Posizione di un Punto - 1

Lezione n. 2 (2 ore)

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: carlo.pagani@unimi.it

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it

Posizione di un Punto - 1

Per descrivere la posizione di un punto nello spazio, è necessario disporre di un sistema di coordinate rispetto al quale la posizione del punto è definita

Lo spazio in cui un problema è descritto può essere a 1, 2 o 3 dimensioni: 1-D, 2-D, 3-D

Il sistema di coordinate più comune e intuitivo è quello cartesiano

Sistema di coordinate cartesiane: 1-D

Origine delle Coordinate (posizione dell’osservatore)

O ^Oggetto

Origine delle Coordinate (posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

x_og

x_og

x

x

x_og> 0

x_og< 0

Posizione di un Punto - 2

Sistemi di coordinate 2-D

Cartesiane Polari

Relazioni tra coordinate cartesiane e polari P(x_P,y_P) = P(x ,y) = P(r,θ)

x = r cosθ r = x² + y² y = r sinθ θ = arctan (y/x)

y_P

x y

P (r ,θ)

•

x_P r

θ

y_P

x y

P (x_P,y_P)

•

x_P y_P x_P

O O

Posizione di un Punto - 3

P(r,θ,φ)

y z

x

0

θ _r

φ Sistemi di coordinate 3-D

Cartesiane Polari Sferiche

P(x_P, y_P, z_P) = P(x , y , z) = P(r,θ,φ)

– x = r sin(θ) cos(φ) r = x² + y² +z² – y = r sin(θ) sin(φ) θ = arccos (z/r)

P(x_P,y_P,z_P)

y z

x

0

x_P y_P

z_P

x_P

y_P z_P

r sin(θ)

Posizione di un Punto - 4

P(r,θ,z)

y z

x

0

θ

Sistemi di coordinate 3-D

Cartesiane Polari Cilindriche

P(x_P, y_P, z_P) = P(x , y , z) = P(r,θ,z)

– x = r cos(θ) r = x² + y²

– y = r sin(θ) z = z

– z = z θ = arctan (y/x)

P(x_P,y_P,z_P)

y z

x

0

x_P y_P

z_P

x_P

y_P z_P

r

Grandezze Scalari e Vettoriali

Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è

sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente, serve anche una direzione e un verso (vettoriale)

– Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari

– Spostamento, velocità, accelerazione: grandezze vettoriali

• Quanto è veloce ? Modulo (lunghezza del segmento)

• In quale direzione si muove ? Direzione (retta su cui giace)

• Con quale verso ? Verso (orientamento)

Una grandezza vettoriale è caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso

V V

V

modulo verso

direzione

Notazione vettoriale

• vettore:

V , V

V

• modulo:

|V| , | ^V |

^V

Rappresentazione grandezze vettoriali

Così come le “informazioni fornite” da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le “informazioni fornite” da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate

mediante un punto nello spazio

I vettori, rappresentazione matematica di una grandezza vettoriale, sono segmenti orientati (dall’origine del sistema al punto)

Secondo la natura del problema possono essere a 2 dimensioni (2D) o a 3 dimensioni (3D)

x

0 P

P

y z

x

0

V

Vettori in 2D e loro somma

Esempio: lo spostamento di un punto su un piano

– Spostamenti da A a B e poi da B a C: vettore a _{e vettore} b

– Somma = spostamento da A a C: vettore a + vettore b = vettore s

Lo spostamento non dipende dalla traiettoria

La somma vettoriale gode delle proprietà della somma algebrica

a + b = b + a a + b + c = a + (b + c) = b + (a + c) = c + (a + b)

Regola del parallelogramma

Vettore 2D sul piano

Un vettore 2D si può definire attraverso le sue componenti, che dipendono dal sistema di coordinate (cartesiane o polari) e dal loro orientamento ma non dalla posizione dell’origine

a

a

a

|

a

x y

Coordinate cartesiane e polari

Poiché le componenti di un vettore non dipendono dal punto di applicazione, si determinano posizionando il vettore all’origine del sistema di coordinate scelto

Componenti di un vettore in coordinate cartesiane e polari

– Coordinate cartesiane

a_x , a_y a (a_x,a_y)

– Coordinate polari

|a| , θ ^{a (|a|,}θ)

Le equazioni sono le stesse di quelle viste per la posizione !

a

= |a| cos θ ^|a|

^{= a}

^{+ a}

^{|a| = a}

^+a

a

= |a| sin θ θ = arctan (a

/ a

)

Nota: | a | si ottiene applicando il teorema di Pitagora

Riassunto per il caso 3D

E’ tutto uguale ma le componenti del vettore sono 3 La posizione di un punto P è definita da 3 coordinate I sistemi di coordinate sono a 3 dimensioni

I 3 sistemi di coordinate più importanti Cartesiane: x, y, z

x = distanza dal piano yz y = distanza dal piano xz z = distanza dal piano xy

Polari Sferiche: r, θ, φ

x = r sin(θ) cos (φ) y = r sin(θ) sin (φ) z = r cos(φ)

Polari Cilindriche: r, θ , z

x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z

P (x,y,z)

V (V

,V

,V

)

P (r,θ,φ) V (|V|,θ,φ)

P (r,θ,z)

V (|V|,θ, V_z)

P

y z

x

V_x 0

V_y V_z

V

V

Significato di “sferiche” e “cilindriche”

V P (r, θ , φ )

V (|V|, θ,φ ^{) P (r,} θ ^{, z)}

V (|V|, θ, V

)

V

Alcune considerazioni

Le componenti di un vettore dipendono dall’orientamento del sistema di coordinate, ma la grandezza espressa da un vettore non cambia

La somma di vettori si può fare graficamente o analiticamente,

applicando le semplici relazioni trigonometriche dei triangoli rettangoli.

