∀−≤≤ tEvtEVvtV :()() ⇒ −≤≤ 2520 D D OFF ESERCIZIO E1:

ESERCIZIO E1:

I diodiD₁e D₂ sono ideali. Il segnale d’ingresso V_I varia linearmente nello intervallo V_I ∈∈∈∈[−−−−40, 40]V. Nell’ipotesi che:E₁=20V, E₂=25V; R₁=R₃=15KΩΩΩ; RΩ 2=5KΩΩΩΩ;

R₄=150KΩΩΩΩ; a) Si assuma l’interruttore S1 aperto; si determinino analiticamente e si traccino graficamente le relazioni: V_O = ƒƒƒƒ1(V_I) (5 punti), I_I = ƒƒƒƒ2(V_I) (4punti); b) Si assuma l’interruttore S1 chiuso; si determini analiticamente e si tracci graficamente la relazione I1= ƒƒƒƒ3(VI) (1punto).

Si tratta di un circuito con due diodi D₁ e D₂, supposti ideali, alimentato da un segnale in tensione che varia linearmente da meno quaranta volt a più quaranta volt.

Per i due diodi si richiede l’utilizzo del modello lineare a tratti di prima specie con i due tratti di caratteristica fra di loro perpendicolari ed intersecantesi nell’origine degli assi coordinati V_AK, I_D. In sostanza è da considera nulla sia la tensione di soglia Vγγγγ, sia la tensione VDON di conduzione dei diodi D₁ e D₂. Una strategia di analisi iniziale del circuito è quella di ritenere, contemporaneamente, i due diodi interdetti e verificare se la rete circuitale che cosi ne deriva è elettricamente compatibile e coerente con i valori che nel tempo assume il segnale di ingresso.

a) S₁ aperto. L’ipotesi relativa ai diodi D₁ e D₂ entrambi interdetti porta a verificare, per ispezione diretta, la validità elettrica o meno della rete di seguito riportata come figura 1a, in cui i due diodi sono entrambi modellati con due interruttori aperti e si considera inizialmente VIN(t)=0V.

In tali ipotesi, per ispezione diretta della rete, si evince che non sussiste alcuna maglia chiusa e, di conseguenza, sono nulle le correnti in ciascun lato della rete; pertanto, se si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia contenente E₁, R₁, R₃ e V_I si ottiene: V_A1K1 −−−− VI + E₁ = 0, da cui risulta: V_A1K1 =(V_I −−−− E₁), ciò conferma l’ipotesi iniziale di considerare il diodo D₁ nello stato d’interdizione per ogni valore del segnale d’ingresso VI per cui risulti (V_I −−−−E₁)<0, cioè:

VI<E1=20V. Pertanto, si conclude che per gli istanti di tempo per i quali risulta V_I(t)<20V il diodo D₁ persiste nello stato di interdizione, cioè è OFF. Se si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia contenente E₂, R₂, R₃ e V_I si ottiene: V_A2K2 + V_I + E₂ = 0, da cui risulta: V_A2K2 = −−−−(VI+ E₂), e questo conferma l’ipotesi iniziale di considerare il diodo D2 nello stato d’interdizione per ogni valore del segnale di ingresso V_I per cui risulti(V_I +E₂)>0, cioè:

VI> −(E2=25V). Pertanto, si conclude che per gli istanti di tempo per i quali è VI(t)>−25V il diodo D2 persiste nello stato di interdizione, cioè deve considerarsi OFF.

Si osservi, inoltre, che le due condizioni trovate impongono che i due diodi D1, D2 NON possono assolutamente condurre contemporaneamente.

∀ t : − E

₂

≤ v t

_I

( ) ≤ E

₁

⇒ − 25 V ≤ v t

_I

( ) ≤ 20 V

⇒⇒⇒ ⇒

D

₁ e

D

₂ sono

OFF

++++

−−−−

R₂ R1

D₁ D2

E₁

V_O(t) V_I(t)

(figura - 1)

R4

R₃ I_I

−−−−

E₂ ++++

S₁

++++

−−−−

R2

R₁ A₁

A₂

E₁

V_O(t) V_I(t)=0

(figura - 1a)

R4

R3

I_I

−−−−

E₂ ++++

S1

++++

−−−−

K₁ K₂

++++−−−−

R₂ R₁

A1

A₂

E1

VO(t) V_I(t)

(figura - 1b)

R₄ R₃

I_I

−−−−++++

E2

S₁ ++++−−−−

K₁ K₂

Si ottengono, pertanto le posizioni seguenti:

v

O

(t) = v

I

(t)

