4 La tecnica di filtraggio adattivo
Gli approcci tradizionali per il controllo e la soppressione del rumore in banda audio utilizzano tecniche passive, molto utili per attenuazioni su ampi range frequenziali. Di contro, però, presentano svantaggi relativi agli alti costi realizzativi e alla loro scarsa efficienza se costretti a lavorare per bassi valori di frequenza.
Per questo motivo, nelle moderne applicazioni di “signal processing” ci si è indirizzati verso un sempre più ampio utilizzo dei filtri digitali.
Questi oggetti vengono impiegati per l’ottenimento delle caratteristiche spettrali di un segnale, per tagliare le eventuali componenti indesiderate del segnale stesso o per ridurre il bit – rate nella sua trasmissione.
Un filtro adattivo è un filtro che presenta la possibilità di aggiornare i propri coefficienti secondo una certa tipologia di algoritmo, allo scopo di ottimizzare la risposta del filtro stesso seguendo il criterio di resa desiderato.
In generale, i filtri adattivi consistono di due parti fondamentali:
• Il filtro, che applica il criterio di filtraggio richiesto al segnale che ad esso giunge.
• L’algoritmo di adattamento, che aggiusta i coefficienti del filtro per migliorarne il rendimento.
4.1 Filtri trasversali [10]
I filtri sono oggetti comunemente usati negli apparati radioelettronici e ottici.
In tutti i sistemi dove si vuole che il transito di segnali non desiderati subisca la massima attenuazione possibile (banda d'arresto) ed i segnali voluti abbiano una minore attenuazione possibile (banda passante) occorre utilizzare i filtri.
In base alla posizione, sull'asse delle frequenze, della banda d'arresto rispetto alla banda passante otteniamo filtri di tipo: passa-basso, passa-alto, passa-banda e stoppa-banda.
I filtri FIR, a risposta dell'impulso finita ed i filtri IIR a risposta dell'impulso infinita, sono ottenuti pesando e sommando opportunamente gli echi, ritardati da celle di ritardo, del segnale d'ingresso.
Essi iniziano a trovare impiego, prendendo il nome di filtri digitali, come unica soluzione senza valide alternative per la sagomatura del canale, a metà anni settanta, sui sistemi di modulazione/demodulazione digitali (in particolar modo i FIR).
Nella scelta del tipo di filtro da utilizzare viene comunemente preferito il filtro FIR al filtro IIR: questo perchè, nonostante richieda il calcolo di più coefficienti, assicura la stabilità e, quindi, rende gli algoritmi di adattamento di più semplice realizzazione.
Da ormai oltre un decennio, con la tecnologia DSP (Digital Signal Processing), i filtri digitali si sono imposti come soluzione ideale a problematiche applicative di media ed elevata complessità nella maggior parte dei campi tecnici. L'analisi e la sintesi dei segnali vocali, l'elaborazione delle immagini, l'audio digitale, l'automazione, la strumentazione biomedicale e di laboratorio, e in generale l'elettronica destinata alle applicazioni consumer, sono solo alcune delle applicazioni dei filtri digitali.
In un filtro trasversale di ordine N, come ben rappresentato nella figura che segue, ad ogni istante di tempo n, il campione di uscita y[n]
corrispondente è ottenuto come somma pesata dei campioni d’ingresso nell’istante sotto analisi e di quelli precedenti x[n], x[n-1], ....
y[ ]n c k[ ] [n xn k]
k
−
⋅
⋅
=∑ * k = 0,...,N-1;
Figura 4.1. Schema a blocchi di un filtro FIR di ordine N.
Nella formula, c*·k[n] sono i coefficienti del filtro, tempo – dipendenti (si è utilizzata la loro rappresentazione complessa e coniugata in modo che l’algoritmo di adattamento derivato possa essere applicabile anche a segnali nel dominio dei numeri complessi).
L’equazione precedente, riscritta in termini vettoriali, assume la forma:
y[ ]n =cH[ ] [ ]n ⋅xn
Sia c[n] che x[n] sono vettori colonna di lunghezza N, è l’hermitiano del vettore c[n] (ogni elemento è coniugato e il vettore colonna è trasposto in un vettore riga).
[ ]n ( )c [ ]n cH = *T
Nel caso particolare in cui i coefficienti c[n] siano indipendenti dal tempo (c[n] = c) , la struttura del filtro trasversale rappresenta un filtro FIR di ordine N.
Noi focalizzeremo la nostra attenzione al caso di coefficienti variabili e al loro adattamento per mezzo di un algoritmo appropriato.
4.2 L’algoritmo LMS [10] [11]
Una volta caratterizzato il filtro da utilizzare restano da calcolare iterativamente i suoi coefficienti.
Figura 4.2. Schema completo di filtro adattivo.
