Con x 0 e y 0 coordinate del punto P fornite nel testo.

Verifica rette & piano cartesiano

1. Trasformo le rette nella forma esplicita in modo da poter avere il valore del coefficiente angolare:

r : 𝑦 = −3𝑥 − 4

s :

𝑦 =

(

𝑥 −

(

Dati i due coefficienti angolari posso calcolare quelli delle rette perpendicolari ad esse:

(ricordiamo che il coefficiente angolare della retta perpendicolare è il suo anti-reciproco)

𝑚_+,-=1 3 𝑚_/,-= −3

Costruiamo le due rette utilizzando la formula del fascio:

𝑦 − 𝑦

= 𝑚 𝑥 − 𝑥

Con 𝑥

e 𝑦

coordinate del punto P fornite nel testo.

t : 𝑦 − 6 =

𝑥 − 0

t : 𝑦 =

𝑥 + 6

Per la seconda retta invece

w : 𝑦 − 6 = −3 𝑥 − 0

w : 𝑦 = −3𝑥 + 6

Sono state messe in evidenza le quattro rette su cui calcolare i 4 punti di intersezione che

andranno a formare il rettangolo. Uno di questi punti viene già fornito nel problema,

ossia il punto P.

Troviamo gli altri tre punti dall’intersezione delle rette.

PUNTO C

𝑦 = 1 3 𝑥 − 2 𝑦 = −3𝑥 + 6 3

1 3 𝑥 − 2

3 = −3𝑥 + 6

10

3 𝑥 = 20 3

𝑥

= 2 , sostituisco in una delle due rette per trovare la corrispondente 𝑦

= 0

𝑪 𝟐; 𝟎

PUNTO B

𝑦 = 1 3 𝑥 − 2 𝑦 = −3𝑥 − 4 3

1 3 𝑥 − 2

3 = −3𝑥 − 4

10

3 𝑥 = − 10 3

𝑥

= −1 , sostituisco in una delle due rette per trovare la corrispondente 𝑦

= −1 𝑩 −𝟏; −𝟏

PUNTO A

𝑦 = 1 3 𝑥 + 6 𝑦 = −3𝑥 − 4

1

3 𝑥 + 6 = −3𝑥 − 4

− 10

3 𝑥 = 10

𝑥

= −3 , sostituisco in una delle due rette per trovare la corrispondente 𝑦

= 5

𝑨 −𝟑; 𝟓

La figura che si è venuta a creare è un rettangolo, per poterne calcolare Area e Perimetro

devo calcolarne la misura dei lati con la distanza punto-punto.

𝑑 𝐴; 𝐵 = −3 + 1

+ 5 + 1

= ⋯ = 40 = 2 10 𝑑 𝐶; 𝐵 = 2 + 1

+ 0 + 1

= 10

𝐴 = 2

10× 10 = 20

2𝑝 =

10 + 2 10

10

2. Per imporre il passaggio del fascio di rette per l’origine degli assi, sostituisco tale punti all’interno dell’equazione:

𝑘 − 3 ∙ 0 − 1 + 2𝑘 ∙ 0 − 𝑘 + 10 = 0 −𝑘 + 10 = 0 𝑘 = 10

Trovato il k, lo sostituisco all’interno del fascio per trovare l’equazione della retta s.

10 − 3 𝑥 − 1 + 2 ∙ 10 𝑦 − 10 + 10 = 0 7𝑥 − 21𝑦 = 0 𝑠 ∶ 𝑦 =1

3𝑥

La cui generica retta perpendicolare è:

𝑟 ∶ 𝑦 = −3𝑥 + 𝑘

Chiediamo il passaggio per il punto P(0;6) e otteniamo così la retta 𝑟 ∶ 𝑦 = −3𝑥 + 6

Trovo il punto A come intersezione tra le due rette r ed s.

𝑦 = 1 3 𝑥 𝑦 = −3𝑥 + 6

1

3 𝑥 = −3𝑥 + 6 𝑥 = 6 ∙ 3

10 = 18 10 = 9

5 𝑦 = 3

5 𝐴 9

5 ; 3 5

Posso trovare l’area del triangola utilizzando la distanza punto-punto

𝐴 =𝑑(𝑂; 𝐴)×𝑑(𝐴; 𝑃) 2

𝑑 𝑂; 𝐴 = 0 − 9 5

)

+ 0 − 3 5

)

= ⋯ = 81 25 + 9

25 = 3 10 5

𝑑 𝐴; 𝑃 = 0 − 9 5

)

+ 6 − 3 5

)

= ⋯ = 81 25 + 27

25 = 108

5 = 6 3 5

𝐴 =

3 10 5 × 6 3 5

2 =18 30

50 = 9 30 25

3. Per trovare le generatrici svolgo i calcoli e raccolgo il parametro k:

𝑘𝑦 − 2𝑦 − 𝑥 − 𝑘𝑥 + 𝑘 + 4 = 0 𝑘 𝑦 − 𝑥 + 1 − 2𝑦 − 𝑥 + 4 = 0 𝑟 ∶ 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0 𝑠 ∶ −2𝑦 − 𝑥 + 4 = 0

Il punto base si trova come intersezione tra le due rette:

𝑦 − 𝑥 + 1 = 0

−2𝑦 − 𝑥 + 4 = 0

Con il metodo della riduzione trovo la y

−𝑦 = −5 𝑦 = 5

Sostituisco in una delle due equazioni la y trovata precedentemente per trovare la x corrispondente:

𝑥 = 6

il punto base è quindi 𝐴(6; 5).

