Universit`a di Trieste – Facolt`a d’Ingegneria.
Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel
Lezione 9: equazioni differenziali ordinarie.
Esercizio 1. Si classifichino le seguenti equazioni, come ordinarie o alle derivate parziali; si dica se sono lineari, se lineari omogenee e se ne determini l’ordine:
a) 2(u− 1)u= 2t + 1 ; b) log
1
0
e−x2dx
dy
dx − e2xy = sin√ x ;
c) xy∇u(x, y), (x, y)T = 3 ; d) d
dx(xy(x)) +2y(x) = f (y) ;
e) y(4)sin x + 3ycos x + y(5)− g(x) = 0 ; f)
3 i=1
ai(x)y(i)(x) = 0 .
Svolgimento.
L’equazione a) `e ordinaria del primo ordine, non `e lineare.
L’equazione b) `e ordinaria lineare non omogenea del primo ordine.
L’equazione c) `e alle derivate parziali, del primo ordine, lineare non omogenea.
L’equazione d) `e ordinaria del secondo ordine; `e lineare se e solo se la funzione f `e lineare, ed `e lineare omogenea se e solo se la funzione f `e lineare omogenea.
L’equazione e) `e ordinaria lineare del quinto ordine; `e omogenea se e solo se g = 0.
L’equazione f) `e ordinaria lineare omogenea del terzo ordine.
Esercizio 2. Si consideri l’equazione del calore
∂u
∂t = k∂2u
∂x2,
che modella la diffusione dell’energia termica di un filo nel punto x all’istante t.
Si verifichi che la seguente funzione, espressa come serie, `e soluzione di tale equazione:
u(x, t) =
∞ n=1
Bnsin
nπx L
e−k(nπL)2t,
dove{Bn}n∈IN `e una qualunque successione limitata di numeri reali.
Svolgimento.
E sufficiente calcolare le derivate parziali della funzione u(t, x), e sostituirle nell’equazione:`
∂u
∂t =
∞ n=1
Bnsin
nπx L
e−k(nπL)2t
−knπ L
2
;
∂u
∂x =
∞ n=1
Bncos
nπx L
e−k(nπL)2tnπ L ;
∂2u
∂x2 =−∞
n=1
Bnsin
nπx L
e−k(nπL)2tnπ L
2
.
1
Esercizio 3. Si risolva l’equazione differenziale
u = 2u. Svolgimento.
E un’equazione a variabili separate e si pu`` o scrivere du 2u = dx.
Integrando a membro a membro si ottiene
− 1
log 22−u= x + C dove C∈ IR `e una costante.
Volendo si pu`o scrivere la soluzione in forma esplicita. Sar`a u(x) =− log2[− log 2(x + C)]
e la soluzione `e definita nell’intervallo ]− ∞, −C[.
Esercizio 4. Si risolva l’equazione differenziale
x2y+ y = 0.
Svolgimento.
Per x= 0 si pu`o scrivere
y=−y x2. Questa `e un’equazione a variabili separabili e si pu`o scrivere
dy
y =−dx x2. Integrando a membro a membro si ottiene
log|y| = 1 x+ C con C costante e quindi
y(x) = kex1
con k costante. In particolare la soluzione y(x) = 0 passa per il punto x = 0 mentre tutte le altre soluzioni non sono definite per x = 0.
Esercizio 5. Si risolva l’equazione
y= x√ x2+ 1 yey . Svolgimento.
Naturalmente si deve supporre y= 0. L’equazione si pu`o riscrivere nella forma yeydy = x
x2+ 1dx.
Integrando a membro a membro si ottiene
yey− ey=1
3(x2+1)32 + C 2
e la soluzione in forma implicita `e
ey(y− 1) = 1
3(x2+1)32 + C.
Esercizio 6. Si risolva il problema di Cauchy
y =xy+tanyx y(1) = π/4 . Svolgimento.
L’equazione proposta `e omogenea nelle variabili x e y, conviene allora attuare una sostituzione. Ponendo u = yx e tenendo conto che y = u + xu l’equazione diventa
xu = tan u che si pu`o riscrivere nella forma
u tan u= 1
x. Integrando a membro a membro si ottiene
log(sin u) = log|x| + C con C∈ IR costante.
La stessa si pu`o riscrivere sinyx = kx con k∈ IR.
Dalla condizione y(1) = π4 si ottiene infine √22= k da cui
y(x) = x arcsin
√2 2 x
.
Esercizio 7. Si risolva il problema di Cauchy y= xy−yx2 2
y(e) = e . Svolgimento.
L’equazione `e omogenea in x e y. Sostituendo u =xy si ottiene xu=−u2
che si pu`o riscrivere nella forma−uu2 =x1. Integrando a membro a membro si ottiene subito u(x) =log x+C1 con C ∈ IR costante. La soluzione sar`a y(x) = log x+Cx e dovendo soddisfare alla condizione y(e) = e deve essere C = 0, dunque
y(x) = x log x. Esercizio 8. Si risolva il problema di Cauchy
y= yx cos x y(0) = 2 . Svolgimento.
L’equazione `e a variabili separabili. Si pu`o scrivere dyy = x cos x dx. Integrando a membro a membro si ottiene log|y| = x sin x +cos x + C da cui y(x) = kex sin x+cos x. Imponendo la condizione y(0) = 2 si ottiene k = 2e−1. Dunque
y(x) = 2ex sin x+cos x−1.
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