Universit` a degli Studi di Roma ”Tor Vergata”
Esercitazioni Calcolo II - Docente: Prof. Livio Triolo Tutorato numero 11 (18 Dicembre 2013)
Ripasso Esercitatore: dott.Vincenzo Morinelli ([email protected]) 1. Determinare i valori del parametro reale a per cui la forma differenziale
ω(x, y) = (a + y2)dx − 2xydy 1 + x2+ 2y2+ y4
risulti chiusa (e esatta?) e calcolarne la primitiva. Fare lo stesso per la forma differenziale
ω(x, y) = (2x + 5y3)dx + ((a2− 1)xy2+ 2y)dy
2. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:
(a)
( x = tx˙ 2 x(0) = 1
(b)
( x = e˙ xlog t x(1) = 1
(c)
( x = cos˙ 2x sin2t x(0) = 0
(d)
( x = sin x cos x sin t cos t˙ x(0) = π4
(e)
( x = (t + x)˙ 2 x(0) = 1
(f)
¨
x = −3 ˙x
˙
x(0) = −1 x(0) = 1
3. Risolvere il seguente problema di Cauchy al variare del dato iniziale x0 ∈ R e determinare l’intervallo massimale di esistenza della soluzione
( x = x˙ 3− x x(0) = x0
