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4.
MODELLAZIONE DEL CAMPANILE
Nel capitolo seguente, viene riportato il procedimento svolto per la creazione del modello di calcolo del campanile della Cattedrale di San Martino.
Nel primo paragrafo del capitolo viene esposta la metodologia seguita per modellare l’intera struttura della torre e tutti gli elementi di cui è composta, ovvero: orizzontamenti, cella campanaria e scale.
Nel secondo paragrafo vengono invece modellate porzioni degli edifici adiacenti alla struttura.
Il terzo paragrafo, riguarda la caratterizzazione dei materiali costituenti il campanile e gli edifici adiacenti.
4.1. Formulazione del modello agli elementi finiti
Il campanile è stato analizzato ricorrendo ad un modello numerico realizzato mediante la tecnica degli elementi finiti (F.E.M) e costruito impiegando il codice di calcolo SAP 2000. Attraverso questo metodo è possibile andare a risolvere il sistema di equazioni differenziali di equilibrio, congruenza e legame costitutivo che governano la statica del continuo deformabile.
La prima cosa da fare è la discretizzazione del continuo, che consiste nel suddividere il dominio in sottodomini, detti elementi finiti. Si sono quindi creati:
• elementi bidimensionali shell, rettangolari o triangolari;
• elementi monodimensionali beam;
unendo fra loro i diversi elementi si compone una griglia chiamata mesh.
Data la complessità della geometria della struttura, il campanile è stato inizialmente modellato adoperando il programma Autocad, facendo uso dei rilievi dello studio DP Ingegneria (par. 3.2), in particolare delle piante, dei prospetti e delle sezioni.
E’ stata modellata l’intera struttura e, successivamente, è stata esportata nel programma di calcolo SAP 2000.
Inizialmente è stata creata la mesh del prospetto sud del campanile tenendo conto dei seguenti fattori:
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• al fine della semplificazione del modello sono stati eliminati tutti i dettagli strutturalmente irrilevanti. Ad esempio gli archi delle aperture che avevano dimensioni che differivano di pochi centimetri sono stati realizzati dell’identica grandezza;
• Sono state tracciate linee orizzontali di riferimento in corrispondenza di punti fondamentali del modello, ovvero: orizzontamenti e piani di riferimento delle aperture. Fra una linea di riferimento orizzontale e l’altra sono stati realizzati elementi con altezza pari a circa 50 cm;
• Sono state tracciate linee verticali di riferimento in corrispondenza di punti fondamentali del modello, ovvero: piani di riferimento delle aperture, colonne delle aperture (realizzate tramite elementi frame);
• In corrispondenza degli archi delle aperture, per formulare una buona geometria, è stato fatto uso di elementi triangolari, curando la forma degli stessi; altrove sono stati utilizzati generalmente elementi rettangolari;
• Gli elementi shell e gli elementi frame della facciata sono stati ben vincolati fra loro per un corretto funzionamento del metodo FEM;
Di seguito viene riportato il disegno del prospetto sud con la sovrapposizione della mesh.
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A partire dalla mesh del prospetto sud, sono state create le mesh degli altri prospetti, cercando di renderle più omogenee possibili, evitando quindi di riportare le piccole differenze geometriche tra un prospetto e l’altro che non inciderebbero sull’analisi e complicherebbero la modellazione.
Successivamente sono stati creati gli orizzontamenti ai diversi piani, avendo cura di collegarli efficacemente alle mesh dei prospetti:
• Gli orizzontamenti del livello 3 e del livello 5 entrambi caratterizzati da una geometria a volta a botte in mattoni pieni:
fig. 4.2: vista 3D – volta a botte livello 3
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• il solaio del livello 6, con struttura portante costituita da travetti IPN 220, creati attraverso elementi frame con la sovrastante cella campanaria costituita da profili metallici rivestiti in legno, anch’essi realizzati attraverso elementi frame:
fig.4.4: vista 3D – solaio livello 6 con travi cella campanaria sovrastanti
• La copertura costituita da travi principali e travicelli in legno:
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Infine è stata modellata anche la scala della parte più antica, realizzata in mattoni pieni:
fig. 4.6: vista 3D – scala in mattoni pieni
La nuova scala metallica realizzata durante i lavori del 2015 non è stata modellata in quanto è realizzata in acciaio, è molto leggera e non incide sul comportamento sismico del campanile.