Un metodo per ottenere in uscita un segnale che risulti il più simile possibile a quello desiderato è quello di minimizzare l’errore tra i due. Dallo schema presentato in Figura 4.2 ricaviamo:
e[n] = d[n] – y[n]
e, se e[n] = 0 , allora la relazione diviene:
d[n] = y[n]
Ridurre l’errore a zero è, tuttavia, impossibile: è comunque possibile avvicinarsi a tale valore con ottima approssimazione attraverso appositi algoritmi di minimizzazione dell’errore quadratico medio quali MMSE, LMS, RLS.
L’algoritmo LMS (Least Mean Squares) insieme alle sue numerose varianti, così come l’RLS (Recursive Mean Squares), appartiene a quella categoria di algoritmi cosiddetti “a discesa di gradiente”, i quali fanno uso di una stima istantanea del vettore gradiente di una certa funzione costo.
L’operazione di filtraggio realizzata può allora essere interpretata come un tentativo di approssimare la funzione che ne descrive la superficie nello spazio dei pesi. Nel caso questa superficie presenti più di un minimo, un algoritmo del tipo gradient descent può condurre ad una soluzione corrispondente ad un minimo locale della funzione in esame.
Nel caso particolare di realizzazione del filtraggio con metodi lineari (ad esempio mediante filtri FIR), l’errore risultante dall’operazione di sottrazione tra il segnale desiderato e l’uscita del sistema presenta un andamento parabolico nello spazio descritto dai coefficienti del filtro (pesi).
In questo modo, se immaginiamo di muoverci sulla parabola descritta al variare dei pesi fino ad ottenere il minimo errore possibile, possiamo sfruttare l’informazione data dal suo gradiente lungo tale superficie.
La stima del gradiente è basata su valori campione dei segnali d’ingresso e di errore. L’algoritmo non fa altro che iterare ogni coefficiente del filtro, lavorando nella direzione del gradiente approssimato.
Per implementare tale algoritmo risulta utile la conoscenza di un segnale di riferimento d[n], che rappresenterà l’uscita desiderata del filtro.
La differenza, invece, tra il segnale di riferimento e l’uscita del filtro nell’istante temporale sotto analisi, come affermato in precedenza, costituirà il segnale di errore:
e[ ] [ ]n =d n −cH[ ] [ ]n ⋅xn
Il fine ultimo della metodologia consiste nella ricerca del set di coefficienti c che minimizzano il valore atteso del segnale di errore, per ottenere l’errore medio ai minimi quadrati. L’errore quadratico e il suo valore di aspettazione sono dati da:
Filtro Trasversale
Algoritmo LMS
d[n]
x[n] y[n]
- e[n]
c[n]
Figura 4.3. Schema a blocchi di sistema di filtraggio adattivo tramite algoritmo LMS.
e2 = (d - cHx)2 = d2 – 2d cHx + cHx xH c
E[e2] = E[d2] – E[2d cHx ] + E[cHx xH c] = E[d2] – 2cH E[d x ] + cH E[x xH] c
La tecnica che fa uso dell’approccio a discesa di gradiente richiede di muoversi sulla superficie d’errore, descritta dai pesi nell’istante in analisi, in direzione dei valori maggiormente negativi di gradiente della funzione di costo J = E[e2], calcolato rispetto al vettore dei coefficienti:
−∇cJ =2⋅E[ ]d⋅x −2E[x⋅xH]⋅c dove ∇c indica l’operatore differenziale rispetto al vettore c:
∇c = [∂/∂c1, ∂/∂c2, ..., ∂/∂cd]T.
I valori attesi nell’equazione sopra scritta, E[d x ] = p, vettore di cross – correlazione tra il segnale di uscita desiderato e il vettore d’ingresso rappresentante i coefficienti (taps) del filtro, ed il valore di E[x xH] = R, matrice di auto - correlazione d’ingresso, vengono in generale stimati tramite un gran numero di campioni prelevati da d e x.
La tipologia di algoritmo che stiamo illustrando prende in esame una stima nel breve periodo. Possiamo allora approssimare le espressioni relative alle operazioni di aspettazione, prendendo in considerazione i termini:
E[ ]d⋅x ≅d⋅x e E[x⋅xH]≅ x⋅xH;
questi ultimi portano ad un’equazione di aggiustamento per i coefficienti del filtro del tipo:
c c 2( cJ( )c ) cold x(d xH c) cold x e*
old
new = +µ −∇ = +µ⋅ ⋅ ⋅ = +µ⋅ ⋅
nella quale è stato introdotto un parametro di step µ, che rende conto di una misura di distanza lungo la superficie d’errore.
