Grandezze scalari e vettoriali
• Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente.
• Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari.
• Spostamento, velocità: grandezze vettoriali.
1. Quanto veloce ? Modulo (lunghezza del segmento).
2. In quale direzione ? Direzione (retta su cui giace).
3. Con quale verso ? Verso (orientamento)
• Una grandezza vettoriale è quindi caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso.
modulo direzione
Verso
K
Notazione:
K, K, K
Modulo
Grandezze vettoriali e loro rappresentazione
Così come le informazioni “fornite” da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le informazioni “fornite” da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate mediante un punto nello spazio.
y x
z
Cerchiamo quindi di capire come si rappresenta una grandezza vettoriale (in 2-D e in 3-D)
Strumento matematico utilizzato: i vettori
Cosa sono? Insiemi di segmenti orientati..., di cui si
rappresenta quello con un estremo nell’origine…
Rappresentazione in un sistema di coordinate
X
θ Y
Si possono dare le due componenti cartesiane…
K = (kx,ky)
…o polari
K = (|K|, θ)
Va data specificando l’origine. In due dimensioni:
kx = |K| Cos (θ) |K| = (kx2+ky2)1/2 ky = |K| Sen (θ) θ = artg (ky/kx)
3D: coordinate cartesiane e polari sferiche…
Caso tridimensionale
• Coordinate cartesiane
• Coordinate polari sferiche
• Coordinate polari cilindriche
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ
ϕ θ
ϕ θ
cos
sin sin
cos sin
r z
r y
r x
=
=
=
( ) ( )
z z
r y
r x
=
=
=
θ θ sin cos
y x
z
Deve essere possibile definire delle operazioni di somma (algebrica) e prodotto per i vettori.
Esiste una branca della matematica che se ne occupa (algebra vettoriale). Per la fisica che trattiamo in questo corso serve solo un sottoinsieme di tutte le operazioni che si possono definire.
Ho un tipo di somma algebrica:
vettore + vettore → Risultato: vettore
Posso avere invece quattro diversi tipi di prodotto:
1) Prodotto di un vettore per un numero:
scalare vettore → Risultato: vettore 2) Prodotto Scalare:
vettore • vettore → Risultato: scalare 3) Prodotto Vettoriale:
vettore × vettore → Risultato: vettore 4) Prodotto Tensoriale:
vettore ⊗ vettore → Risultato: tensore
Somma algebrica di vettori
Metodo Grafico
Metodo Algebrico
La somma di due vettori è quel terzo vettore che ha per componente x (y, z) la somma delle componenti x (y, z) dei due vettori addendi.
A(3,2) + B(2,-3) = C C = A+B = (3+2, 2-3) = (5,-1).
Nota:
La somma di due vettori A(a1,a2) e B(b1,b2) ha modulo pari a:|A+B| = |C| = (|A|2 + |B|2 - 2|A||B|cos(θa-θb))1/2
+ = =
Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un numero ci
permettono di introdurre una nuova
Prodotto di un vettore per un numero
⇒ ha come risultato un vettore.
Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero.
Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero (NON l’angolo).
V(a,b) oppure V(|v|,q)
4 V = V’ (4a, 4b) = V’(4|v|,q)
Definisco 2 vettori (nello spazio a 2 dimensioni) con:
• Modulo = 1
• Direzione = rispettivamente l’asse x e l’asse y
• Verso = quello delle coordinate positive
1 ∧
i
∧
j
) 2 , 3 (
2 3
=
+
=
∧ ∧k
j i
k
Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare…
56.3°
k
Rappresentazione mediante i versori
Questi vettori si dicono versori e si indicano con
Un generico vettore si scrive
kx= 2 ky= 3
Prodotto Scalare ⇒ ha come risultato uno scalare. E’ il prodotto tra i moduli dei due vettori e il coseno dell’angolo compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo per il modulo del secondo.
A(a
1,a
2) , B(b
1,b
2) A(|a|,θ
a) , B(|b|,θ
b) C = A·Β Β Β Β = (a
1·b
1+ a
2·b
2) C = A·B = |a||b|cos (θ
a-θ
b)
Ovviamente:
• Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo !
• Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli
• A · B = B · A dato che cos (θa- θb) = cos (θb- θa)
Prodotto Vettoriale ⇒ ha come risultato un vettore
A(a1,a2) , B(b1,b2) oppure A(|a|,θa) , B(|b|,θb) C = A x B = A Λ B
Modulo α |C| = |a||b| sen (θa - θb)
Direzione α Ortogonale al piano individuato da A e B
Verso α Regola della mano destra
A
C B B
A C
Con le dita della mano destra (indice e medio) far girare il vettore A verso il vettore B, ed il pollice indicherà la direzione del vettore C.
Ovviamente:
• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo
• A x B = - B x A (non commutativo !)
Prodotto Vettoriale in 3 dimensioni
A(x
a,y
a,z
a) B(x
b,y
b,z
b)
X
Y
Z
A B C
( )
( )
(
a b a b)
c
a b b
a c
b a b
a c
x y y
x z
x z x
z y
y z z
y x
B A
C
−
=
−
=
−
=
∧
=
i j k
x
ay
az
ax
by
bz
bEsempio
A(1,1,1) B(2,2,0) C = A Λ B Cx = - 2
Cy = +2
Cz = 0
