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il raggio di convergenza `e: ρ = lim k→∞ k! (k + 1

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Academic year: 2021

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(1)

ESERCIZI SULLE SERIE IN CAMPO COMPLESSO

Esercizio N.1

Si determini il raggio di convergenza della serie 1

1 − z =

∞

X

k=0

zk

• Soluzione

Poich`e ak = 1, il raggio di convergenza `e:

ρ = lim

k→∞

1 1

= 1 .

Esercizio N.2

Si determini il raggio di convergenza della serie ez =

∞

X

k=0

zk k!

• Soluzione

Dal fatto che ak= 1/k!, segue che il suo raggio di convergenza `e:

ρ = lim

k→∞

(k + 1)!

k! = ∞ ,

cio`e la serie converge in tutto il piano complesso.

Esercizio N.3

Si determini il raggio di convergenza della serie

∞

X

k=0

k! zk

1

(2)

• Soluzione

Poich`e ak = k! , il raggio di convergenza `e:

ρ = lim

k→∞

k!

(k + 1)! = 0 ,

cio`e la serie diverge in tutto il piano complesso, origine esclusa. L’espressione della serie `e quindi priva di significato.

Esercizio N.4

Si determini il raggio di convergenza della serie sin z =

∞

X

k=0

(−1)k z2k+1 (2k + 1)!

• Soluzione

Esercizio N.5

Si determini il raggio di convergenza della serie cos z =

∞

X

k=0

(−1)k z2k (2k)!

• Soluzione

2

Riferimenti

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