Completata la modellazione del campanile sono stati suddivisi gli elementi in diversi gruppi assegnando layer diversi in base allo spessore del tratto di muro, questa suddivisione è utile per una rapida assegnazione delle area section una volta che il file di Autocad verrà importato sul programma di calcolo SAP 2000. Nella figura
65 sottostante viene riportato il prospetto sud, individuando i diversi layer in cui è stato suddiviso in Autocad.
Spessore maggiore del muro 1,30 m Spessore minore del muro 1,10 m
Spessore maggiore del muro 1,30 m Spessore minore del muro 1,10 m
Spessore maggiore del muro 1,35 m Spessore minore del muro 1,15 m
Spessore maggiore del muro 1,35 m Spessore minore del muro 1,15 m
Spessore muro 1,80 m Spessore muro 1,80 m Spessore muro 2,15 m Spessore muro 2,30 m Spessore muro 2,55 m Spessore muro 3,00 m
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Il modello realizzato su Autocad è stato infine importato nel programma di calcolo SAP 2000
fig. 4.8: modello del campanile sul programma SAP 2000
La struttura è stata vincolata con incastri perfetti alla base.
Sono stati inseriti i pesi gravitazionali puntuali delle campane in corrispondenza del livello 6:
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fig. 4.9: pesi gravitazionali delle campane
4.2. Modellazione degli edifici adiacenti al campanile
Dopo aver modellato la torre, sono stati modellati su Autocad una porzione degli edifici adiacenti al campanile, tale modellazione è utile per conoscere il comportamento dinamico del campanile sotto l’influenza delle costruzioni vicine.
Per la conoscenza della geometria della cattedrale di San Martino sono stati utilizzati oltre ai già citati rilievi dello studio DP Ingegneria anche i rilievi presenti nel libro “architetture medievali a Lucca” [24], mentre, per la banca del monte, non essendoci rilievi a disposizione sono state scattate delle foto, successivamente ricalcando le foto, sono state create le mesh.
La struttura interseca i muri della facciata della cattedrale sui prospetti nord ed est mentre, interseca i muri della banca del monte e dei nuovi bagni pubblici sul prospetto ovest.
Di seguito viene riportata in sintesi la procedura seguita per la modellazione di ciascun muro adiacente al campanile:
• Prospetto ovest: intersezione con tre muri di spessore rispettivamente di 0,50, 0,30 e 0,40 m. Il muro di 0,50 m è quello del prospetto principale della banca, è
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stato misurato sul posto, il muro di 0,30 m, centrale è stato assunto per ipotesi (non potendo prenderne la misura) ed infine il muro di 0,40 m è stato preso dai rilievi di DP Ingegneria. I muri della banca sono stati ipotizzati tutti in mattoni pieni.
fig. 4.10: evidenziazione dei muri confinanti col campanile, lato ovest
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• Prospetto est: intersezione col muro di spessore 0,64 m della facciata della chiesa di San Martino, (fig. 3.11 a pag. 46). Tale muro è stato ipotizzato in marmo.
fig. 4.12: evidenziazione del muro confinante col campanile, lato est
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• Prospetto nord, intersezione con la facciata principale della chiesa, essa è costituita al pian terreno dal portico e ai piani superiori da tre ordini di logge (di cui solo i primi due ordini sono accostati al campanile). Il muro del portico ha spessore di 1,55 m mentre il muro delle logge ha spessore 0,75 m, le colonne hanno diametro di 0,20 m. Per la modellazione di questa facciata è stato fatto uso dei rilievi derivanti dal libro “architetture medievali a Lucca” [24].
fig. 4.14: evidenziazione del muro confinante fig. 4.15: evidenziazione del muro confinante col campanile, portico lato nord col campanile loggiato [24] lato nord
muro logge s = 0,75 m muro portico s = 1,55 m
71 ordini di logge
muro del portico s = 1,55m
fig. 4.17: modellazione del loggiato della facciata della chiesa
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I muri degli edifici adiacenti modellati su Autocad sono stati infine importati sul programma SAP 2000
fig. 4.19: modello del campanile con edifici adiacenti sul programma SAP 2000
La struttura è stata vincolata con incastri perfetti alla base.
Sono stati posti dei vincoli cerniera in corrispondenza delle estremità libere dei muri adiacenti.
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4.3. Caratterizzazione dei materiali
Per la caratterizzazione dei materiali è stato possibile utilizzare i risultati delle prove sperimentali condotte nel 1994 ai fini della stesura della tesi “la conservazione delle strutture monumentali: studio del campanile di S. Martino a Lucca, analisi delle sue condizioni statiche e proposte di intervento” [19] della Prof. Ing. Gabriella Caroti. Durante lo svolgimento della tesi del 1994, sono stati effettuati cinque carotaggi su pareti diverse a diverse altezze del campanile. I risultati ottenuti sono serviti per confermare la costituzione interna dei materiali, per avere informazioni sulla resistenza della malta e per effettuare successivamente prove necessarie per la conoscenza dei moduli elastici dei diversi materiali.
