III Appello di Matematica C – Probabilit`a Cognome:
Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica Nome:
23 settembre 2008 Matricola:
Tema A
Esercizio 1. Quattro coppie di sposi salgono su un minibus con otto posti a sedere, disposti in quattro coppie di sedili adiacenti (vedi figura).
a) In quanti modi si possono sedere le otto persone?
b) Come cambia la risposta al punto a), se si richiede che ciascuno sposo sieda accanto alla propria consorte?
Supponiamo che le otto persone si dispongano in modo casuale negli otto posti a sedere.
c) Qual `e la probabilit`a che ciascuno sposo sieda accanto alla propria consorte?
Soluzione.
a) Il numero di modi in cui si possono sedere le persone corrisponde al numero di permu- tazioni di 8 elementi, per cui la risposta `e 8!.
b) Il numero di modi in cui si possono sedere i mariti `e pari a 8 · 6 · 4 · 2; dato che ciascuna moglie deve sedere accanto al proprio marito, questo numero `e la risposta finale.
c) La probabilit`a richiesta si ottiene dividendo il risultato al punto b) per il risultato al punto a), ottenendo 8 · 6 · 4 · 2 / 8! = 1/(7 · 5 · 3) ≈ 0.0095.
Esercizio 2. Un atleta olimpico lancia il giavellotto a una distanza (in metri) X, che pu`o essere descritta come una variabile aleatoria assolutamente continua con densit`a
f (x) :=
(
C 1 − cos 1002π x
se 0 ≤ x ≤ 100
0 altrimenti ,
dove C `e un’opportuna costante positiva.
a) Si determini il valore di C.
b) Si determini la funzione di ripartizione FX(t) della variabile aleatoria X per ogni t ∈ R.
Indichiamo ora con Y la distanza ottenuta in un secondo lancio dallo stesso atleta. Assumiamo che Y sia anch’essa assolutamente continua con densit`a f (x), e sia indipendente da X. Indicando con Z la distanza massima ottenuta nei due lanci, cio`e Z := max{X, Y }.
c) Si determini la funzione di ripartizione FZ(t) della variabile Z, per ogni t ∈ R.
Soluzione.
a) Occorre imporre cheR
Rf (x) dx = 1. Dato che f (x) = 0 per x 6∈ [0, 100], si ha 1 = C
Z 100 0
1 − cos 2π 100x
dx = C
100 − 100 2π
Z 2π 0
cos(y) dy
= C · 100 , da cui C = 1/100.
b) Si ha naturalmente FX(t) = 0 per t ≤ 0 mentre FX(t) = 1 per t ≥ 100. Per t ∈ (0, 100) abbiamo che
FX(t) = Z t
0
f (x) dx = 1 100
Z t 0
1 − cos 2π 100x
dx
= t
100 − 1 100
100 2π
Z 2πt/100 0
cos(y) dy = t
100 − 1
2π sin 2π 100t
. c) Dall’indipendenza delle variabili X, Y si ha che
FZ(t) = P (max{X, Y } ≤ t) = P (X ≤ t, Y ≤ t) = P (X ≤ t) P (Y ≤ t) = FX(t) FY(t) . Dato che X ha la stessa legge di Y , segue che FY(t) = FX(t) e dunque
FZ(t) = FX(t)2.
Esercizio 3 (Domanda teorica di probabilit`a). Si enunci e si dimostri la formula delle proba- bilit`a totali per due eventi A, B di uno spazio di probabilit`a.
Soluzione.
