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Illustrare la risoluzione numerica del seguente problema debolmente non lineare: 4uxx+ (1 + sin2x)ux− (sin(u

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(1)

Calcolo Scientifico e Matematica Applicata Secondo Parziale, 10.01.2018

Risolvere gli esercizi 1, 2, 4 oppure, in alternativa, gli esercizi 1, 3, 4.

Valutazione degli esercizi: 1 7→ 14, 2 7→ 8, 3 7→ 8, 4 7→ 8.

1. Illustrare, mediante il metodo delle differenze finite, la risoluzione nu- merica del seguente problema iperbolico









utt = uxx+ 2xux− (1 + x2)u + sin2(x),

0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ t ≤ 5, u(0, t) = f1, u(4, t) = f2,

u(x, 0) = x, ut(x, 0) = x2.

Discutere le condizioni sul passo affinch´e la matrice del sistema sia invertibile.

2. Illustrare la risoluzione numerica del seguente problema debolmente non lineare:

4uxx+ (1 + sin2x)ux− (sin(u) − u)3 = sin(x), 0 ≤ x ≤ 5, u(0) = f1, u(5) = f2.

3. Illustrare la risoluzione numerica del seguente problema parabolico:





ut = [(1 + 2x2)ux]x− (2 + cos(x))u + f (x), 0 ≤ x ≤ 8, u(0, t) = u(8, t) = 0,

u(x, 0) = g(x).

Discutere le propriet`a principali delle matrici del sistema.

4. a. Illustrare il procedimento di risoluzione, mediante gli elementi finiti, del seguente problema ellittico:

− ∂

∂x



[1 + x2y2]∂u

∂x



− ∂

∂y



[1 + x2y2]∂u

∂y



+ (1 + cos2[x + y])u = x2+ y2, (x, y) ∈ Ω, sotto la condizione al contorno u|∂Ω= 0.

(2)

b. Indicati con ϕ la box spline che assume il valore 1 nel punto nodale (2, 3) e zero negli altri punti nodali e con ψ la box spline che assume il valore 1 nel punto nodale (2 − h, 3 + 12h) e zero negli altri, illustrare il procedimento per il calcolo del seguente integrale

I = Z Z

T

∇ϕ · ∇ψ dxdy,

essendo T il triangolo di vertici

(2 − h, 3 + 12h), (2, 3), (2 + 14h, 3 + 12h) .

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