Per l’individuazione dei moduli elastici hanno effettuato una specifica indagine non distruttiva sfruttando i metodi tomografici.
Il metodo consiste nel sezionare virtualmente un solido secondo determinati piani, trovare la velocità delle onde elastiche e dalla stessa, tramite l’utilizzo di specifiche formule, risalire al modulo elastico.
Sul campanile le prove microsismiche effettuate hanno utilizzato la tecnica SST: sondaggio sismico tomografico. Per la prova sono stati utilizzati i fori derivanti dai carotaggi fatti per l’individuazione della resistenza della malta, essi sono profondi circa 80 cm e di diametro pari a 60 mm. Sono state effettuate 50 registrazioni, di qualità molto buona, dalle quali sono stati elaborati 10 profili tomografici nei cinque fori disponibili.
E’ stata notata una certa non uniformità di rigidezza nei diversi punti che attesta l’anisotropia degli elementi tra percorsi orizzontali e verticali.
Dai valori di velocità ottenuti sono poi stati calcolati i valori dei moduli elastici dinamici riportati nella tabella seguente:
Materiale Modulo di young dinamico [N/mm2]
Muratura in mattoni in direzione orizzontale 2000 - 3000
Muratura in mattoni in direzione verticale 2500 - 5500
Muratura in pietra in direzione orizzontale 3000 – 5000
Muratura in pietra in direzione verticale 3500 – 9000
Muratura mista 4000
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I moduli elastici statici sono stati dedotti da quelli dinamici valutandoli pari al 90% di quelli dinamici:
Materiale Modulo di young statico [N/mm2]
Muratura in pietra Empm = 0,9 * 3500 = 3150
Muratura di mattoni Eml = 0,9 * 2500 = 2250
Muratura mista Emm = 0,9 * 4000 = 3600
Tab. 4.2: moduli elastici statici dei materiali del campanile [19]
I valori dei moduli elastici della tab. 4.2 sono maggiori dei valori minimi suggeriti dalla circolare del 2009 [25]. E’ stato fatto un confronto tra i valori della tab. 4.2 e i valori dei moduli elastici trovati in letteratura derivanti da prove con martinetti piatti. Dalla comparazione è stato stabilito se i valori dei moduli elastici assunti per il campanile del Duomo di San Martino possono esser ritenuti validi.
I valori ottenuti per la torre oggetto della seguente tesi sono stati confrontati con quelli ricavati dai lavori sulle torri Sineo e la torre Astesiano vicino Alba (Carpinteri A. e Lacidogna G. [26]) e dai lavori sulla torre “Grossa” di San Gimignano (Gianni Bartoli et. All [27]). Sono stati individuati i seguenti moduli elastici: 3300 N/mm2 per la torre Sineo, 5000N/mm2 per la torre Astesiano, 11000 N/mm2 muratura in pietra esterna e 3000 N/mm2 muratura interna per la torre “Grossa”.
Si nota che, anche per queste torri i moduli elastici sono più alti dei minimi riportati in circolare. Pertanto i risultati delle prove del 1994 sul campanile della Cattedrale di San Martino possono essere ritenuti attendibili perché sono valori che si trovano sperimentalmente in letteratura. Sul SAP 2000 sono quindi stati creati i seguenti materiali:
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Proprietà materiali su SAP 2000
Densità [daN/mm3] Modulo elastico [N/mm2] Coef. Poisson Coef. termico Modulo di taglio [N/mm2] Assegnazione sul modello Pietra di Guamo 2700 3150 0,25 6 x 10 -6 1260 Pareti murarie 1° fase costruttiva Marmo di San Giuliano 2700 3150 0,25 6 x 10-6 1260 Colonne aperture, muri adiacenti chiesa Muratura mista 2250 3600 0,25 6 x 10 -6 1440 Pareti murarie 2° e 3° fase costruttiva mattoni pieni 1800 2250 0,25 6 x 10 -6 900 Volte a botte, muri banca del
monte
Acciaio 7,70 x 10-6 210000 0,30 1,7 x10-5 80769 travi cella
campanaria Legno
massiccio 5,88 x 10
-7
14000 0,25 4 x 10-6 5600 Copertura
