Geometria Analitica Distanza tra due punti nel piano cartesiano

Geometria Analitica

Distanza tra due punti nel piano cartesiano  2  2 1²

1 2 2

1P x x y y

P    

Punto medio di due punti nel piano cartesiano

 



 



  

 ; 2

; x¹ 2x² y¹ y² y

x

M _{M M}

Area di un triangolo nel piano cartesiano a partire dalle coordinate dei suoi punti A













1 1 1 2

1

3 3

2 2

1 1

y x

y x

y x A

Geometria Analitica La retta

Equazione della retta in forma esplicita: ^ymxq Equazione della retta in forma implicita: axbxc0 Equazione della retta verticale: xh

Equazione della retta orizzontale: yq

Equazione dell’asse delle ordinate (asse y): x0 Equazione dell’asse delle ascisse (asse x): ^y0

Equazione della generica retta passante per l’origine: ymx

Equazione della retta bisettrice del I-III quadrante: y oppure x ^{x y0} Equazione della retta bisettrice del II-IV quadr.: yx oppure^{x y0} Rette parallele ^ymxq, ^ym'xq': ^mm'

Rette perpendicolari ^ymxq, ^ym'xq':

' 1 mm

Equazione del fascio proprio di rette passanti per P0 è: yy₀ m·





Equazione della retta passante per due punti ^P₁









1 2

1 1

2 1

x x

x x y y

y y



 





distanza di un punto da una retta

 

2 0 0

1 m q mx d y





  ⁰ ₂ ⁰ ₂ b a

c by d ax





 

Parabola (asse verticale)

Equazione in forma canonica ^{yax2bxc} Concavità:

Se a > 0 concavità rivolta verso l’alto



Se a < 0 concavità rivolta verso il basso





 



 

 a a

V b

; 4 2

Coordinate del fuoco: ^



 



   a a F b

4

; 1 2

Equazione della retta direttrice: ^{y 1}₄^_a^

Coordinate del punto d’intersezione con l’asse y: I_y0;c Coordinate dei punti d’intersezione con l’asse x:











  











  

0 2 ;

0

2 ; ²

1 a

I b a

I_x b _x

Casi particolari:

b = 0  ^yax2c  l’asse della parabola coincide con l’asse y c = 0  ^yax2bx parabola passante per l’origine

b = c = 0 ^yax2 parabola passante per l’origine e con asse l’asse y

Ellisse

Equazione in forma canonica ₂²  ₂² 1 b y a x

Coordinate dei vertici: A’(-a; 0 ), A ( a; 0), B’( 0; -b), B ( 0; b).

Coordinate dei fuochi: F’(-c; 0 ) e F (c; 0 ).

Relazione tra a, b, e c (a > b) : c²a²b²oppure c a² b²

Eccentricità: ^{2 2} 1 ₂²

a b a

b a a

e c   

Equazione esplicite: ^y_a^{b a2x2}

Campo di esistenza delle (funzioni) equazioni esplicite: axa Codominio delle (funzioni) equazioni esplicite: ^{b yb}

Iperbole

Equazione in forma canonica ₂ 1

2 2

2  

b y a x

Coordinate dei vertici: A’(-a; 0 ), A ( a; 0).

Coordinate dei fuochi: F’(-c; 0 ) e F (c; 0 ).

Relazione tra a, b, e c: c² a²b²oppure c a²b²

Eccentricità: ^{2 2} 1 ²₂

a b a

b a a

e c    

Equazione esplicite: ^{x2 a2} a

yb 

Campo di esistenza delle (funzioni) equazioni esplicite: ^xa  ^xa

Codominio delle (funzioni) equazioni esplicite:

R

Circonferenza

equazione a partire dal centro C







 



equazione canonica: ^{x2y2axbyc0}

centro a partire dall’equazione canonica:

 

raggio a partire dall’equazione canonica: ^{r a b c x y c}



 



  

 ^{2 2} 4 ₀² ₀²

2 1 Casi particolari:

a = 0  ^{x2y2byc0}  centro sull’asse y b = 0  ^{x2y2axc0}  centro sull’asse x

c = 0 ^{x2y2axby0}circonferenza passante per l’origine a = b = 0  ^{x2y2c0}  centro nell’origine

a = c = 0  ^{x2y2by0} centro sull’asse y, circ. passante per l’origine b = c = 0  ^{x2y2ax0}centro sull’asse x, circ. passante per l’origine

Goniometria

Definizione di radiante:

A O

P A R L

RAD



 

 

Conversione Angoli (DMS) – Radianti:

da gradi a rad.: ^{ RAD} _180^{ ·} da rad. a gradi:





 ·180



 ^RAD

Lunghezza dell’arco di circonferenza: L_RAD·R Circonferenza goniometrica: ^{x2 y2 1}

I identità fondamentale: cos²sin² 1 II identità fondamentale: ^{ }_

cos tg  sin Cotangente:  _^

sin

 cos cotg

 R

L

Quadrante cos ( ) sin ( ) tg ( ) cotg ( )

I + + + +

II - + - -

III - - + +

IV + - - -

Periodicità delle funzioni goniometriche:

 360  cos

cos    ; sen360sen

 180  tg

tg    ; cotg180cotg Dominio delle funzioni goniometriche:

Dominio(coseno) =

R

R

R

R

Dominio(tangente) =

R

Dominio(cotangente) =

R

Codominio delle funzioni goniometriche:

Codominio(coseno) =









Codominio(tangente) =

R.