;

I

1

(t) = 0 A

. Inoltre si precisa che:

per

v

I

(t)

=

20 V ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ v

O

(t)

=

20V

, mentreper

v

I

(t)

=

−25 V ⇒ ⇒ ⇒ v ⇒

O

(t)

=

−−−−25V

Per valori di tensioni d’ingresso v_I(t) tali che v_I(t) > 20 V il diodo D₁ passa nello stato di conduzione. La conduzione di D1 implica l’analisi della rete di figura 1b, in cui il diodo stesso viene modellato col bipolo corto circuito, mentre D2 deve considerato nello stato di interdizione e S1 è sempre aperto. Si tratta di una rete binodale per cui la tensione di uscita v_O(t) si determina applicando il principio di Millman. Si perviene così alla scrittura che di seguito si esplicita:

v t v t R E R

R R

v t R E R R R R R R R

v t R E R R R

o

( ) [

I

( ) ] ( )

I I

( ) ( )

[ ( ) ] ( )

( ) ( )

( )

( )

= +

+ = +

+ = +

+

3 1 1

3 1

1 1 3 1 3

1 3 1 3

1 1 3

1 3

1 1

da cui si deduce la relazione seguente:

v t R

R R v t E R R R

o

( ) =

I

( )

+ ⋅ +

+

1

1 3

1 3

1 3

Sostituendo i valori proposti dalla traccia si ottiene:

v t v t

v t v t V

o I

I I

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

= ⋅

+ + ⋅

+ = ⋅ + = ⋅ +

15 15 15

15 20 15 15

1 2

20 2

1

2 10

Si osserva che per vI(t)=20V si ottiene di nuovo vO(t)=20V il che verifica che la transcaratteristica v_O=ƒƒƒƒ1(V_I) è una funzione continua; inoltre, resta determinata la pendenza definita da tagαααα=(1/2).

Conseguentemente la corrente I₁ erogata dal generatore V_I resta determinata dalla relazione:

I t v t v t

R R v t v t

R v t

I o

I I I

1

3 3 3

1 1

2 10 1 1

2 10

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −

= ⋅ −  ⋅ +

  

 



  

  = ⋅  ⋅ −







Sostituendo i valori proposti dalla traccia si ottiene:

I t v t v t

v t mA

I I

I

1 3

1

3

15 10 2 10

30

10

15 10 1

30

2

( ) ( ) ( ) 3

( ) [ ]

= ⋅ ⋅  −





 =  −

  

  ⋅

⁻

= ⋅ −

Si osserva che per vI(t)=20V si ottiene di nuovo I1(t)=0A il che verifica che la transcaratteristica I1=ƒƒƒƒ2(VI) è una funzione continua; inoltre, resta determinata la pendenza definita da tagδδδδ=(1/30).

La rete di figura 1b conserva la propria validità per tutti i valori del segnale di ingresso V_I(t) che appartengono all’intervallo [20, 40]V. Riassumendo si asserisce quanto segue:

∀ t : ( E

₁

= 20 V ) ≤ v t

_I

( ) ≤ 40 V

⇒

D

1 è

ON

mentre

D

2 è

OFF

da cui segue che:

v t

_o

( ) = ⋅ 1 v t

_I

( ) + [ ] ; V I t ( ) = ⋅ v t

_I

( ) − [ mA ]

2 10 1

30

2

1

3

Non resta, altro che considerare le variazioni del segnale d’ingresso v_I(t) appartenenti allo intervallo [−−−−40, −−−−25] V. Dall’analisi finora condotta, si può facilmente concludere che:

∀ t : − 40 V ≤ v t

_I

( ) ≤ ( E

₂

= 25 V )

⇒

⇒ ⇒

⇒ D

1 è

OFF

mentre

D

2 è

ON

La rete da esaminare è mostrata in figura 1c in cui il diodo D1 si trova in interdizione e viene modellato con un circuito aperto, mentre D₂, in conduzione, è modellato mediante un corto circuito. Si tratta ancora di una rete binodale per la quale la tensione comune di uscita v_O(t)

si può determinare facilmente applicando il principio di Millman. Tuttavia, attesa la linearità della rete, si sceglie di applicare la procedura relativa al principio di sovrapposizione degli effetti.

