H ++++ ++++ B A ++++ K ==⋅=+⋅=+⋅= 44164001610010030016100 VRRERV

ESERCIZIO E.1: Il circuito di figura 1 opera in regime stazionario. Si desidera determinare: a) la tensionedicomandoVOdelgeneratoredipendentedicorrentegmVO,comandatointensione; b) la resistenza equivalente Req “sentita” dal generatore indipendente di tensione ES; c) la potenza erogata dal generatore dipendente di corrente gmVO comandato dalla tensione VO. Sono noti:

EO=16V; ES=1V; R1=300KΩΩΩΩ; R2=100KΩΩ; RΩΩ 3=10ΩΩ; gΩΩ m =100mΩΩΩΩ⁻⁻⁻¹⁻. (Appello 7 settembre 2011)

Il generatore dipendente di corrente gmVO, comandato dalla tensione VO, impone la corrente I=gmVO nei bipoli del lato a cui appartiene cioè la resistenza R3 e il generatore indipendente di tensione ES. Dall’esame della figura 1a si evince che:

• mediante l’applicazione della legge del partitore resistivo di tensione si perviene alla scrittura di seguito esplicitata:

R V R

E

V

_AH

R

^O

4

4 16 400

16 100 100

300 16 100

2 1

2

⋅ = =

+ =

= ⋅ +

= ⋅

• L’applicazione della legge di Ohm generalizzata al bipolo equivalente alla serie della resistenza R3 e del generatore ideale di tensione ES, consente di relazionare nella forma:

S O

m

BH

g V R E

V =

₃

+

• L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia il cui verso di percorrenza viene indicato nella stessa figura 1a, consente di scrivere:

BH AH

O BH

AH

O

V V V V V

V − + = 0 ⇒ = −

, ovvero:

S O

m O

O

g V R E

R R

E

V R − −

+

= ⋅

₃

2 1

2

Svolgendoidovutipassaggialgebricisiottengonole scritture:

S O O

m

E

R R

E V R

R

g −

+

= ⋅

⋅ +

2 1 3

)

2

1 (

2 1

2 1 3 2

) ) (

1

( R R

E R R E

V R R

g

_{m O} ^{O S}

+

⋅ +

= −

⋅

+

, da cui si ha:

) 1

( ) (

) (

3 2

1

1 2

R g R

R

E R E

E V R

m S S

O

O

+ ⋅ +

−

= −

(1)

È opportuno osservare che l’espressione (1) può essere scritta, con maggiore e utile governo, nella forma seguente:

) 1

( ) (

) (

3 2

1

2 1 2

R g R

R

E R R E

V R

m S O

O

+ ⋅ +

+

= −

⇒

) 1

( ) 1

( )

(

_{1 2 3 3}

2

R g E R

g R

R

E V R

m S m

O

O

− +

+

⋅

= +

(2)

che mette in evidenza il contributo dato dalle singole sorgenti indipendenti esterne nella definizione della tensione di comando VO, così come stabilito dal Principio di sovrapposizione degli Effetti. La sostituzione nella (1) o parimenti nella (2) dei dati forniti dalla traccia consente di ottenere il valore della tensione VO richiesta; infatti si ha:

R V g R

R

E R E

E V R

m S S

O

O

1 , 5

8 12 2

400 300 1500

) 10 10 100 1 ( ) 300 100

(

) 1 300 ( ) 1 16 ( 100 )

1 )(

(

) (

3 3 2

1

1

2

= =

⋅

= −

⋅

⋅ +

⋅ +

⋅

−

−

= ⋅ +

+

−

= −

₋

Il calcolo della potenza erogata dal generatore dipendente di corrente gmVO pilotato dalla tensione VO richiede la conoscenza della tensione VBK; infatti, conspecificoriferimentoallaconvenzionedei generatori, si relaziona come segue: PgmVo =VBK·gmVO.