R.

Valori delle funzioni goniometriche nei principali angoli

ang.  0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

ang. rad        2



cos



sin 0 1/2 2/2 3/2 1 0 -1 0



tg 0

3 3

1 3 1 3 ∞ 0 ∞ 0



cotg ∞ 3 1

3 3

1 3 0 ∞ 0 ∞

Espressione di due delle funzioni goniometriche quando ne è nota una terza

A partire dal coseno:



 1 cos²

sin  







 

cos cos 1 cos

tg sin

 2

 



A partire dal seno:



 1 sin²

cos  







 

sen2

1 sen cos

tg sen







A partire dalla tangente:



 

tan2

1 sen tg



 ^ 1 tg2_

cos 1





Angoli Associati

angoli opposti:  -

cos(-α) = cos(α) sin(-α) = - sin α tg(-α) = - tg α

angoli esplementari:  360°-

cos(360° - α) = cos α sin(360° - α) = - sin α tg(360°- α) = - tg α cotg(360°-α) = - cotg α

cos(2 - α) = cos α sin(2 - α) = - sin α tg(2- α) = - tg α cotg(2-α) = - cotg α angoli supplementari:  180°-

cos(180° - α) = - cos α sin(180° - α) = sin α tg(180° - α) = - tg α cotg( - α) = - cotg α

cos( - α) = - cos α sin( - α) = sin α tg( - α) = - tg α cotg( - α) = - cotg α angoli complementari:  90°-

sin(90° - α) = cos α cos(90° - α) = sin α tg(90° - α) = cotg α cotg(90° - α) = tg α

sin(/2 - α) = cos α cos(/2 - α) = sin α tg(/2 - α) = cotg α cotg(/2 - α) = tg α

ngolichedifferisconodi9:9

cos(90° + α) = - sin α sin(90° + α) = cos α tg(90° + α) = - cotg α cotg(90° + α) = - tg α

cos(/2 + α) = - sin α sin(/2 + α) = cos α tg(/2 + α) = - cotg α cotg(/2 + α) = - tg α angoli che differiscono di 180°:  180°+

cos( + α) = - cos α sin( + α) = - sin α tg( + α) = tg α cotg( + α) = cotg α

cos( + α) = - cos α sin( + α) = - sin α tg( + α) = tg α cotg( + α) = cotg α

Formule di addizione

  cos cos sin sin

cos     

  sin cos cos sin

sin     

 







 

 ^{tan tan}

tan  

 



Formule di sottrazione

  cos cos sin sin

cos     

  sin cos cos sin

sin     

 







 

 1 tan tan

tan tan tan





 



Formule di duplicazione









 cos² sin² 2cos² 1 1 2sin² 2

cos      





 2 sin cos 2

sin    ;



 ₂

tan 1

tan 2 2

tan  

Formule di bisezione

2 cos 1

cos2    ;

2 cos 1

sin2    ;







cos 1

cos 1 tan 2



 



Equazioni goniometriche elementari

Equazioni in coseno

cos x  a























Z k k

x

Z k k

x

360

· 360

·

2 1





Equazioni in seno sinxb

























Z k k

x

Z k k

x

360

· 180

360

·

2 1





Equazioni in tangente tanx c

Z k k

xg  ·180 

Trigonometria

Risoluzione dei triangoli rettangoli Teorema di Pitagora:

2 2 2

2 2 2

; b i a b

i a

b a i













formule dirette formule inverse - 1 formule inverse - 2



·cos i

b cos b /i ib/cos

 sen

· i

a sen a/i ia/sen

 tg

· b

a tg a/b ba/tg

Risoluzione dei triangoli generici Teorema dei Seni

c b

a

g



 sin sin

sin  

Il teorema dei seni può essere utilizzato per la risoluzione dei triangoli generici quando sono noti:

1) 1 lato e 2 angoli;

2) 2 lati e l’angolo non compreso fra essi.

Teorema di Carnot o del Coseno



·cos

2 2

2

2 b c bc

a   



·cos

2 2

2

2 a c ac

b   

·cosg

2 2

2

2 a b ab

c   

Il teorema di Carnot può essere utilizzato per la risoluzione dei triangoli generici quando sono noti:

1) 2 lati e l’angolo compreso fra essi.

2) 3 lati.

b i a





b a

 

c C

A B

g

Schema operativo per la risoluzione dei triangoli rettangoli

dati noti a b i 

Prob. 1 ipotenusa i

angolo  ai·sen bi·cos i



Prob. 2 cateto a

angolo opposto 

a

 sen

i a



Prob. 3 cateto b

angolo adiacente  ^{ab·tg b} cos

i b



Prob. 4 cateto a

ipotenusa i

a

i sen^-1 a

    90

Prob. 5 cateto b

ipotenusa i ^{a i2b2 b} i

i sen^-1 a

    90

Prob. 6 cateto a

cateto b

a

b tg^-1 a

  ^{  90}

Schema operativo per la risoluzione dei triangoli generici

dati noti

Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4

1 lato c e 2 angoli adiacenti  e 

2 lati a e b e l’angolo non compreso 

2 lati a e b e l’angolo

compreso g 3 lati a, b e c

a

a a a

b

b b b

c c

c

  

...

cos 2

2 2 2





 



 bc

a c b

 

...

sin sin











 a b

...

sin sin







g

 c b

...

cos 2

2 2 2





 



 ac

b c a

g g  180 g  180  g g  180