++++

−−−−

R₂ R1

A₁ A2

E₁

V_O(t) V_I(t)

(figura - 1c) R₄ R₃

II

−−−−

E₂ ++++

S₁ ++++

−−−−

K1

K₂

Si perviene così alla scrittura che di seguito si esplicita:

v t R

R R v t E R R R

o

( ) =

I

( )

+ ⋅ −

+

2

2 3

2 3

2 3

Sostituendo i valori proposti dalla traccia si ottiene:

v t v t

v t V

o I

( ) ( )

I

(5 ) (5 ) ( ) [ ]

= ⋅

+ − ⋅

+ = ⋅ − =

5 15

15 25 15

1 4

75 4

Negli istanti in cui la tensione d’ingresso assume il valore minimo vI(t)=−−−−40V la tensione d’uscita assume il valore minimo vO(t)=−−−−(40/4)−−−−(75/4)=−−−−(115/4)=−−−−28,75V

Si osservi che per vI(t)=−−−−25V si ottiene di nuovo vO(t)=−−−−25V, ciò verifica che la transcaratteristica vO=ƒƒƒƒ1(VI) è una funzione continua; inoltre, resta determinata la pendenza definita da tagββββ=(1/4).

Conseguentemente la corrente I1 erogata dal generatore V_I resta determinata dalla relazione:

I t v t v t

R R v t v t

R v t

I o

I I I

1

3 3 3

1 1

4

75 4

1 3

4

75 ( ) ( ) ( ) 4

( ) ( ) ( )

= − = ⋅ −  ⋅ −

  

 



  

  = ⋅  ⋅ +







Sostituendo i valori proposti dalla traccia si ottiene:

I t v t v t

v t mA

I I

I

1 3

1

3

15 10 3

4

75

4 20

5

4 10 1

20

5

( ) ( ) ( ) 4

( ) [ ]

= ⋅ ⋅  +





 =  +

  

  ⋅

⁻

= ⋅ +

Si osserva che per vI(t)=−−−−25V si ottiene di nuovo I1(t)=0A, ciò verifica che la transcaratteristica I₁=ƒƒƒƒ2(V_I) è una funzione continua; inoltre, resta fissata la pendenza definita da tagϕϕϕϕ=(1/20).

Negli istanti in cui la tensione di ingresso assume il valore minimo vI(t) = -40V la corrente assume il valore minimo I1(t) = −−−−(40/20) + (5/4) = −−−−2 + (5/4) = −−−−(3/4)= −−−−0,75mA = −−−−750µµµµA.

La transcaratteristica vO=ƒƒƒƒ1(VI) è mostrata in figura 1d in cui sono evidenziati per ciascun tratto della spezzata, che definisce la curva in oggetto, la pendenza e lo stato di conduzione dei diodi.

Nella figura 1h, invece, sono evidenziati e confrontati gli andamenti delle due transcaratteristiche relative alla corrente I1.nei casi di interruttore S1 aperto e S1 chiuso, cioè delle funzioni I1 =ƒƒƒƒ2(vI) ed I1 =ƒƒƒƒ3(vI) richieste dalla traccia.

b) S₁ chiuso. La reiterazione dell’ipotesi iniziale di ritenere i diodi D₁ e D₂ entrambi interdetti porta a verificare, tramite ispezione diretta, la validità elettrica o meno del circuito di seguito riportata come figura 1e, in cui la resistenza R₄ è ora connessa alla rete mediante l’interruttore S₁ chiuso e i due diodi sono entrambi modellati con due interruttori aperti.

L’ispezione diretta della rete di figura 1e evidenzia chiaramente l’esistenza del partitore di tensione ββββ

α αα α V_O

−−−−28,75V 20V

30V D₁ OFF

D₂ ON

D₁ OFF D₂ OFF

D₁ ON

D₂ OFF (figura 1d)

m = tag(α αα α) = (1/2) α

αα

α = arctag(1/2) α αα

α = 26,565°

m = tag( ββββ) = (1/4) ββββ = arctag(1/4) ββββ = 14,036°

m = tag( γγγγ) = 1 γγγγ = arctag(1) γγγγ = 45°

VI

-25V 20V 40V

-40V

−−−−25V

γγγγ

realizzato dalle resistenze R3 e R4 nei confronti della tensione di ingresso vI(t); infatti il generatore v_I(t) e le resistenze R₃ ed R₄ costituiscono la unica maglia chiusa della rete. Si può quindi relazionare, come di seguito riportato:

