Geometria Analitica

Geometria Analitica

Distanza tra due punti nel piano cartesiano

( ) (

2 1

)

²

2 1 2 2

1

P x x y y

P = − + −

Punto medio di due punti nel piano cartesiano

( ) ^



 



 + +

= ; 2

; x

¹

2 x

²

y

¹

y

²

y

x

M

_{M M}

Area di un triangolo nel piano cartesiano a partire dalle coordinate dei suoi

punti A

(

x1; y1

)

, B

(

x2; y2

)

e C

(

x3; y3

)

:

1 1 1 2

1

3 3

2 2

1 1

y x

y x

y x A=

Geometria Analitica La retta

Equazione della retta in forma esplicita: y=mx+q Equazione della retta in forma implicita: ax+bx+c =0 Equazione della retta verticale:

x = h

Equazione della retta orizzontale:

y = q

Equazione dell’asse delle ordinate (asse y): x=0 Equazione dell’asse delle ascisse (asse x): y=0

Equazione della generica retta passante per l’origine: y=mx

Equazione della retta bisettrice del I-III quadrante: y = x oppure x−y=0 Equazione della retta bisettrice del II-IV quadr.: y=−x oppurex+y=0 Rette parallele

y = mx + q

,

y = m ' x + q '

:

m = m '

Rette perpendicolari

y = mx + q

,

y = m ' x + q '

:

' 1 m=−m

Equazione del fascio proprio di rette passanti per P₀ è:

y − y

0

= m · ( x − x

0

)

Equazione della retta passante per due punti P1

(

x1; y1

)

e P2

(

x2; y2

)

1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y

−

= −

−

−

distanza di un punto da una retta

( )

2 0 0

1 m q mx d y

+ +

= −

2 2

0 0

b a

c by d ax

+ +

= +

Parabola (asse verticale)

Equazione in forma canonica y=ax²+bx+c Concavità:

Se a > 0 concavità rivolta verso l’alto

∪

Se a < 0 concavità rivolta verso il basso

∩

Equazione dell’asse:

a x b

−2

= Coordinate del vertice: ^



 



− −∆

a a V b

; 4 2

Coordinate del fuoco: ^



 



− + −∆

a a F b

4

; 1 2 Equazione della retta direttrice:

y a 4 1−∆

=−

Coordinate del punto d’intersezione con l’asse y: ^Iy

( )

0;^c

Coordinate dei punti d’intersezione con l’asse x: _^









− + ∆











− − ∆

0 2 ; 0

2 ; ²

1 a

I b a

I_x b _x

Casi particolari:

b = 0

y = ax

²

+ c

l’asse della parabola coincide con l’asse y c = 0

y = ax

²

+ bx

parabola passante per l’origine

b = c = 0

y = ax

²
parabola passante per l’origine e con asse l’asse y

Ellisse

Equazione in forma canonica ₂ 1

2 2

2 + =

b y a x

Coordinate dei vertici: A’(-a; 0 ), A ( a; 0), B’( 0; -b), B ( 0; b).

Coordinate dei fuochi: F’(-c; 0 ) e F (c; 0 ).

Relazione tra a, b, e c (a > b) : c² =a²−b²oppure c= a² −b²

Eccentricità: ₂

2 2

2

1 a b a

b a a

e= c = − = −

Equazione esplicite: a² x² a

y=±b −

Campo di esistenza delle (funzioni) equazioni esplicite: −a≤x≤a Codominio delle (funzioni) equazioni esplicite: −b≤y≤b

Iperbole

Equazione in forma canonica ₂

1

2 2

2

− =

b y a x

Coordinate dei vertici: A’(-a; 0 ), A ( a; 0).

Coordinate dei fuochi: F’(-c; 0 ) e F (c; 0 ).

Relazione tra a, b, e c:

c

²

= a

²

+ b

^2oppure

c = a

²

+ b

²

Eccentricità: ₂

2 2

2

1 a b a

b a a

e= c = + = +

Equazione esplicite:

x

²

a

²

a

y = ± b −

Campo di esistenza delle (funzioni) equazioni esplicite:

x ≤ − a U x ≥ a

Codominio delle (funzioni) equazioni esplicite:

R

Circonferenza

equazione a partire dal centro

C ( x

0

; y

0

)

e dal raggio r:

( ) (

0

)

^{2 2}

2

0 y y r

x

x− + − =

equazione canonica: x²+y²+ax+by+c=0 centro a partire dall’equazione canonica:

( )

2

; _{0 0} 2 ₀

0

y b a e x con y x

C =− =−

raggio a partire dall’equazione canonica:

c y x c b a

r = + −



 