La tensione VBK resta definita dall’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia che coinvolge il generatore pilotato gmVO e la resistenza R1, tenuto conto, altresì, della legge del

gmVO

R2

R1

R3

V_O

+++

+

−−−

− E_S + ++

+

−

−−

− E_O

(figura – 1)

g_mV_O

R2

R1

R3

V_O

+ ++

+

−

−−

− E_S

+ ++

+

−

−−

− EO

(figura – 1a)

A B

H ++++

VAH VBH

K

V_KA

++++

VBK

++++

partitore resistivo di tensione relativo alla resistenza R1 stessa; infatti, atteso che:

R V R

E

V

_KA

R

^O

12

4 16 3 400

16 300 100

300 16 300

2 1

1

⋅ =

⋅ = + =

= ⋅

= +

, allora si relaziona come segue:

R V R

E V R

V V

V V

V V

V

_{O KA BK BK O KA BK O} ^O

13 , 5

) 0 (

2 1

1

= −

− +

−

=

− ⇒

−

=

= ⇒ +

+

Per completezza e con finalità didattica si determina l’espressione analitica della tensione VBK in funzione dei parametri dei bipoli caratterizzanti la rete; in tale contesto, utilizzando la relazione (2), si verificano le scritture che di seguito si esplicitano:

) (

) 1

( ) 1

( ) (

)

(

_{1 2}

1 3

3 2

1

2 2

1 1

R R

E R R

g E R

g R

R

E R R

R E V R

V

^O

m S m

O O

O

BK

− +

+ + +

⋅

− + + =

−

−

=

) 1

( ) 1

( ) (

) 1

(

3 3

2 1

3 1

2

R g E R

g R

R

R g E

R E V R

m S m

m O

O

BK

+ +

+

⋅ +

+

− +

=

; da cui, si conclude che:

S m

O m

m

BK

E

R E g

R g R

R

R g R

V R ⋅

+ + + ⋅

⋅ +

+

− +

= ( 1 )

1 )

1 ( ) (

) 1

(

3 3

2 1

3 1

2 ⇒

V

_BK

= − 13 , 5 V

Si è nuovamente messo in evidenza il contributo dato dalle singole sorgenti indipendenti esterne alla determinazione della tensione VBK ai morsetti del generatore comandato di corrente gmVO, così come stabilito dal Principio di sovrapposizione degli Effetti.

Una ulteriore verifica della correttezza del valore calcolato per la tensione VBK può essere attivata tramite l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia esterna destra della rete di figura 1a; si evidenzia infatti quanto segue:

O S O m BK O

BH BK

BH BK

O

V V V V E V g R V E E

E + − = 0 ^⇒ = − ^⇒ =

₃

+ −

V E

E V R g

V

_BK

=

_{m 3 O}

+

_S

−

_O

= ( 100 ⋅ 10

⁻³

⋅ 10 ⋅ 1 , 5 ) + 1 − 16 = 1 , 5 + 1 − 16 = − 13 , 5

Attesele verificheeleconsiderazionisopra riportate,sidetermina la potenza erogata dal generatore dipendente di corrente gmVO; come già precedentemente riportato, si ha:

W V

g V

P

_gmVO

=

_BK

⋅

_{m O}

= − 13 , 5 ⋅ 100 ⋅ 10

⁻³

⋅ 1 , 5 = − 1 , 35 ⋅ 1 , 5 = − 2 , 025

La circostanza specifica di ottenere un valore negativo della potenza, in relazione ai riferimenti coordinati in attinenza con la convenzione dei generatori, attesta che trattasi di potenza assorbita.

Per la determinazione della Resistenza equivalente “sentita” dal generatore indipendente di tensione ES, conviene fare ricorso alla figura 1b nella quale si è spento il generatore indipendente EO e si è inserito il generatore test di tensione VTX che eroga la corrente ITX. Tramite l’ispezione diretta si evince che lo spegnimento del generatoreEO,modellato,pertanto,conuncortocircuito, impone la condizione VKH =0V, alla quale corrisponde lo stato elettrico:

R A R R

R

I

_R

V

^KH

0

) (

0 )

(

_{1 2 1 2}

=

= +

= +

Sempre con l’ispezione diretta si desume che la corrente ITX del generatore test VTX è legata alla tensione di comando VO dalla seguente condizione:

I

_TX

= − g

_m

V

_O

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia il cui verso di percorrenza viene riportato nella stessa figura 1b, consente di relazionare come di seguito esplicitato:

O m O

TX TX

O TX

TX O

TX

V R I V V R I V V R g V

V + =

₃

⇒ = − +

₃

⇒ = − −

₃

Si ottiene, pertanto la seguente relazione:

V

_TX

= − ( 1 + g

_m

R

₃

) ⋅ V

_O g_mV_O

R2

R1

R3

V_O + ++

+

−

−−

− V_TX (figura – 1b)

A B

++++

I_TX

I_R

H

K

Il ricorso alla definizione costitutiva della Resistenza equivalente ai morsetti di una rete lineare permette di concretizzare la seguente relazione:

m m O

m

O m

V TX E TX

eq

g

R g V

g

V R g I

R V

O

) 1

( )

1

(

_{3 3}

0

= +

−

⋅ +

= −

=

=

Sostituendo i valori forniti dalla traccia si determina l’entità della Resistenza equivalente; infatti è:

Ω

=

⋅ + =

⋅ =

= +

⋅

⋅

⋅

= +

= +

_{− −}

−

−

−

20 10 10 2

1 1 10

) 10 10 ( 1 10

100

) 10 10 100 ( 1 ) 1

(

1 1

3 3 3

3 3

m m

eq

g

R R g

ESERCIZIO E.2: L’interruttore S è APERTO da lungo tempo e all’istante tO =0s si CHIUDE Si desidera determinare: a) l’espressione analitica della tensione vC(t) e delle correnti iC(t), iX(t) per −−−−500µµµµs<t<∞∞∞∞, indi tracciare i relativi grafici fra loro correlati; b) l’istante t* in cui si azzera la tensione vC(t) ai morsetti del condensatore; c) l’energia accumulata dal condensatore negli istanti tO =0s e t→→→→∞. Sono assegnati: E∞∞∞ _S =−−−3− V; IS =3A; rm =3ΩΩ;ΩΩ R1 =R2 =1ΩΩ; CΩΩ =250mF

Si desidera determinare, dapprima in forma analitica e successivamente in formagrafica la forma d’onda caratteristica della tensione e della corrente di un condensatore durante la fase del transitorio dovuto alle variazioni strutturali della rete di figura 2 in relazione alla commutazione da STATO APERTO a STATO CHIUSO dell’interruttore S.

La relazione costitutiva caratteristica della evoluzione temporale della tensione vC(t) ai morsetti di un condensatore, che si ricorda essere una funzione temporalmente continua atteso che trattasi di una variabile di stato, è esplicitata dalla scrittura seguente:

τ )

)]

(

( ) ( [ ) ( )

(

_{C C C O} ^{t tO}

C

t v v v t e

v = ∞ − ∞ − ⋅

^{− −}

e nel caso in cui l’istante tO di inizio transitorio corrisponda con l’istante tO =0 s si ottiene:

τ t C

C C

C

t v v v e

v ( ) = ( ∞ ) − [ ( ∞ ) − ( 0 )] ⋅

⁻

Pertanto, il transitorio è completamente determinato allorché sono conosciuti i tre parametri il cui significato fisico di interesse è di seguito esplicitato:

vC(∞∞∞∞): è la tensione ai morsetti del condensatore al termine del transitorio ottenuta considerando il condensatore stesso modellato dal bipolo circuito aperto;

vC(tO): è il valore della tensione ai morsetti del condensatore all’inizio del transitorio e definisce la cosiddetta condizione iniziale;

RTH: definisce la resistenza equivalente di Thevenin sentita dal condensatore durante l’evoluzione caratteristica del transitorio;

ττττ = CRTH: definisce la costante di tempo caratteristica della dinamica del transitorio relativo alla rete elettrica a cui il condensatore è connesso.

a) Sia –500µµµµs<t<0s. L’interruttore S si trova nello STATO di APERTO da lungo tempo, di certo è posto da un tempo maggiore del tempo di assestamento TA; pertanto, il condensatore C si trova a regime e quindi è modellato dal bipolo equivalente circuito aperto come è mostrato in figura 2a. Per ispezione diretta si evince quanto segue:

i

C

(0

⁻⁻⁻⁻

) = 0 A; i

X

(0

⁻⁻⁻⁻

) = I

S

= 3 A

L’applicazionedellaleggediKirchhoffdelle rmiX(t)

i_C(t) C

R1

i_X(t)