v t R v t

R R

v t

v t v t V

o I I

I I

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

= ⋅

+ = ⋅

+ =

= ⋅ = ⋅

4

3 4

150 15 150 150

165

10 11

Si applichi la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia contenente E1, R1 ed R4 al fine di ottenere la relazione: V_A1K1 −−−− VO + E₁ = 0, da cui risulta: V_A1K1 = (V_O −−−− E1), e ciò conferma l’ipotesi iniziale di considerare il diodo D₁ nello stato di interdizione per ogni valore del segnale di ingresso V_I per cui risulti(V_O −−−−E₁)<0, cioè: [(10/11)·V_I]< (E₁=20V). Per tanto, si conclude che per tutti gli istanti di tempo per i quali risulta V_IN(t)<[(11/10)]·E₁=22V il diodo D₁ persiste nello stato di interdizione, cioè è OFF. Se, poi, si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia contenente E2, R2 ed R4 si ottiene: VA2K2 + VO + E2 = 0, da cui risulta: VA2K2=−−−−(VO +E2), e questo conferma l’ipotesi iniziale di considerare il diodo D₂ nello stato d’interdizione per ogni valore del segnale di ingresso V_I per cui risulti(V_O+E₂)>0, cioè: [(10/11)·V_I] >−−−−(E1=25V).

Per tanto, si può concludere che per tutti gli istanti di tempo per i quali è V_I(t)>−27,5V il diodo D₂ persiste nello stato di interdizione, cioè è OFF.

Si osservi, inoltre, che le due condizioni trovate impongono che i due diodi D1, D2 NON possono assolutamente condurre contemporaneamente. In conclusione si asserisce che:

∀ t : [ v t

^*_I

( ) = − 27 5 , V ] ≤ v t

_I

( ) ≤ [ v

_I^**

( ) t = 22 V ]

⇒⇒⇒⇒

D

₁e

D

2 sono

OFF

v t R

R R v t v t V

I t v t

R R

R v t

R R

v t

R R v t mA

o I I

o I I

I

( ) ( ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) [ ]

= + ⋅ = ⋅

= = ⋅ ⋅

+ =

+ =

⁻

⋅

4

3 4

1

4 4

4

3 4 3 4

3

10 11

1 10

165

Si osservi che per

v

I

(t) = v

I

*(t) = −−−−27,5 V

si ottiene

I

1

= −−−−(5/30) mA = −−−−166,66 µµµµA

, mentre per

v

_I

(t) = v

_I

**(t) = 22 V

si ottiene

I

₁

= (2/15) mA = 133,33 µµµµA

^.

Quando il segnale di ingresso assume valori maggiori di vI**(t)=22V il diodo D₁ si porta nello stato di conduzione. In tale contesto la rete da esaminare è mostrata in figura 1g in cui il diodo è modellato dal corto circuito mentre D₂ resta nello stato di interdizione.

∀ t v :[

^**_I

( ) t = 22 V ] ≤ v t

_I

( ) ≤ 40 V

⇒

⇒

⇒

⇒ D

1è

ON

^mentre

D

2 è

OFF

L’esame del circuito di figura1f evidenzia la classica rete riconducibile ad una rete a due nodi, la cui tensione comune di nodo v_O(t) è ricavabile mediante il principio dei potenziali di nodo, noto come principio di Millman.

La tensione v_O(t) comune a tutti i lati della rete fra di loro in parallelo è definita dalla scrittura che di seguito viene riportata:

++++

−−−−

R2

R₁ A₁

A₂

E₁

V_O(t) V_I(t)

(figura - 1e)

R4

R3

II

−−−−

E₂ ++++

S₁ ++++−−−−

K₁ K₂

++++

−−−−

R₂ R₁

A1

A₂

E1

V_O(t) VI(t)

(figura - 1f)

R₄ R₃ II

−−−−++++

E2

S₁ ++++

−−−−

K₁ K₂

v t v t R E R

R R R

o

( ) [

I

( ) ] ( )

( ) ( ) ( )

= +

+

³

+

^{1 1}

3 1 4

1 1 1

, da cui svolgendo i dovuti passaggi algebrici si ottiene:

v t v t R E R R R R R R R R R

R R R

v t R E R R R

R R R

R R R R R R R R v t

R R R R R R

R R E

R R R R R R

o I I

I

( ) [ ( ) ] ( ) ( )

( )

= +

+ + = +

⋅ + +

= ⋅

+ + +

+ +

1 1 3 1 3

1 4 3 4 1 3

1 3 4

1 1 3

1 3

1 3 4

1 4 3 4 1 3

1 4

1 4 3 4 1 3

3 4 1

1 4 3 4 1 3

Sostituendo i valori forniti dalla traccia, si ottiene la scrittura:

v t v t

o

( )

I

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅

15 150

15 150 15 150 15 15

15 150 20

15 150 15 150 15 15

ovvero, svolgendo i calcoli:

v t v t

v t V

o I

( ) ( )