 + −

= 0²

2 0 2

2 4

2 1

Casi particolari:

a = 0
^x2+y2+by+c=0
centro sull’asse y b = 0
^x2+y2+ax+c=0
centro sull’asse x

c = 0
^{x2+y2+ax+by=0}circonferenza passante per l’origine a = b = 0
^{x2+ y2+c=0}
centro nell’origine

a = c = 0
x²+ y² +by=0
centro sull’asse y, circ. passante per l’origine b = c = 0
x²+ y² +ax=0
centro sull’asse x, circ. passante per l’origine

Goniometria

Definizione di radiante:

A O

P A R L

RAD

) )

= α =

Conversione Angoli (DMS) – Radianti:

da gradi a rad.:

α α

·

π

180°

= °

RAD da rad. a gradi:

° = · 180 ° π

α α

^RAD

α R

L

Lunghezza dell’arco di circonferenza: L=

α

_RAD·R Circonferenza goniometrica:

x

²

+ y

²

= 1

I identità fondamentale: cosα²+sinα² =1 II identità fondamentale:

α α α

cos tg = sin

Cotangente:

α α α

sin

=cos cotg

Segni delle funzioni goniometriche nei 4 quadranti

Quadrante cos ( α α α α ) sin ( α α α α ) tg ( α α α α ) cotg ( α α α α )

I + + + +

II - + - -

III - - + +

IV + - - -

Periodicità delle funzioni goniometriche:

( α ³⁶⁰ ) ^cos α

cos + ° =

;

^sen ( α + ³⁶⁰ ° ) = ^sen α

( α ¹⁸⁰ ) ^tg α

tg + ° =

;

^cotg ( α + ¹⁸⁰ ° ) = ^cotg α

Dominio delle funzioni goniometriche:

Dominio(coseno) =

R

oppure ∀ α ∈

R

Dominio(seno) =

R

oppure ∀ α ∈

R

Dominio(tangente) =

R ⁻ { ^{90 ° + k 180 ° , con k ∈ Z} }

Dominio(cotangente) =

R ⁻ { ^{k 180 ° , con k ∈ Z} }

Codominio delle funzioni goniometriche:

Codominio(coseno) =

[ ^{- 1; + 1} ]

Codominio(seno) =

[ ^{- 1; + 1} ]

Codominio(tangente) =

R.

Codominio(cotangente) =

R.

Valori delle funzioni goniometriche nei principali angoli

ang. α (°)α (°)α (°)α (°) 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

ang. α (α (α (α (rad)))) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2 π α

cos 1 3/2 2/2 1/2 0 -1 0 1

α

sin 0 1/2 2/2 3/2 1 0 -1 0

α

tg 0

3 3 3

1 = 1 3 ∞ 0 ∞ 0

α

cotg ∞ 3 1

3 3 3

1 = 0 ∞ 0 ∞

Espressione di due delle funzioni goniometriche quando ne è nota una terza

A partire dal coseno:

α α ^{1 cos}

²

sin = ± −

α α α

α α

cos cos 1 cos

tg sin

− 2

= ±

=

A partire dal seno:

α α ^{1 sin2}

cos = ± −

α α α

α α

sen

2

1 sen cos

tg sen

−

= ±

=

A partire dalla tangente:

α α α

tan2

1 sen tg

+

= ±

α α

tg2

1 cos 1

+

= ±

Angoli Associati

angoli opposti: α; α; α; α; -αααα

cos(-α) = cos(α) sin(-α) = - sin α tg(-α) = - tg α cotg(-α) = - cotg α

angoli esplementari: α; α; α; α; 360°-αααα cos(360° - α) = cos α sin(360° - α) = - sin α tg(360°- α) = - tg α cotg(360°-α) = - cotg α

cos(2π - α) = cos α sin(2π - α) = - sin α tg(2π - α) = - tg α cotg(2π-α) = - cotg α angoli supplementari: α; α; α; α; 180°-αααα

cos(180° - α) = - cos α sin(180° - α) = sin α tg(180° - α) = - tg α cotg(180° - α) = - cotg α

cos(π - α) = - cos α sin(π - α) = sin α tg(π - α) = - tg α cotg(π - α) = - cotg α angoli complementari: α; α; α; 90°-α; αααα

sin(90° - α) = cos α cos(90° - α) = sin α tg(90° - α) = cotg α cotg(90° - α) = tg α

sin(π/2 - α) = cos α cos(π/2 - α) = sin α tg(π/2 - α) = cotg α cotg(π/2 - α) = tg α angoli che differiscono di 90°: α; α; α; α; 90°+αααα

cos(90° + α) = - sin α sin(90° + α) = cos α tg(90° + α) = - cotg α cotg(90° + α) = - tg α

cos(π/2 + α) = - sin α sin(π/2 + α) = cos α tg(π/2 + α) = - cotg α cotg(π/2 + α) = - tg α angoli che differiscono di 180°: α; α; α; α; 180°+αααα

cos(180° + α) = - cos α sin(180° + α) = - sin α tg(180° + α) = tg α cotg(180° + α) = cotg α

