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Nello spazio vettorialeR3sono dati i vettori u v w= (0, 0, 2)

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizi. Spazi vettoriali euclidei.

1. Nello spazio vettorialeR3sono dati i vettori u= (0, 1, 1), v= (1, 0, 1), w= (0, 0, 2).

Stabilire se u, v, w formano una base diR3e in caso affermativo determinare le coordinate del vettore(3, 2,−1)rispetto a tale base.

2. Nel piano euclideoR2sono dati i vettori(1, 2),(3, 1).

Si determini la proiezione ortogonale del secondo vettore sulla retta generata dal primo.

Si dia una verifica del risultato trovato.

3. Nello spazio euclideoR3sono dati i vettori(1, 1, 0),(1,−1, 1), (1, 3, 5).

Si determini la proiezione ortogonale del terzo vettore sul piano generato dai primi due.

Si dia una verifica del risultato trovato.

4. Nello spazio vettoriale euclideoR4sono dati i vettori

a= (0, 0, 1, 2), b= (0, 1, 2, 3), c= (0, 1, 1, 1), d= (1, 1, 1, 1). Si determinino le dimensioni dei seguenti sottospazi:

⟨a⟩ ⟨a, b⟩, ⟨a, b, c⟩, ⟨a, b, d⟩,

{a}⊥, {a, b}⊥, {a, b, c}⊥, {a, b, d}⊥.

5. Si verifichi che nello spazio euclideoRn si ha

∥a+b∥2+∥a−b∥2=2∥a∥2+2∥b∥2,

per ogni a, b∈Rn. Qual’e’ il significato geometrico di questa identita’?

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