le lettere imbucate nella cassetta A impiegano per arrivare a destinazione un tempo in giorni pari a 1 + X, dove X ∼ Exp(¹₂), mentre le lettere imbucate nella cassetta B impiegano un tempo in giorni pari a 2 + Y , con Y ∼ Exp(¹₄).

a) Si calcoli la probabilit`a che una lettera imbucata nella cassetta A arrivi a destinazione entro tre giorni.

Devo spedire una lettera, che inserisco nella cassetta A o nella cassetta B, con probabilit`a pari rispettivamente a ¹₃ e ²₃.

b) Qual `e la probabilit`a che la lettera arrivi a destinazione entro tre giorni?

c) Sapendo che la lettera `e arrivata a destinazione entro tre giorni, qual `e la probabilit`a che sia stata imbucata nella cassetta A?

Soluzione.

a) Bisogna calcolare

P (1 + X ≤ 3) = P (X ≤ 2) = Z 2

0

1

2e^−12xdx =h

−e^−12xi2

0= 1 − e⁻¹.

b) In analogia col punto a), la probabilit`a che una lettera imbucata nella casella B arrivi a destinazione entro tre giorni vale

P (2 + Y ≤ 3) = P (Y ≤ 1) = Z 1

0

1

4e^−14xdx =h

−e^−14xi1

0= 1 − e⁻¹⁴ . Introducendo gli eventi

A = “inserisco la lettera nella casella A” , C = “la lettera arriva a destinazione entro tre giorni” , per la formula delle probabilit`a totali si ha che

P (C) = P (C|A) · P (A) + P (C|A^c) · P (A^c) = (1 − e⁻¹) ·1

3+ (1 − e⁻¹⁴) ·2 3. c) Per la formula di Bayes si ha che

P (A|C) = P (C|A) · P (A)

P (C) = (1 − e⁻¹) ·¹₃

(1 − e⁻¹) ·¹₃ + (1 − e⁻¹⁴) ·²₃ .

Esercizio 3 (Domanda teorica di probabilit`a). Siano A, B due eventi arbitrari di uno spazio di probabilit`a. Si completi la seguente formula:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) . . . e la si dimostri a partire dagli assiomi della probabilit`a.

Soluzione.