I

_S

(figura–2)

S

E

_S ^{+++ +}₋

−−−

ı + +++

R2

v_C(t)

r_mi_X(0^-) i_C(0^-) R1

iX(0^-)

I

S

(figura–2a)

S

E

_S ^{+++ +}

−

−−

−

ı + +++

R2

v_C(0^-)

++++

tensioni alla maglia avente verso di percorrenza antiorario, consente di relazionare come segue:

S m

X m

C X

X m

C

r i R i v r R i r R I

v ( 0

⁻

) − ( 0

⁻

) = −

₁

( 0

⁻

) ^⇒ ( 0

⁻

) = ( −

₁

) ⋅ ( 0

⁻

) = ( −

₁

) ⋅

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si determina il valore della tensione vC(0⁻⁻⁻⁻) che costituisce la condizione iniziale del transitorio che principierà con la chiusura dell’interruttore S. Si ottiene:

V I

R r

v

_C

( 0

⁻

) = (

_m

−

₁

) ⋅

_S

= ( 3 − 1 ) ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6

b) Sia t→→→→ ∞∞∞∞ . All’istante t = 0s l’interruttore S commuta e si porta nella posizione corrispondente allo STATO CHIUSO ed ivi permane indefinitamente. Considerando l’interruttore chiuso da lungo tempo, sicuramente da un tempo maggiore del tempo di assestamento TA, e parimenti attesa la stabilità del circuito di figura 2b, il condensatore C avrà conseguito una nuova condizione di regime e quindi modellabile col bipolo equivalente corto circuito così come viene mostrato nella citata figura 2b.

Per ispezione diretta si evince quanto segue:

i

_C

(∞ ∞ ∞) ∞ = 0 A

L’applicazione dellaleggedi Kirchhoff delle correnti al nodo αααα consente poi di relazionare quanto di seguito riportato:

) ( )

( )

( )

( ∞ +

₂

∞ =

_S

^⇒

₂

∞ =

_S

−

_X

∞

X

i I i I i

i

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia costituita dal generatore ideale di tensione ES, dal generatore dipendente di tensione rmiX(∞∞∞∞) pilotato dalla corrente iX(t) e dalle resistenze R1 e R2, consente di relazionare come segue:

) ( )

( ) (

) ( )

( )

( ∞ = −

₁

∞ +

_{2 2}

∞ ^⇒ = −

₁

⋅ ∞ +

_{2 2}

∞

− r i R i R i E r R i R i

E

_{S m X X S m X} ; ovvero:

S X

m S X

S X

m

S

r R i R I i E r R R i R I

E = ( −

₁

) ⋅ ( ∞ ) +

₂

[ − ( ∞ )] ^⇒ = ( −

₁

−

₂

) ⋅ ( ∞ ) +

₂

pertanto, consegue la scrittura seguente:

) ) (

( )

( ) (

2 1 2 2

1

2

r R R

I R i E

i R R r I R E

m

S S

X X

m S

S

− −

= −

∞

∞ ⇒

⋅

−

−

=

−

Usando i dati forniti dalla traccia si ha:

A

R R r

I R i E

m

S S

X

6

1 6 )

1 1 3 (

) 3 1 ( 3 ) ) (

(

2 1

2

− = −

− =

−

⋅

−

= −

−

−

= −

∞

La legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia centrale, percorsa nel senso antiorario, come mostrato in figura 2b, consente di relazionare come segue:

) (

) )(

) ( ( ) (

) ( )

( )

( )

(

2 1

2 2 1 1

1

r R R

I R E R i r

R r v

i R i

r v

m S m

X m

C X

X m

C

− −

−

= −

∞

⋅

−

=

⇒ ∞

∞

−

=

∞

−

∞

La sostituzione dei dati forniti dalla traccia e, volendo anche procedendo per via breve utilizzando il valore ottenuto di iX(∞∞∞∞), si ottiene il secondo parametro cercato vC(∞∞∞); si ha infatti: ∞

