Geometria 1 — 22 Luglio 2010
1. Quali sono i possibili autovalori di una matrice complessa A tale che A2 = iI ? 2. Scrivere una matrice complessa 4 4che veri…chi A2 = iI:
3. Sia A una qualsiasi matrice dell’esercizio 1. Quante soluzioni ha il sistema lineare A!v = !0 ?
4. Fissata in C3 la base fe1; e2; e3g si consideri l’applicazione lineare de…nita da:
f (e1) = ie2 ie3 f (e2) = ie1 + ie3 f (e3) = ie1 ie2
Si discuta la verità (o la falsità) delle seguenti a¤ermazioni:
(a) f è invertibile.
(b) e1+ e2 è un autovettore.
(c) e1 e2+ e3 è un autovettore.
5. Sia A una matrice complessa quadrata di 10 righe e 10 colonne e sia p( ) = 5( 2 4)( 3 27)
il suo polinomio caratteristico. Si dimostri che A è diagonalizzabile se e solo se il suo rango è 5:
6. Il commutatore di due matrici antihermitiane è ancora antihermitiano?. E l’anticommutatore?
Discutere anche i due casi per le matrici hermitiane.
1
Cenno alle soluzioni:
Esercizio 1.
Gli autovalori devono veri…care: 2 = i. Le cui soluzioni sono:
1 = 1 2
p2 + 1 2ip
2 ; 2 = 1 2
p2 1 2ip
2 :
Esercizio 2.
Basta usare il risultato dell’esercizio 1. Ad esempio:
A = 0 BB
@
1 2
p2 + 12ip
2 0 0 0
0 12p
2 + 12ip
2 0 0
0 0 12p
2 + 12ip
2 0
0 0 0 12p
2 + 12ip 2
1 CC A
Esercizio 3.
Basta usare il risultato dell’esercizio 1. La matrice è invertibile (perchè ha autovalori diversi da zero) e quindi il sistema omogeneo ha solo la soluzione nulla.
Esercizio 4.
La matrice associata è: 0
@
0 i i
i 0 i i i 0
1 A
la matrice non è invertibile perchè ha determinante = 0:
0
@
0 i i
i 0 i
i i 0 1 A
0
@ 1 1 0
1 A =
0
@ i
i 0
1
A : e1+ e2 non è un autovettore 0
@
0 i i
i 0 i
i i 0 1 A
0
@ 1 1 1
1 A =
0
@ 0 0 0
1
A : e1 e2+ e3 è un autovettore.
Esercizio 5.
Il polinomio caratteristico è p( ) = 5( 2 4)( 3 27) per cui gli autovalori sono le due radici quadrate di 4; (ciascuna con molteplicità algebrica uguale a 1), le tre radici terze di 27 (ciascuna con molteplicità algebrica uguale a 1), e 0 (quest’ultimo con molteplicità algebrica uguale a 5): Se la matrice ha rango 5, il nucleo ha dimensione 10 5 = 5 e quindi anche l’autovalore 0 risulta regolare e la matrice è diagonalizzabile. Se la matrice è diagonalizzabile, la sua forma diagonale contiene 5 volte il numero 0 sulla diagonale principale e quindi la matrice (avendo 5 righe tutte di zeri) ha rango uguale a 10 5 = 5:
Esercizio 6.
2
Siano A e B antihermitiane, per il commutatore si ha:
[A; B] = AB BA
[A; B] = (AB BA) = B A A B = ( B) ( A) ( A) ( B) = [A; B]
Per l’anticommutatore, invece:
fA; Bg = AB + BA
fA; Bg = (AB + BA) = B A + A B = ( B) ( A) + ( A) ( B) =fA; Bg Siano A e B hermitiane, per il commutatore si ha:
[A; B] = (AB BA) = B A A B = BA AB = [A; B]
Per l’anticommutatore, invece:
fA; Bg = (AB + BA) = B A + A B = BA + AB = fA; Bg
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