I

( ) ( ) ( ) [ ]

= ⋅

+ + + ⋅

+ + = ⋅ +

150

150 150 15

150 20 150 150 15

10 21

200 21

La corrente I₁(t) resta determinata dalla relazione che esplicita la legge di Ohm; si ha, infatti:

I t v t v t R

v t R

v t R

v t

R R v t

I o I o I

I 1

3 3 3 3 3

1 10 21

200 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21

= − ( )

= − = − ⋅  ⋅ +

  

 

, cioè:

I t

₁

R v t

_I

v t

_I

A

3 3

1 11 21

200 21

1 15 10

11 21

200

( ) = ⋅  ⋅ ( ) − ( ) 21 [ ]

  

  =

⋅ ⋅  ⋅ −

  

 

Effettuati i necessari calcoli si ottiene l’espressione conclusiva seguente della corrente I₁(t):

I t

₁

11 v t

_I ³

v t

_I

mA

315

40

63 10 11

315

40

( ) =  ⋅ ( ) − ( ) 63 [ ]

  

  ⋅

⁻

= ⋅ −

Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m=tagεεεε=(11/365). Si osservi che per VI(t)=22V viene confermato il valore della corrente I1(t)=(22·11/315)−−−−(40/63)=133,3µµµµA.

Non resta, ora, che considerare le variazioni del segnale d’ingresso v_I(t) appartenenti allo intervallo [−−−−40, −−−−27,5]V. Dall’analisi finora condotta, si può facilmente concludere che:

∀ − t : 40 V ≤ v t

_I

( ) ≤ [ v t

_i^*

( ) = − 25 V ]

⇒

⇒ ⇒

⇒ D

1 è

OFF

mentre

D

2 è

ON

La rete da esaminare è mostrata in figura 1g in cui il diodo D₁ si trova all’interdizione e viene modellato mediante un circuito aperto, mentre D2, in conduzione, è modellato da un corto circuito. Si tratta di una rete binodale

per cui la tensione di uscita v_O(t) si determina facilmente applicando il noto principio di Millman.

Tenendo in debita considerazione che i generatori di tensione vI(t) ed E2 operano in modo opposto in relazione alla convenzione che definisce vO(t), si relaziona come di seguito esplicitato:

v t v t R E R

R R R

o

( ) [

I

( ) ] ( )

( ) ( ) ( )

= −

+

³

+

^{2 2}

3 2 4

1 1 1

, da cui svolgendo i dovuti passaggi algebrici si ottiene:

VO(t) ++++−−−−

R₂ R₁

A1

A₂

E₁ V_I(t)

(figura - 1g) R4

R₃ I_I

−−−−

E₂ ++++

S₁ ++++

−−−−

K₁ K₂

v t v t R E R R R R R R R R R

R R R

v t R E R R R

R R R

R R R R R R R R v t

R R R R R R

R R E

R R R R R R

o I I

I

( ) [ ( ) ] ( ) ( )

( )

= −

+ + = − ⋅

+ +

= ⋅

+ + −

+ +

2 1 3 2 3

2 4 3 4 2 3

2 3 4

2 2 3

2 3

2 3 4

2 4 3 4 2 3

2 4

2 4 3 4 2 3

3 4 2

2 4 3 4 2 3

Sostituendo i valori forniti dalla traccia, si ottiene la scrittura:

v t v t

o

( )

I

( )

(5 ) ( ) (5 ) (5 ) ( ) (5 )

= ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅

5 150

150 15 150 15

15 150 25

150 15 150 15

ovvero, svolgendo i calcoli:

v t v t

v t V

o I

( ) ( )

I

(5 , ) (5 , ) ( ) [ ]

= ⋅

+ + − ⋅

+ + = ⋅ −

5

15 0 5

15 25 15 0 5

10 41

750 41

La corrente I₁(t) resta determinata dalla relazione che esplicita la legge di Ohm; si ha, infatti:

I t v t v t R

v t R

v t R

v t

R R v t

I o I o I

I 1

3 3 3 3 3

1 10 41

750 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 41

= − ( )

= − = − ⋅  ⋅ −

  

 

, cioè:

I t

₁

R v t

_I

v t

_I

A

3 3

1 31 41

750 41

1 15 10

31 41

750

( ) = ⋅  ⋅ ( ) + ( ) 41 [ ]

  

  =

⋅ ⋅  ⋅ +

  

 

Effettuati i necessari calcoli si ottiene l’espressione conclusiva seguente della corrente I1(t):

I t

₁

31 v t

_I ³

v t

_I

mA

615

750

615 10 31

615

750

( ) =  ⋅ ( ) + ( ) 615 [ ]

  

  ⋅

⁻

= ⋅ +

Il legame ottenuto caratterizza una retta con coefficiente angolare m=tagθθθθ=(31/615). Si osservi che per V_I(t)=−27,5V viene riconfermato il valore, già calcolato in precedenza, della corrente I1(t);

si ottiene, infatti: I₁(t)=(−−−−27,5·31/615)+(750/615)=−−−−166,6µµµµA. Altresì per VI(t)=−40V si ottiene il valore di corrente I₁(t)=(−−−−40·31/615)+(750/615)=−−−−796,75µµµµA.