V i

R r

v

_C

( ∞ ) = (

_m

−

₁

) ⋅

_X

( ∞ ) = ( 3 − 1 ) ⋅ ( − 6 ) = − 12

c) Determinazione della resistenza equivalente RTH “sentita” dal condensatore C. Il circuito da esaminare è mostrato nella figura 2c in cui si è evidenziato, sia lo spegnimento dei generatori ideali indipendenti esterni annullando ES e IS, sia l’inserzione del generatore test VTX.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia centrale, caratterizzata dal verso di percorrenza antiorario, come indicato nella citata figura 2c, nonché l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza R2 consentono di relazionare come segue:

) ) (

( )

( ) (

) ( )

(

1 1

1

r R

t V i t

i R r V

t i R t

i r V

m TX X

X m

TX X

X m

TX

− = − ^⇒ = − ⋅ ^⇒ = −

2 2

2

2

i ( t ) i ( t ) V R R

V

_TX

= ^⇒ =

_TX

r_mi_X(∞∞∞∞) i_C(∞∞∞∞) R1

i_X(∞∞∞∞)

I

S

(figura2b – rete valida per t →→→ ∞→∞∞∞)

S

E

_S ^{+++ +}

−

−−

−

ı + +++

^R2

vC(∞∞∞) ∞

++++

i₂(∞∞∞∞)

α

α α

α

La legge di Kirchhoff delle correnti considerata al nodo ββββ consente di scrivere:

) ( ) ( )

( )

( t I i

₂

t I i

₂

t i t

i

_X

+

_TX

= ^⇒

_TX

= −

_X

Sostituendo le relazioni precedentemente ricavate a iX(t) e i2(t) si perviene alla scrittura di interesse:

TX m

m m

TX TX

TX

V

R r R

R R r R

r V R

I V  ⋅





 



−

−

= −

− −

= ( )

₂

(

₁

)

2 1 1

2

Consegue, pertanto, la relazione conclusiva:

TX m

m

TX

I

R R r

R r

V R ⋅

−

−

−

= ⋅

) (

) (

2 1

1 2

In ossequio alla definizione di resistenza equivalente di Thevenin si relaziona come segue:

) (

) 1 (

) (

) (

2 1

1 2

2 1

1 2

0

0

r R R

R r R I

R R r

I R r R I

R V

m m TX

m

TX m

A I

V TX E TX TH

S

S

− −

−

= ⋅

− ⋅

−

⋅

−

= ⋅

=

=

=

Sostituendo i dati forniti dalla traccia si ottiene il valore assunto dalla resistenza equivalente RTH:

Ω

=

− =

−

−

= ⋅

−

−

−

= ⋅ 2

1 2 ) 1 1 3 (

) 1 3 ( 1 ) (

) (

2 1

1 2

R R r

R r R R

m m TH

Nota la resistenza equivalente RTH sentita dal condensatore è immediato determinare la costante di tempo che caratterizza le prestazioni dinamiche del transitorio; infatti, ricorrendo alla relazione costitutiva che esprime la definizione di costante di tempo, si calcola quanto segue:

s ms

CR

_TH

= 250 ⋅ 10

³

⋅ 2 = 500 ⋅ 10

³

= 500 = 0 , 5

=

^{− −}

τ

La determinazione dei tre parametri vC(∞∞∞∞),vC(tO) e ττττ che definiscono in modo unico il transitorio consente di esprimere analiticamente le funzioni temporali attinenti le forme d’onda della tensione e della corrente ai morsetti del condensatore; si ottiene, infatti, essendo tO =0s quanto segue:

t t

t C

C C

C

t v v v e e e

v ( ) = ( ∞ ) − [ ( ∞ ) − ( 0 )] ⋅

^{−( −0)τ}

= − 12 − ( − 12 − 6 ) ⋅

^{− 0,5}

= − 12 + 18

⁻² [V]

t t

t t

TH C C

C

C

e e e e

R v v

dt t C dv

t

i

^{( 0) 0,5 2}

9

²

2 18 2

6 12 )

0 ( ) ( )

) (

(

^{− −}

− − ⋅

⁻

= − ⋅

⁻

= −

⁻

=

− ⋅

= ∞

⋅

=

^τ [A]

Si osservi che essendo:

( 0 ) lim ( ) lim ( 9

²

) 9 [ ]