Nell’algoritmo appena descritto l’aggiornamento dei coefficienti viene effettuato, istante per istante, secondo la regola:
c[n+1] [ ]=cn +µ⋅e*[ ] [ ]n ⋅xn
4.2.1 Scelta dell’ampiezza di step µ [10]
Questo parametro, come accennato in precedenza, serve da controllo e, nel dettaglio, indica la misura di quanto ci allontaniamo dalla funzione di errore ad ogni passo dell’algoritmo: µ certamente deve presentare un valore positivo (µ>0), altrimenti ci troveremo a muovere il vettore dei coefficienti nella direzione di un più ampio errore quadratico.
In aggiunta a ciò, occorre precisare che il suo valore non va scelto troppo grande, altrimenti le approssimazioni fatte in precedenza su p ed R per il calcolo del gradiente della funzione di costo potrebbero perdere di validità, facendo allontanare il valore calcolato dalla funzione di costo globale. Un valore alto di µ porterebbe certamente instabilità all’algoritmo, con conseguente allontanamento dai valori di convergenza e con presenza di valori di oscillazione.
Un’analisi accurata del metodo rivela che il limite superiore per µ e la stabilità dell’algoritmo dipendono dall’autovalore λ con valore più alto (che chiameremo λmax ) tra quelli della matrice di auto - correlazione R d’ingresso e, di conseguenza, dipenderanno dal segnale di input del sistema.
Per un comportamento stabile della funzione di adattamento, quindi:
µ < (2 / λmax)
Siccome nel nostro studio non siamo interessati nè ad una stima di R, nè ai suoi autovalori, in prima approssimazione potremo considerare λmax ≈ tr(R) (circa pari alla traccia della matrice, cioè alla somma degli elementi sulla diagonale principale) e, allo stesso modo, tr(R) = ║x[n]║2 (potenza in ingresso all’istante n).
Date queste considerazioni, il limite superiore di µ in condizioni di stabilità dipenderà dalla potenza del segnale.
La dipendenza di tale limite di stabilità dalla potenza del segnale è messa chiaramente in evidenza dalla variante normalizzata dell’algoritmo LMS:
c[n+1] [ ]=cn +(µ⋅e*[ ] [ ]n ⋅xn )/(ε+||x[ ]n ||2) con ε costante > 0;
4.2.2 Applicazioni
Due possibili applicazioni dei filtri adattivi sono l’identificazione di sistema e il filtraggio inverso.
Nel primo caso, il filtro è utilizzato in modo da approssimare un sistema sconosciuto: come da Figura 4.4 , sia il blocco rappresentante il sistema da studiare che il filtro accettano in ingresso lo stesso segnale x[n] ed i coefficienti sono modellati in maniera tale che l’uscita del filtro y[n] si avvicini il più possibile all’uscita d[n] del sistema a noi ignoto.
d[n]
Sistema Ignoto
x[n] e[n]
y[n] -
Filtro Adattivo
Figura 4.4 .Schema a blocchi di sistema realizzante la funzione di identificazione adattiva.
Nel caso di filtro equalizzatore (modeling inverso), invece, il filtro risulta essere presente in serie al sistema sconosciuto e l’algoritmo di controllo cerca di compensare l’influenza di tale blocco sul segnale di test u[n], minimizzando la differenza (quadratica) tra l’uscita del filtro y[n] e quella del segnale di test, opportunamente ritardato, d[n].
x[n]
Sist. Ignoto
d[n]
Ritardo u[n]
Filtro Adatt. -
y[n]
e[n]
Figura 4.5. Schema a blocchi di sistema realizzante la funzione di equalizzazione adattiva.
Ulteriori applicazioni includono la predizione adattiva (ampiamente utilizzata nella modulazione pulse code differenziale) e la cancellazione adattiva del rumore o dei percorsi di eco del segnale vocale.
4.3 Il controllo e la cancellazione adattiva del rumore
Un controllore adattivo è un regolatore in grado di modificare automaticamente il proprio comportamento dinamico a fronte di variazioni del processo sotto analisi e dei disturbi, al fine di garantire, in ogni caso, assegnate specifiche sul sistema di controllo.
In questo senso, si tratta di una classe di controllori più evoluti rispetti a quelli statici, anche se più complessi e sofisticati computazionalmente ma di immediato impiego sui calcolatori digitali.
Nel nostro caso particolare il regolatore sarà costituito da un filtro passa banda.
I filtri adattivi differiscono dai filtri fissi nel fatto che i coefficienti di filtraggio variano nel tempo secondo una funzione dipendente dal segnale di input. Il concetto generale si fonda sullo schema qui di seguito [12]:
Sostanzialmente, l’implementazione di tale schematizzazione consiste nel filtrare il segnale di ingresso x[n] e, conseguentemente, determinare in maniera iterativa i coefficienti del filtro in modo tale che il segnale di uscita y[n] risulti il più fedele possibile alla risposta desiderata d[n].