Le transcaratteristiche I₁=ƒƒƒƒ2(V_I) ed I₁=ƒƒƒƒ3(V_I) sono mostrate in figura 1h in cui sono evidenziati, per ciascun tratto della spezzata, che definisce la curva in oggetto, sia la pendenzasialo stato di conduzione dei diodi.

(figura 1h) V_I

ϕ ϕϕ

ϕ δδδδ

I₁

(−−−−3/4)mA (2/3)mA

D₁ OFF D₂ ON

D₁ OFF

D₂ OFF D1 ON D2 OFF

-25V

20V 40V -40V

Interruttore S₁ aperto

V_I

θθθθ

εεεε

I₁

−−−−(98/123)mA (2/15)mA

(16/21)mA D₁ OFF

D2 ON

D₁ OFF D2 OFF

D₁ ON D₂ OFF

-25V

20V 40V -40V

−−−−(1/6)mA

σ σσ σ

Interruttore S₁ chiuso

ESERCIZIO E2:

Si determini il punto operativo del circuito riportato in figura 2, sapendo che il generatore di corrente AS rappresenta una sorgente di piccolo segnale (5 punti).

Si determini il guadagno A = (VO/AS) di piccolo segnale assumendo che il condensatore CS si comporti come un corto circuito (3 punti). Si determini il valore del condensatore CS affinché il guadagno a 20 Hz sia maggiore di 0,9A (dove A è il valore del guadagno determinato al punto precedente (2 punti). Sono assegnati: V_DD = 20 V; K = 250 µµµµAV⁻⁻⁻⁻²; R₁ = 800 KΩΩΩΩ; R2 = 200 KΩΩΩΩ;

R_D = 10 KΩΩΩΩ; RS1 = 500 ΩΩ; RΩΩ S2 = 500 ΩΩΩΩ; VT = 1 V

Si tratta di un MOS a canale P polarizzato con generatore stazionario indipendente di tensione VDD tramite rete con partitore resistivo R₁, R₂ nonché sottoposto alle variazioni introdotte dal generatore di piccolo segnale A_S.

Ai fini della sola polarizzazione, il condensatore CS posto in parallelo alla resistenza di degenerazione R_S2, è da ritenersi in regime stazionario modellato da un circuito aperto.

Ai fini della polarizzazione, atteso che la traccia non indica la presenza di componente continua associata alla sorgente di segnale AS, benché non sia presente alcun condensatore atto a funzioni di disaccoppiamento del segnale stesso, si deve considerare solo l’azione del generatore V_DD. In sostanza il generatore di segnale AS deve essere spento. La rete per la definizione del punto di riposo Q (punto operativo) viene, quindi, mostrata in figura 2a nella quale A_S è sostituito da un circuito aperto. Tramite ispezione diretta si evince che le due resistenze R_S1 e R_S2 sono collegate fra loro in serie ed il potenziale di gate del MOS a canale P è determinato dalla legge del partitore

resistivo, che consente di relazionare come segue:

V R

R R V V

G

=

DD

+ ⋅ =

+ ⋅ =

1

1 2

800

800 200 20 16

Parimenti, con analoga procedura si ottiene la scrittura:

V R

R R V V

R2 DD

2

1 2

200

800 200 20 4

= + ⋅ =

+ ⋅ =

Come verifica, si osservi che risulta soddisfatta la relazione che esprime l’irrotazionalità delle tensioni:

V

DD

= V

G

+ V

R2. Si ipotizza, ora, il MOS in zona di saturazione e si imposta la corrispondente relazione costitutiva del dispositivo, esplicitata dalla scrittura che di seguito si riporta:

I

_D

= ⋅ K V (

_SG

− V

_T

)

²

Indicata con R_S= R_S1+R_S2 la resistenza equivalente serie delle due resistenze di source, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia d’ingresso del MOS consente di porre

V

_R

R I

_{S D}

V

_SG

V

_R

R K V

_{S SG}

V

_T

V

_SG

2 2

= + ⇒ = ⋅ ( − )