0

0

i t e A

i

^t

C t

C

=

t

= −

⁻

= −

→

→ +

+

+ , si verifica che la corrente

iC(t) è una funzione temporalmente discontinua. Al fine di facilitare la costruzione dei grafici che vengono richiesti dalla traccia si conviene di riportare il prospetto riassuntivo seguente:

] [ 12 )

( ];

[ 6 ) 0 ( ) 0 ( ];

[ 18 12 )

( t e

²

V v v V v V

v

_C

= − +

^{− t}

_C ⁻

=

_C ⁺

=

_C

∞ = − ] [ 0 ) ( ];

[ 9 ) 0 ( ];

[ 0 ) 0 (

; ] [ 9 )

( t e

²

A i A i A i A

i

_C

= −

^{− t}

_C ⁻

=

_C ⁺

= −

_C

∞ =

Per quanto riguarda il calcolo della corrente iX(t) e della relativa forma d’onda è davvero utile evidenziare una caratteristica della rete in esame; infatti, come risulta dalla figura 2d (S chiuso) nonché dalla figura 2 (S aperto), qualunque sia la posizione dell’interruttore S la legge di Kirchhoff delle tensioni relativa alla maglia centrale consente di relazionare come di seguito riportato:

) ( )

( )

( t r i t R

₁

i t

v

_C

−

_{m X}

= −

_X

r_mi_X(t) I_TX R1

iX(t)

(figura2c – rete per il calcolo di RTH)

S

V_TX +++

+

−

−−

−

ı + +++

^R2

++++

i₂(t)

ββββ

rmiX(t)

i_C(t) C

R1

i_X(t)

I

_S

(figura–2d)

S

E

S +++ +

−

−−

−

ı + +++

R2

v_C(t)

++++

Per tanto, si verifica che qualunque sia lo stato dell’interruttore S la corrente iX(t) è determinata dalla relazione seguente:

) ( ) (

)

( t r R

₁

i t

v

_C

=

_m

− ⋅

_X , dalla quale è poi immediato ottenere:

i

_X

( t ) = v

_C

( t ) ( r

_m

− R

₁

)

La proporzionalità fra la corrente iX(t) e la tensione vC(t) consente di concludere che anche la iX(t) è una funzione temporalmente continua. Si conclude, quindi che:

] [ 9

2 6 18 12 )

1 3 (

18 12 )

(

) ) (

(

^{2 2 2}

1

A e e

e R

r t t v

i

^t

t t

m C X

− −

−

⋅ +

−

⋅ = +

= −

−

⋅ +

= −

= −

] [ 6 ) ( ];

[ 3 ) 0 ( ];

[ 3 ) 0 (

; ] [ 9 6 )

( t e

²

A i A i A i A

i

_X

= − +

^{− t}

_X ⁻

=

_X ⁺

=

_X

∞ = −

Nella figura 2e sono riportati i grafici degli andamenti temporali caratterizzanti il transitorio della tensione vC(t), espressa in volt, e rispettivamente delle correnti iX(t) e iC(t) espresse in ampere. Il tempo t è espresso in secondi.

(figura 2e – andamenti temporali caratteristici del transitorio)

La determinazione dell’istante t* nel quale si annulla la tensione ai morsetti del condensatore è definita, analiticamente, dalla posizione seguente:

) 0 ( ) (

) )] (

0 ( ) ( [ ) ( 0 0

*)

(

^{* *}

C C

t C t

C C

C

C

v v

e v e

v v

v t

v ∞ −

= ∞

⋅ ⇒

−

∞

−

∞

=

= ⇒

^{− τ − τ}

Dalla quale consegue la scrittura di seguito esplicitata:

 



 



∞

−

= ∞

 ⇒





 



∞

−

= ∞

∞ ⇒

−

= ∞

) (

) 0 ( ) ln (

) * (

) 0 ( ) ln (

* )

(

) 0 ( )

*

(

C C C

C C C

C C t C

v v t v

v v t v

v v

e v τ

τ

τ

Sostituendo i valori dei parametri noti, si perviene alla determinazione dell’istante t*; infatti, si ha:

] [ ms v

v t v

C C

C

202 , 73

2 ln 3 2 1 12 ln 18 2 1 12

6 ln 12

5 , ) 0

(

) 0 ( ) ln (

*  =



 



⋅ 

=

 

 



⋅ 

=

 

 