Per risolvere la seconda parte del problema devo mettere in forma esplicita entrambe le rette.

𝑦 = − 1 5 𝑥 + 3

5 𝑦 = 1 + 𝑘

𝑘 − 2 𝑥 − 𝑘 + 4 𝑘 − 2

Affinché le rette siano parallele esse devono avere lo stesso coefficiente angolare.

1 + 𝑘

𝑘 − 2 = − 1 5

5 1 + 𝑘 = −(𝑘 − 2) 5 + 5𝑘 = −𝑘 + 2 6𝑘 = −3

𝑘 = − 1 2

4. Determino la retta che passa per i punti A e B.

𝑦 − 𝑦₀= 𝑚 𝑥 − 𝑥₀ Con

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥 = 1 + 2

−2 − 4= 3

−6= −1 2 Sostituendo nel fascio ottengo la retta cercata:

𝑦 + 2 = −1

2(𝑥 − 4)

𝑟 ∶ 𝑦 = −1 2𝑥

Dovendo trovare il circoncentro (intersezione tra gli assi del triangolo) devo trovare tutti i vertici triangolo.

Trovo quindi la retta che passa per il punto medio di AB e per perpendicolare alla retta appena trovata ( vado a trovare la retta che coincide con l’altezza del triangolo).

𝑀 𝑥₌+ 𝑥_:

2 ;𝑦₌+ 𝑦_:

2 = 𝑀 4 − 2

2 ;−2 + 1

2 = 𝑀 1; −1 2 la retta nonché asse del segmento AB è:

𝑦 +1

2= 2(𝑥 − 1)

𝑤 ∶ 𝑦 = 2𝑥 −5 2

Trovo le coordinate del punto C come intersezione tra la retta w e la retta s ( vedi figura)

𝑦 = 2𝑥 −5 2 𝑦 = −1

2𝑥 + 5

Le cui soluzioni sono le coordinate del punto C:

𝑥 = 3

𝑦 =^Y₎ 𝐶 3;^Y₎

Trovo un’ulteriore asse per trovare il circocentro, già precedentemente ho trovato un asse che coincide con la retta w.

Trovo l’asse del segmento AC, cercando in primis la retta che passa per questi due punti e poi la retta che passa per il punto medio e perpendicolare ad essa.

Trovo prima il coefficiente angolare e poi sostituisco nel fascio di rette:

𝑚 =Δy Δx=

72 + 2

3 − 4= ⋯ = −11 2 𝑦 + 2 = −11

2 𝑥 − 4 𝑡 ∶ 𝑦 = −11

2 𝑥 + 20

il punto medio del segmento AC è

𝑅 𝑥₌+ 𝑥_{_}

2 ;𝑦₌+ 𝑦_{_}

2 = 𝑅 4 + 3

2 ;−2 +7 2

2 = 𝑅 7

2;3 4

La retta passante per R e perpendicolare alla retta t appena trovata è:

𝑦 −3 4= 2

11 𝑥 −7 2

𝑞 ∶ 𝑦 = 2 11𝑥 + 5

44

Posso trovare ora il circocentro come intersezione tra la retta w la retta q

𝑦 = 2 11𝑥 + 5

44 𝑦 = 2𝑥 −5

2

Il punto che trovo risolvendo il sistema è:

𝐼 23 4 ; 9

5. Metto la retta nella forma esplicita per individuare il suo coefficiente angolare.

𝑦 = 3𝑥 − 1 il cui coefficiente angolare è 𝑚 = 2.

Utilizzando la formula del fascio e sostituendo il punto A(0;3)

𝑦 − 𝑦

= 𝑚 𝑥 − 𝑥

𝑦 − 3 = 3 𝑥 − 0 𝑦 = 3𝑥 + 3

6. Dal sistema possiamo ricavare graficamente la zona del piano cartesiano circoscritta dalle tre disequazioni. La prima delimita tutto lo spazio sotto la retta, la seconda e la terza sono rispettivamente delle limitazioni sull’asse ascisse e sull’’asse delle ordinate.

2𝑥 + 𝑦 − 9 ≤ 0 𝑥 + 2 ≥ 0

−3 ≤ 𝑦 ≤ 5

Possiamo ricava i punti in cui si intersecano le tre equazioni:

2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0

𝑦 = −3 2𝑥 − 3 − 9 = 0

𝑦 = −3 𝑥 = 6

𝑦 = −3 𝐴 6 ; −3

2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0

𝑦 = 5 2𝑥 + 5 − 9 = 0

𝑦 = 5 𝑥 = 2

𝑦 = 5 𝐵 2 ; 5