2

+

, con:

R

_S

= 1 KΩ Ω Ω Ω

Procedendo con i dovuti passaggi algebrici si ottengono le scritture che di seguito si esplicitano:

V

_R2

= R KV

_{S SG}²

− 2 KR V

_{S SG T}

V + KR V

_{S T}²

+ V

_SG

KR V

_{S SG}²

+ − ( 1 2 KR V

_{S T}

) ⋅ V

_SG

+ ( KR V

_{S T}²

− V

_R2

) = 0

Sostituendo i dati forniti dalla traccia ed i valori delle grandezze calcolate in precedenza si ottiene:

VDD

(figura - 2)

R_D M_P

V_O A_S

RS1

R_S2 R₂

R₁

CS

V_DD (figura - 2a)

R_D MP

VO

R_S1 R_S2 R₂

R₁ I_D V_SG

V_SD G

V_G

D S VR2

250 10 10 ⋅

^{−6 3}

V

_SG²

+ − ⋅ ( 1 2 250 10 10 1 ⋅

^{−6 3}

⋅ ⋅ ) V

_SG

+ ( 250 10 10 1 4 ⋅

^{−6 3}

⋅ − ) = 0 250 10 ⋅

⁻³

V

_SG²

+ − ( 1 500 10 ⋅

⁻³

) ⋅ V

_SG

+ ( 250 10 ⋅

⁻³

− 4 ) = 0

, dalla quale si ottiene:

0 25 , ⋅ V

_SG²

+ 0 5 , ⋅ V

_SG

− 3 75 , = 0 ⇒ V

_SG²

+ ⋅ 2 V

_SG

− 15 = 0

L’equazione di secondo grado nell’incognita tensione V_SG ammette le seguenti soluzioni:

V

^SG

= − ± − ⋅ − = − ± = − ± = − − = − V

_T

− + = >

1 1 1 15

1

1 16

1 1 4 1 4 5

1 4 3

( )

La soluzione VSG=−−−−5V NON È accettabile in quanto essendo negativa e minore di VT implica che il MOS a canale P sia, addirittura, spento. L’unica soluzione possibile è fornita da V_SG =3V, atteso che, essendo maggiore di V_T, garantisce che il MOS è acceso.

La corrente di drain ID, facendo ricorso alla già citata relazione costitutiva del MOS in regione di saturazione assume il valore di seguito calcolato:

I

_D

= ⋅ K V (

_SG

− V

_T

)

²

= 250 10 ⋅

⁻⁶

( 3 1 − )

²

= 250 4 10 ⋅ ⋅

⁻⁶

= 10

³

⋅ 10

⁻⁶

= 1 mA

Per accertare che il transistore operi effettivamente in zona di saturazione è necessario calcolare la tensione V_SD per verificare che sia soddisfatta la condizione V_SD > (V_SG −−−− VT). In questo contesto, si applichi la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita del MOS a canale P al fine di relazionare come segue:

V

_DD

− V

_SD

= ( R

_S

+ R

_D

) ⋅ I

_D

⇒ V

_SD

= V

_DD

− ( R

_S

+ R

_D

) ⋅ I

_D

Svolgendo i dovuti calcoli, la tensione VSD, fra i morsetti di source e di drain, assume il valore:

V

_SD

= V

_DD

− ( R

_S

+ R

_D

) ⋅ I

_D

= 20 − + ( 1 10 10 ) ⋅

³

⋅ 10

⁻³

= 20 11 − = 9 V

Si constata immediatamente che la condizione V_SD > (V_SG −−−− VT) ⇒⇒⇒⇒ 9 > (3 −−−−1) è soddisfatta; quindi il MOS È effettivamente SATURO.

Il punto operativo è caratterizzato dai seguenti valori delle grandezze elettriche di interesse:

punto operativo MOS a canale P: V

_SG

= 3 V V

_DS

= 9 V I

_D

= 1 mA

Si perviene, altresì, alla conclusione che, in regime stazionario, la tensione V_O, definita dalla legge di Ohm applicata alla resistenza di drain R_D, assume il seguente valore:

V

_O

= V

_D

= R I

_{D D}

= 10 10 ⋅

³

⋅ ⋅ 1 10

⁻³

= 10 V

Si devono, adesso, determinare i parametri dinamici, calcolati nel punto di riposo, specifici della costituzione del modello del MOS, atto a consentire lo studio del comportamento alle variazioni dovute all’azione del generatore di piccolo segnale, atteso che il MOS stesso opera dinamicamente ancora in zona di saturazione. Ricordando le posizioni effettuate in ambito teorico ovvero:

g di dv

d K v V

dv K v V

m D

GS vGS VGS

GS T

GS vGS VGS

GS T VGS

= = ⋅ −

= −

= =

[ ( ) ]