cos(π + α) = - cos α sin(π + α) = - sin α tg(π + α) = tg α cotg(π + α) = cotg α

Formule di addizione

( ^{α β} ) ^{cos α cos β sin α sin β}

cos + = ⋅ − ⋅

( α β ) ^sin α ^cos β ^cos α ^sin β

sin + = ⋅ + ⋅

( α β ) ^α _α ^β _β

tan tan

1

tan tan tan

⋅

−

= +

+

Formule di sottrazione

( α β ) ^cos α ^cos β ^sin α ^sin β

cos − = ⋅ + ⋅

( α β ) ^sin α ^cos β ^cos α ^sin β

sin − = ⋅ − ⋅

( ^{α β} ) ^α _α ^β _β

tan tan

1

tan tan tan

⋅ +

= −

−

Formule di duplicazione

α α

α α

α ^cos

²

^sin

²

^{2 cos}

²

^{1 1 2 sin}

²

2

cos = − = − = −

α α

α

2 sin cos 2

sin = ⋅ ⋅ ^;

α α α₂

tan 1

tan 2 2

tan = −

Formule di bisezione

2

cos 1

cos

α

2 =± +

α

;

2 cos 1

sin α 2 = ± − α

;

α α α

cos 1

cos 1 tan 2

+

± −

=

Equazioni goniometriche elementari

Equazioni in coseno

cos x = a

 



∈

° +

−

=

∈

° +

=

Z k k

x

Z k k

x

360

· 360

·

2 1

α α

Equazioni in seno

sin x = b

 



∈

° +

−

°

=

∈

° +

=

Z k k

x

Z k k

x

360

· 180

360

·

2 1

β β

Equazioni in tangente

tan x = c Z

k k

x = γ + · 180 ° ∈

Trigonometria

Risoluzione dei triangoli rettangoli Teorema di Pitagora:

2 2 2

2 2 2

; b i a

b i a

b a i

−

=

−

=

+

=

formule dirette formule inverse - 1 formule inverse - 2

α

·cos i

b =

^cosα =^{b /i} i=b/cosα

α sen

· i

a =

^senα =^a/i i=a/senα

α tg

· b

a =

^tgα =^a/b b=a/tgα

Risoluzione dei triangoli generici Teorema dei Seni

c b

a

γ β

α

^{sin sin}

sin = =

Il teorema dei seni può essere utilizzato per la risoluzione dei triangoli generici quando sono noti:

1) 1 lato e 2 angoli;

2) 2 lati e l’angolo non compreso fra essi.

Teorema di Carnot o del Coseno

α

·cos

2

2

2

2

b c bc

a = + −

β

·cos

2

2

2

2

a c ac

b = + −

γ

·cos

2

2

2

2

a b ab

c = + −

Il teorema di Carnot può essere utilizzato per la risoluzione dei triangoli generici quando sono noti:

1) 2 lati e l’angolo compreso fra essi.

2) 3 lati.

b i a α

β

b

a

α β

c C

A B

γ

Schema operativo per la risoluzione dei triangoli rettangoli

dati noti a b i α β

Prob. 1 ipotenusa i

angolo α

a = i · sen α ^b = ^{i · cos} α

ⁱ

α β = 90 ° − α

Prob. 2 cateto a

angolo opposto α

a

α tg b = a

α sen

i = a α β = 90 ° − α

Prob. 3 cateto b

angolo adiacente α

^a = ^{b · tg} α b

α cos

i = b α β = 90 ° − α

Prob. 4 cateto a

ipotenusa i

a b = i

²

− a

^{2 i}

i sen

^-1

a

α = β = 90 ° − α

Prob. 5 cateto b

ipotenusa i

a = i

²

− b

²

b

ⁱ

i sen

^-1

a

α = β = 90 ° − α

Prob. 6 cateto a

cateto b

a b i = a

²

+ b

²

b tg

^-1

a

α = β = 90 ° − α

Schema operativo per la risoluzione dei triangoli generici

Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4

dati

noti

1 lato c e 2 angoli adiacenti α ^e β

2 lati a e b e l’angolo non compreso α

2 lati a e b e l’angolo

compreso γ 3 lati a, b e c

a

^α_γ

sin

·sin c

a=

a a a

b γ

β

sin

·sin c

b=

b b b

c c

αγ sin

·sin a

c=

^c = ^a

²

+ ^b

²

− ^{2 ab cos} γ c

α α α

β =180°−

(

α+γ

)

...

cos 2

2 2 2

=

−

= +

α

α

bc

a c b

β ^β

...

sin sin

=

⇒

=

β

α β

a

b

...

sin sin

=

= β

γ β c

b

...

cos 2

2 2 2

=

−

= + β

β ac

b c a

γ ^γ

^=180°−

^α

⁻

^{β γ}

^=180°−

^α

⁻

^β γ γ

=180°−

α

−

β