−

−

⋅ −

 =



 





∞

−

= τ ∞

Il calcolo dell’energia accumulata dal condensatore negli istanti t=0s e t→→→→∞∞∞∞ si ottiene mediante le relazioni seguenti:

] [ 5 , 2 4 36 9 4 1 2 6 1 10 2 250

)] 1 0 ( 2 [

0 1

0 s W( ) C v

^{2 3 2}

J

t = ⇒ = ⋅ ⋅

_C

= ⋅ ⋅

⁻

⋅ = ⋅ ⋅ = =

] [ 18 4 144

1 2 ) 1 12 ( 10 2 250

)] 1 ( 2 [

1

_{2 3 2}

J v

C )

W(

t → ∞ ⇒ ∞ = ⋅ ⋅

_C

∞ = ⋅ ⋅

⁻

⋅ − = ⋅ ⋅ =

ESERCIZIO E.3: Con i riferimenti coordinati delle tensioni e delle correnti, associati alle note convenzioni alle porte 1 e 2 del doppio bipolo di figura 3, si desidera determinare: a) i parametri della matrice Y relativa alla formulazione controllata in tensione; b) il parametro Z11 della duale matrice per la formulazione controllata in corrente. Successivamente, nell’ipotesi che siano dati R=2ΩΩ; gΩΩ m =2ΩΩΩΩ⁻⁻⁻⁻¹; C=3mF; L=1mH e che i due generatori ideali di tensione che in regime sinusoidale alimentano il doppio bipolo siano: v2(t)= 3 sin (10³·t) [V] e v1(t)=4·cos[10³·t−−−−(ππππ/2)]

[V], si calcoli la potenza attiva P e la potenza reattiva Q relative al generatore v1(t).

(Nota Bene: come modulo del fasore si assuma il valore di picco o ampiezza della sinusoide) La richiesta di determinare i parametri della matrice tipica della formulazione controllata in tensione, per il doppio bipolo di figura 3, implica che quest’ultimo sia alimentato alle porte da due generatori di tensione, atteso che le variabili dipendenti correnti I1 e I2

devono essere espresse in funzione delle due variabili indipendenti tensioni V1 e V2. Si perviene, così, alla giustificazione di quanto è riportato nella figura 3a che rappresenta la rete immagine valida nel dominio dei fasori.

Il modello del doppio bipolo equivalente a parametri ammettenza Y è definito dalle

seguenti relazioni costitutive:

DB_Y:

 



+

=

+

=

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

V Y V Y I

V Y V Y

I r r

r

r r

r

(3)

Tali relazioni definiscono anche in modo completo il significato fisico dei parametri ammettenza Y; infatti sono da considerarsi ovvieledefinizionicostitutiveseguenti che, tra l’altro, esprimono una particolare procedura per la determinazione dei singoli parametri Y, nota come metodo delle prove semplici.

V V V

V V

V V

V

V

Y I V

Y I V

Y I V

Y I

2 0 22 2 2 0

12 1 1 0

21 2 1 0

11 1

1 1

2

2= = = =

=

=

=

=

r r

r r

r r r

r r

r r

r

⇒





 



= 

22 21

12 11

Y Y

Y Y Y

Tuttavia, il procedimento risolutivo che si intende adottare, considerata la particolarità della rete da esaminare, è quello che afferisce all’ispezione diretta e che di seguito si desidera esplicitare.

Dall’analisi diretta del circuito si evidenzia con immediatezza quanto segue:

L j I V V

V C C j

j V I V

R

I

_R

V

_{C L}

ω ω ω

2 2 2 1

1

1

( );

) (

; 1

r r r

r r r r

r r

=

−

⋅

− =

=

=

gmV1

i

2

C

V

2

R L

i

1

V

1

(figura – 3)

g_mV₁ 1/(jωωωωC)

R jωωωL ω

I

1

(figura – 3a)

I

₂

++++

−−−−

V

2

V

1

++++

−−−−

IR

Σ Σ Σ Σ IC

IL

α α α α

L’applicazionedellaleggediKirchhoffdellecorrentialnodoααααconsentedirelazionarecomesegue:

