Potenziale vettore
un campo vettoriale solenoidale puo’ sempre essere derivato da un opportuno
campo vettoriale attraverso l’operatore rotore
un campo vettoriale conservativo puo’ sempre essere derivato da un opportuno
campo scalare attraverso l’operatore gradiente
w e’ un campo solenoidale allora w 0 ovunque
e in conseguenza di cio’ sara’ sempre possibile trovare un campo vettoriale A
tale per cui si abbia w A
ma la divergenza del rotore di un campo vettoriale e’ identicamente nulla
( )
w A
applicando l’operatore divergenza ad ambo i membri della w A
si ottiene infatti se
quindi se il campo w fosse solenoidale si otterrebbe in effetti una identita’
( 0 = 0 )
il potenziale vettore e’ determinabile a meno del gradiente di una funzione scalare mentre il potenziale scalare era definito a meno di una costante additiva
infatti se
A ' A
' ( )
A A
( )
A
A
dato che il rotore del gradiente di un qualsiasi campo scalare e’ identicamente nullo una scelta che si puo’ fare per determinare univocamente il potenziale vettore,
in analogia con il potenziale scalare
il campo A viene detto “ potenziale vettore”e’ quella di imporre che anche A sia solenoidale ma non e’ l’unica possibile,
in questo caso
w A
applicando l’ operatore rotore ad ambo i membri della relazione
( )
w A
e usando l’uguaglianza notevole
( A ) ( A )
2A
si ottiene
w ( A )
2A
0
A
in conclusione si ha
w 2 A
l’imposizione che A sia solenoidale “ gauge di Coulomb” implica che si ha
w
2A
in coordinate cartesiane
l’ equazione vettoriale si riconduce a tre equazioni scalari
2 2 2
2
2 2 2
( )
x y z
( w )
x
2A
xˆ ˆ ˆ
x y z
A A i A j A k
ˆ ˆ ˆ
( )
x( )
y( )
zw w i w j w k
( w )
y
2A
y( w )
z
2A
zl’operatore agisce su di una funzione scalare
e
Potenziale vettore magnetico
secondo le equazioni dell’elettrotecnica
B
0J
e
B 0
quindi potra’ essere derivato da un opportuno potenziale vettore magnetico
ossia
B A
0
A
si ha
B
2A
ma
B
0J
dunque il campo magnetico non e’ conservativo, ma e’ solenoidale
quindi
2A
0J
20
x x
A J
2
0
y y
A J
2
0
z z
A J
se si impone la gauge di Coulomb per A ossia che
se si impone al potenziale di annullarsi all’infinito, insieme alle sue derivate prime parziali,
in elettrostatica
2
0
V
P(x,y,z)
d
r r
e’ possibile dimostrare che la soluzione dell’equazione di Poisson
( , , ) ( ', ', ') x y z
V x y z d
r
x’,y’,z’ sono le coordinate del generico punto dello spazio P’ in cui si desidera calcolare il potenziale
x,y,z si estendono al volume entro cui e’
diffusa la carica elettrica
sorgente del campo
P’(x’,y’,z’) assume la forma:0
4
x x
A J d
r
2
0
x x
A J
formalmente bastera’ sostituire
A V
00
1
J
0
4
y y
A J d
r
