Esercizio. Stiamo facendo una serie di partite di un gioco elettronico di pura fortuna.

Esercizio. Stiamo facendo una serie di partite di un gioco elettronico di pura fortuna.

Quando vinciamo una partita totalizziamo un +1, quando perdiamo un -1. Descriviamo il risultato di una generica partita con una v.a. X che assume il valore +1 con probabilità p, 1 con probabilità 1 p. Siano X ₁ ; :::; X _n i risultati di n partite. Come …lo conduttore della nostra indagine, ci stiamo chiedendo se il gioco sia equo (p = 1=2) e, in caso contrario, di quanto si discosti da un gioco equo.

1) Calcolare E [X] e V ar [X]. Ricordando la de…nizione X = ^X

^+:::+X _n

, si consideri lo stimatore T = ^X+1 ₂ . Mostrare che, come stimatore di p, è corretto.

2) Dopo 40 giocate, ecco i nostri risultati:

1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1:

Stimare p (chiamare p il valore trovato). Tramite la disuguaglianza di Chebishev, stimare P (jT pj > ) e dare un intervallo di …ducia al 90%. Secondo tale risultato, è possibile che il gioco sia equo?

1

3) Allo scopo di quanti…care la stranezza dei risultati sperimentali del punto 2, calcolare, sotto l’ipotesi che il gioco sia equo, la probabilità che T sia inferiore o uguale a 0.4. Si utilizzi un metodo approssimativo di calcolo.

2

1 Soluzioni

Nota: a voce è stato chiesto di non riportarsi alla Bernoulli allo scopo di usare formule prefatte, ma di lavorare direttamente sulle variabili assegnate ripetendo i calcoli necessari.

In quest’ottica va vista la risoluzione che segue.

1.

E [X] = p (1 p) = 2p 1 E X ² = p + (1 p) = 1

V ar [X] = E X ² E [X] ² = 1 (2p 1) ² = 4p 4p ² = 4p (1 p) :

E ^p [T ] = E ^p X + 1

2 = E ^p X + 1

2 = E ^p [X] + 1

2 = 2p 1 + 1

2 = p:

2. p è il valore sperimentale di T ; quello di X è 8=40, quindi p =

8 40 + 1

2 = 0:4:

Vale poi

P (jT pj > ) = P X + 1

2 p > = P X (2p 1) > 2 4p (1 p) 40 4 ²

1 40 4 ² : Vogliamo che sia _{40 4} ¹

0:1, quindi ² _{40 4 0:1} ¹ = 0:0625 ovvero

0:25:

L’intervallo è [0:4 0:25; 0:4 + 0:25] che contiene 0:5. Non contraddice la possibilità che il gioco sia equo.

3. Con p = 0:5,

P (T 0:4) = P X + 1

2 0:4 = P X 2 0:4 1

= P X ₁ + ::: + X _n n (2p 1) p n p

4p (1 p) ( 0:2 (2p 1))

p n p 4p (1 p)

!

( 0:2 (2p 1))

p n p 4p (1 p)

!

= 0:2 p

40 = ( 1:2649) 0:103:

3