ESERCIZI Geometria 1 – V Foglio 2012 Determinanti e matrici inverse. Rango con Kroneker 1. Calcolare il determinante delle seguenti matrici
A :=
1 0 −1
3 −1 0 1 −1 3
, B :=
2 3 1
1 −1 2
0 1 −1
C :=
1 0 −1 2
3 1 0 −2
1 1 3 1
0 −2 2 1
, D :=
0 1 2 3 4
1 −1 1 −1 1
2 1 0 1 −1
3 −1 1 1 0
0 1 3 0 −3
E :=
10 23 17 44 15 35 26 69 25 57 42 108 30 69 51 133
, F :=
2 2 2 2 1
3 3 3 1 2
4 4 5 1 −1
−1 −1 1 1 2
2 1 1 1 −1
2. Se le matrici A e B dell’esercizio 1. sono invertibili, a) risolvere con il metodo di Cramer i sistemi AX = b
1e BX = b
2con
b
1:=
1
−3 2
, b
2:=
−1 4 1
, b) calcolare le matrici inverse di A e B.
3. a) Determinare per quali k ∈ R le seguenti matrici hanno determinante nullo.
b) Dire per quali k la terza colonna ` e combinazione lineare delle altre tre e in caso affermativo dire se tale combinazione ` e unica
c) Per i k per cui le matrici sono invertibili calcolare l’inversa.
A :=
k 2 3 1
0 k 1 1
k 0 −k −k
−k 2 1 3k
, B :=
0 k + 2 0 1
−1 0 1 k + 1
k + 1 2 −1 0
−1 2 k + 1 2
.
4. Calcolando il rango della matrice completa e il rango della matrice dei coefficienti usando il Teorema di Kroneker si studi la risolubilit` a dei seguenti sistemi al variare del parmetro (vedi Es.1.5, 1.6, 1.7, 1.8 del Foglio I)
x + y + (k − 1)z + w = 1 2x + ky + kz + kw = k
kx + 2(k − 1)y + 2z + 2w = k
2− 2 x + y + z + w = 1
,
−X
1+ X
2+ 2X
4= 1
3X
1− 2X
2+ X
3− 5X
4= −2 X
2+ X
3+ k
2X
4= k.
,
x − y + z − u = 1 2x − y + 4z − u = t + 1 x + y + (t + 4)z + u = 1 y + 2z + t
2u = 2t − 2
,
x − 2y + z + (h − 2)t = 2
(h − 2)x − (h − 2)y + (2h − 4)z + (h − 2)
2t = h
2+ 2h
−2x + (8 − 2h)y + (2 − 2h)z + 2t = 2h − 12.
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