– Disegnati i vettori uno di seguito all’altro si chiude il poligono, stando attenti al verso del vettore risultante

– Si sommano le componenti x e le componenti y tra loro, ottenendo la componente x e la componente y del vettore somma (attenti ai segni)

Operazioni con i vettori

Con i vettori sono possibili operazioni di somma e moltiplicazione

– La matematica chiama questo capitolo algebra vettoriale

Somma: ne esiste un solo tipo possibile: somma algebrica:

vettore + vettore → Risultato: vettore

Prodotto: ne esistono 4 tipi possibili:

1) Vettore per un numero puro:

scalare per vettore → Risultato: vettore

2) Prodotto Scalare

vettore • vettore → Risultato: scalare

3) Prodotto Vettoriale

vettore x vettore → Risultato: vettore

4) Prodotto Tensoriale

vettore ⊗⊗⊗⊗ vettore →Risultato:tensore

Esempi di somma di vettori

Esempio di costruzione geometrica

Esempio di calcolo del vettore somma

a

b

c s

a

b

c

a + b + c = s

a

c

b β

−γ α

s

a

+ b

+ c

s

a

+ b

+ c

Partendo dai moduli e dagli angoli si ha:

a_x = |a| cosα ^{> 0} a_y = |a| sinα ^{> 0}

c_x = |c| cosγ ^{> 0} c_y = |c| sinγ ^{< 0} b_x = |b| cosβ < 0 b_y = |b| sinβ > 0

x y

Prodotto di un vettore per un numero

Ha come risultato un vettore

Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero k

B (B

,B

) = k A (A

,A

) B

= k A

B

= k A

Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero (NON l’angolo)

B (|B|, θ

) = k A (|A|, θ

⁾ |B| = k |A| θ

⁼ θ

Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un numero ci permettono di introdurre una nuova rappresentazione dei vettori, usando i versori

I versori sono vettori unitari (modulo = 1) con direzione e verso conformi agli assi del sistema di coordinate cartesiane di riferimento

Rappresentazione con i versori

In un sistema 3-D i versori sono 3, hanno modulo unitario, sono diretti secondo gli assi cartesiani e si indicano con la seguente notazione

In un sistema 2-D i versori sono solo 2:

i

j

Nota: Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare…

i ≡ i ≡ e_x j ≡ j ≡ e_y k ≡ k ≡ e_z

A B

A (A

, A

A

) = A

i + A

j + A

k

B (B

, B

B

) = B

i + B

j + B

k

Versori associati alle coordinate polari : e

V P (r, θ , φ )

V (|V|, θ,φ ^{) P (r,} θ ^{, z)}

V (|V|, θ, V

)

V

Prodotto Scalare - 1

Il Prodotto Scalare di due vettori,

A

B

E’ il prodotto tra i moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo

compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo per il modulo del secondo (o viceversa).

A (A

,A

) B (B

,B

)

A • B ≡ |A| |B| cos θ = |A| (|B| cos θ) = (|A| cos θ) |B| = B • Α Α Α Α

Ma vale anche:

A • B = (A

B

) + (A

B

) = C = scalare

(dimostriamo questa affermazione nella prossima trasparenza).

θ θ θ θ

B

A

Prodotto Scalare - 2

A (A

,A

) B (B

,B

)

(A

B

) + (A

B

) =

= (|A| cos(θ

) |B| cos(θ

)) + (|A| sin(θ

) |B| sin(θ

)) =

= |A| |B| (cos(θ

) cos(θ

) + sin(θ

) sin(θ

)) =

= |A| |B| cos(θ

-θ

) = |A| |B| cos(θ

-θ

)

L’equivalenza è dimostrata

Le due formule sono ambedue utili Conseguenze:

Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo !

Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli

θθθθ

B

A

θθθθ

A

B C

Il risultato del Prodotto Vettoriale tra 2 vettori, A e B, è un vettore, C, ortogonale al piano formato dai vettori A e B.

A X B = A ^Λ B = C

modulo: |C| = |A| |B| sin θ

direzione:

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

verso: regola della mano destra, o (meglio !) verso uscente se per portare

il primo sul secondo devo ruotare in senso antiorario

Prodotto Vettoriale (o Vettore)

Note

• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo

• |C| è massimo per φ = ± π/2

• A x B = - B x A (non è commutativo !)

P. V. in Coordinate Cartesiane

A

B = A ^Λ B = C

A (A_x ,A_y, A_z) B (B_x , B_y, B_z) C (C_x ,C_y, C_z)

A=A_xi +A_yj +A_z k B=B_xi +B_yj + B_z k C=C_xi +C_yj +C_zk

C_x= (A_y B_z – A_z B_y) C_y= (A_z B_x – A_x B_z) C_z= (A_x B_y – A_y B_x)

C= (A_y B_z – A_z B_y) i + (A_x B_z – A_z B_x) j + (A_x B_y – A_y B_x) k

Esempio

A (1,1,1) B (2,2,0)

C (0-2,0-2,2-2) = C (-2,2,0) C=-2 i +2 j +0 k = -2 i +2 j

y z

B

C A

i j k

A

A

A

B

B

B

Obiettivi esercizi Cap. 3 (RHW)

Cap. 3

– Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle sue componenti e dalle componenti al vettore.

– Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore).