Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
Tema d’Esame del 12 aprile 2010 – Geometria I (Unità 1)
Come prima cosa, determiniamo il polinomio caratteristico associato alla matrice 𝑀 e determiniamone le sue radici ponendolo uguale a 0.
𝑝𝑀(𝜆) = det(𝑀 − 𝜆𝐼3) = det (1 − 𝜆 −1 0
0 𝑘 − 𝜆 0
0 −2 1 − 𝜆
) = (1 − 𝜆)2(𝑘 − 𝜆) = 0 Esso avrà come radici 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = 𝑘. Nello specifico ∀𝑘 ∈ ℝ ∖ {1} avremo che l’autovalore 𝜆1 avrà molteplicità algebrica 𝑚. 𝑎. (𝜆1) = 2, mentre 𝜆2 avrà 𝑚. 𝑎. (𝜆2) = 1. Qualora 𝑘 = 1, allora avremo un unico autovalore 𝜆0 con molteplicità algebrica 𝑚. 𝑎. (𝜆0) = 3. Nei due casi in esame, andiamo a valutare la molteplicità geometrica di ogni autovalore, ossia la dimensione dell’autospazio che esso determina.
Analizziamo in primo luogo il caso 𝑘 ≠ 1.
Consideriamo la matrice
𝑀 − 𝜆1𝐼3 = (0 −1 0 0 𝑘 − 1 0
0 −2 0
) L’autovalore 𝜆1 avrà molteplicità geometrica pari a
𝑚. 𝑔. (𝜆1) = 𝑛 − rg(𝑀 − 𝜆1𝐼3) = 3 − 1 = 2 Consideriamo ora la matrice
𝑀 − 𝜆2𝐼3 = (1 − 𝑘 −1 0
0 0 0
0 −2 1 − 𝑘
) Calcolando il determinante del minore evidenziato si ottiene
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
det (1 − 𝑘 −1
0 −2) = 2(𝑘 − 1)
Siccome 𝑘 ≠ 1, questo determinante sarà sempre diverso da zero e quindi la matrice 𝑀 − 𝜆2𝐼3 avrà rango 2. La molteplicità geometrica di tale autovalore sarà
𝑚. 𝑔. (𝜆2) = 3 − 2 = 1
Siccome le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori determinati coincidono, allora la matrice 𝑀 è diagonalizzabile ∀𝑘 ≠ 1.
Prendiamo ora in esame il caso 𝑘 = 1.
Abbiamo che la molteplicità algebrica di 𝜆0 è pari a 3; calcoliamone quella geometrica.
𝑀 − 𝜆0𝐼3 = (1 − 1 −1 0
0 1 − 1 0
0 −2 1 − 1) = (0 −1 0
0 0 0
0 −2 0)
La matrice 𝑀 − 𝜆0𝐼3 ha rango 1, quindi la molteplicità geometrica di dell’autovalore in questione sarà
𝑚. 𝑔. (𝜆0) = 3 − 1 = 2 ≠ 𝑚. 𝑎. (𝜆0) Per 𝑘 = 1 si ha che la matrice 𝑀 non è diagonalizzabile.
Per 𝑘 = 0 abbiamo che 𝜆1 = 1 con 𝑚. 𝑎. (𝜆1) = 𝑚. 𝑔. (𝜆1) = 2, mentre 𝜆2 = 0 con 𝑚. 𝑎. (𝜆2) = 𝑚. 𝑔. (𝜆2) = 1.
La matrice diagonale 𝐷 sarà data dalla matrice avente sulla diagonale gli autovalori così determinati.
𝐷 = (1 0 0 0 1 0 0 0 0
)
Ora occupiamoci di determinare la matrice di passaggio 𝑃 e quindi gli autospazi relativi a tali autovalori.
Consideriamo
𝑀 − 𝜆1𝐼3 = (0 −1 0 0 −1 0 0 −2 0
)
Calcolando il nucleo dell’applicazione associata a tale matrice, determiniamo l’autospazio 𝑉𝜆1
𝑉𝜆1 ∶ 𝑦 = 0 ⟹ 𝑉𝜆1 = 〈(1; 0; 0); (0; 0; 1)〉
Geometria I Gianluca Ferrari Algebra Lineare
Consideriamo ora
𝑀 − 𝜆2𝐼3 = (1 −1 0
0 0 0
0 −2 1 )
Risolvendo il sistema lineare omogeneo si determina l’autospazio 𝑉𝜆2. {𝑥 − 𝑦 = 0
−2𝑦 + 𝑧 = 0 ⟹ {
𝑥 = 𝑦
𝑧 = 2𝑦 ⟹ 𝑉𝜆2 = 〈(1; 1; 2)〉
Ora avremo che la matrice 𝑃 di passaggio sarà la matrice che ha sulle colonne i vettori degli autospazi così determinati.
𝑃 = (1 0 1 0 0 1 0 1 2
) Volendo, è possibile verificare la relazione 𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃.