2 1 1

1 2

1 1 1

1

( ) j C V j C V

R I V V

V C R j

I V I

I

I

_{R C}

r r r

r r

r r r r

r

r = + ⇒ = + ω ⋅ − ⇒ = + ω − ω

Svolgendo i necessari e dovuti passaggi algebrici si perviene alla scrittura seguente:

2 1

1

1 j C V j C V

I r R r r

ω ω  ⋅ −



 



 +

=

, dalla quale si ottiene: ₁

1

_{1 2}

V C j R V

CR

I r j r r

ω ω

−

⋅

 

 



 +

=

Il confronto con la prima scrittura attinente le relazioni (3) permette di concludere quanto segue:

C j R Y

CR

Y j ω ω

− + =

=

₁₂

11

1 ;

L’applicazionedellaleggediKirchhoffdellecorrential supernodoΣΣΣΣconsentedirelazionarecome di seguito riportato:

C m

L m

L

C

I I g V I I g V I

I r r r r r r r r

− +

⇒ = +

=

+

_{2 1 2 1}

da cui, sostituendo le espressioni relative alle correnti, si deduce la scrittura seguente:

2 1

2 2

1 2 1

2

) 1 (

)

( j C V

L V j

C j g I V

V C j V L g

j

I V r

_m

r r r r

_m

r r

r  ⋅





 

 +

+

⋅

−

=

− ⇒

− +

= ω

ω ω ω ω

Svolgendo i passaggi algebrici necessari si conclude con la relazione cercata che si riporta:

2 1

2

) 1

( V

L j

C j L V j

C j g

I r

_m

r r

 ⋅



 



 + ⋅

+

⋅

−

= ω

ω

ω ω

⇒ ₂

2 1

2

) 1

( V

L j V LC

C j g

I r

_m

r r

 ⋅





  +  −

⋅

−

= ω

ω ω

Il confronto con la seconda scrittura attinente le relazioni (3) permette di concludere quanto segue:

 



 

=  −

−

= j L

Y LC C

j g

Y

_m

ω

ω

₂₂

ω

²

21

; 1

Atteso quanto sopra determinato, il modello afferente le relazioni (3) ammette la seguente scrittura in forma matriciale:

 

 



• 

 

 



= 

 

 





2 1 22

21 12 11 2

1

V V Y

Y Y Y I

I r

r r

r

⇒





 



• 



 









 







− − + −

 =



 





2 2 1

2

1

1

1

V V

L j C LC j g

C R j

CR j

I I

m

r r r

r

ω ω ω

ω ω

(3a)

L’utilizzo deidatifornitidalla traccia,essendoωωωω=10³rad/s,consente d’effettuarei seguenticalcoli:

3 10 3 10 10 1

10 1 10 3

10 3

10

³

⋅ ⋅

³

= Ω

¹

=

³

⋅ ⋅

³

= Ω =

⁶

⋅

³

⋅ ⋅

³

=

=

^{− −}

L

⁻

LC

^{− −}

C ; ω ; ω

²

ω

In tale contesto, le relazioni (3a) assumono la forma:

 

 



• 

 





 





+

− + −

 =



 





2 1 2

1

2 3

2 2 3

6 1

V V j j

j j I

I r

r r

r

(3b) ⇒

det( Y ) = j ( 1 + 6 j ) + 3 j ⋅ ( 2 − 3 j ) = 3 + 7 j ≠ 0

La determinazione dei fasori rappresentativi dei generatori ideali di tensione operanti in regime sinusoidale è realizzata ricordando le posizioni espresse dalle scritture di seguito riportate:

] 4

Re[

] 4

Re[

)]

2 ( 10 cos[

4 )

(

^{3 (103 2) 2 103}

1 j t j j t

e e

e t

t

v = − π = ⋅

^−π

= ⋅

^{− π}

⋅

] 3

Re[

] 3

Re[

)]

2 ( 10 cos[

3 ) 10 sin(

3 )

(

^{3 3 (103 2) 2 103}

2 j t j j t

e e

e t

t t

v = = − π = ⋅

^−π

= ⋅

^{− π}

⋅

Pertanto, si conclude con quanto segue:

V r

₁

= 4 ⋅ e

^{−jπ 2}

= − 4 j V r

₂

= 3 ⋅ e

^{−jπ 2}

= − 3 j

;