La tecnica del controllo attivo del rumore (ANC) si serve di un sistema elettroacustico o elettromeccanico allo scopo di permettere la cancellazione del rumore primario (e indesiderato), sulla base del principio della
“sovrapposizione”.
Nello specifico, viene generato un segnale propriamente detto “anti - noise”, di uguale ampiezza ma con fase opposta rispetto a quello di disturbo, e combinato con il rumore del canale primario, dando luogo così ad una cancellazione di entrambi (vedi Figura 4.7).
Figura 4.6. Schema generale di un sistema di cancellazione adattiva del rumore.
Segnale
Disturbo Filtro Adatt.
Algoritmo
y[n]
d[n] e[n]
sensore primario s[n]
v[n]
-
sensore secondario
Figura 4.7. Principio base del processo della cancellazione adattiva dei disturbi.
Nei moderni dispositivi di comunicazione hands-free spesso capita che il segnale di ingresso sia affetto da un rumore di fondo. L’intensità del primo decresce con l’aumentare della distanza della fonte sonora dal microfono, ed è anche possibile che il disturbo di fondo sia percepito dal microfono con un livello più alto del segnale stesso: in tale situazione il rumore distorce il segnale, il quale diventa incomprensibile.
Supponiamo, per semplicità, che la Figura 4.6 rappresenti ciò che avviene nell’abitacolo di un’autovettura dotato di un dispositivo viva – voce per telefonia cellulare.
Il microfono del cellulare percepisce il segnale principale s[n], voce, affetto da rumore di fondo ν[n], che sommati danno la risposta indesiderata d[n] = s[n] + ν[n].
Il rumore è generato dal motore del veicolo e giunge al microfono del cellulare filtrato dall’abitacolo. Un secondo microfono acquisisce il rumore del motore e lo manda in ingresso al filtro adattivo x[n]. Il compito di quest’ultimo è quello di filtrare il rumore per renderlo simile il più possibile a quello che entra nell’abitacolo dell’autovettura (indicato con y[n] ), in modo che poi venga sottratto alla risposta desiderata per ottenere unicamente il segnale d’interesse, ovvero la voce.
L’utilizzo di tecniche ANC ha preso sempre più piede nel corso degli ultimi anni, a causa dei suoi evidenti benefici in termini di rapporto segnale – rumore risultante, bassi costi realizzativi e ridotte dimensioni dei sistemi che ne fanno uso.
Poiché le caratteristiche della sorgente audio rumorosa sono tempo – varianti, le caratteristiche del rumore indotto, come il contenuto frequenziale, la sua ampiezza e la sua fase, risulteranno non stazionarie. Un buon sistema ANC dovrà presentare, di conseguenza, buone proprietà di adattività per poter permettere una cancellazione migliore possibile.
Come visto, i filtri adattivi permettono l’aggiustamento dei propri coefficienti, allo scopo di minimizzare un segnale di errore. La forma di filtro adattivo più comunemente utilizzata impiega un filtro trasversale con algoritmo LMS (Least Mean Square).
E’ opportuno che il sistema di cancellazione faccia uso di tecniche digitali: i segnali, prelevati da opportuni trasduttori, vengono opportunamente campionati e processati in tempo reale da sistemi DSP.
Le applicazioni più comuni riguardano sistemi automotivi (es:
insonorizzazione delle cabine dei veicoli), industriali (es: cuffie, telefoni pubblici, compressori) o elettrodomestici (es: condizionatori, lavastoviglie, etc.).
Un corretto approccio all’analisi della performance di un sistema ANC prevede la partenza dal problema ideale semplificato, con l’aggiunta progressiva delle complessità di ordine pratico che mano a mano vanno ad incontrarsi nell’implementazione.
Le considerazioni da affrontare saranno, quindi:
• Le limitazioni fondamentali al rendimento.
• Le difficoltà pratiche che ne limiteranno il rendimento stesso.
• L’eventuale compromesso tra complessità del sistema e risultati da ottenere.
• L’architettura del sistema da realizzare.
Le proprietà che il sistema di cancellazione, invece, dovrà presentare saranno:
• Massima efficienza sulla più ampia banda di frequenza possibile, per cancellare una maggiore quantità di disturbi.
• Autonomia in riferimento all’installazione, così che il sistema possa essere realizzato dal produttore e poi inserito nella catena di soppressione.
• Auto – adattabilità, in modo da seguire qualsiasi variazione dei parametri fisici.
• Robustezza e semplicità dell’elettronica di controllo.
Nelle pagine che seguono cercheremo di dare una giustificazione, attraverso esperimenti di simulazione, alla teorica applicabilità dei due algoritmi esposti nei precedenti capitoli, verificando, tramite osservazione attenta, i parametri caratteristici dei segnali ottenuti in uscita ad entrambi i sistemi proposti.