( )

2

2

si giunge alla definizione analitica del modello caratteristico del MOS, valido alle variazioni dovute al generatore piccolo segnale A_S; si ha infatti il circuito riportato in figura 2b in cui il parametro gm noto come transconduttanza o conduttanza diretta, costituisce il parametro del generatore dipendente di corrente pilotato dalla tensione v_gs di ingresso con cui l’uscita viene “informata” dello stato dell’ingresso. Il

valore del parametro dinamico conduttanza gm è determinato dal calcolo che di seguito si riporta:

g

_m

v

_sg

v

gs

v

_sd

i

g

= 0 i

sd

(figura - 2b)

D D

S

G

g

_m

K v

_GS

V

_T

K V V m

vGS VGS GS T

= 2 ( − )

₌

= 2 ( − ) = ⋅ 2 250 10 ⋅

⁻⁶

⋅ = 2 1 Ω

⁻¹

Atteso quanto premesso, il circuito equivalente dinamico per piccolo segnale a centro banda, cioè nell’ipotesi che il condensatore C_S si comporti come un corto circuito, viene mostrato in figura 2c.

Il condensatore, che alla frequenza del centro banda presenta una reattanza capacitiva pari a X_C=1/(ωωωCω S) =0 ΩΩΩΩ, corto circuita la resistenza di source R_S2 con la quale si trova collegato in parallelo; per questo motivo il circuito di figura 2c presenta soltanto la resistenza RS1. Per ispezione diretta si evince quanto segue in termini d’applicazione della legge di Ohm:

v

_o

= g v R

_{m sg D} legge di Ohm per RD

v

_s

= − g v R

_{m sg S1} legge di Ohm per R_S1

v

_g

= − A

_S

( R R

_{1 2}

)

Da quanto premesso consegue pertanto la relazione che di seguito si esplicita:

v

_sg

= v

_s

− v

_g

⇒ v

_sg

= − g v R

_{m sg S1}

− − [ A

_S

( R R

_{1 2}

)]

, ovvero:

v

_sg

+ g v R

_{m sg S1}

= A

_S

( R R

_{1 2}

) ⇒ ( 1 + g R

_{m S1}

) ⋅ v

_sg

= A

_S

( R R

_{1 2}

)

dalla quale si determina la tensione:

v A R R

sg

g R

S

m S

= +

( )

( )

1 2

1

1 , ed anche:

v A

R R g R

sg

S m S

= +

( )

( )

1 2

1

1

Dalla relazione ora ottenuta, consegue che il guadagno richiesto è un guadagno di transresistenza A_R = V_O/A_S, in quanto dimensionalmente espresso in ΩΩΩ, è calcolabile con la scrittura che di seguito Ω si esplicita:

A v

A

v v

v A

g R v v

R R g R

g R R R

R o

g R

S

o sg

sg S

m D sg

sg m S

m D m S

= = ⋅ = ⋅

⋅ + =

+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

−

−

( )

( )

( )

( )

( )

[ ( )] , , [ ]

1 2

1

1 2

1

3 3 3

3

3 6

1 1

10 10 10 800 200 10 1 10 500

10 160 10

1 5 1 066 10 Ω

Il calcolo del valore da attribuire al condensatore C_S affinché il guadagno alla frequenza di f_S=20 Hz sia maggiore di 0,9·A_R richiede di prendere in considerazione il circuito mostrato in figura 2d.

Il collegamento in parallelo della resistenza R_S2 con il condensatore C_S forma l’impedenza Z_P definita dalla relazione:

Z R jX R

j C R

P S CS

S S S

= =

( ) +

( )

2

2

1 ω

2

Sempre per ispezione diretta si evince, proprio come prima, in termini di legge di Ohm, quanto di seguito riportato:

v

_o

= g v R

_{m sg D} legge di Ohm per R_D

v

_g

= − A

_S

( R R

_{1 2}

)

legge di Ohm per A_S

v

sg

(figura - 2c)

G

v

_O

g

m

v

sg

D RD

i

sd

S

A

S

R_S1 R2

R1 v_g

v

sg

(figura - 2d)

G

v

O

g

_m

v

_sg

D R_D

i

_sd

S

A

_S ^RS1

R₂

R₁ v_g

R_S2 CS

v

_s

= − g v

_{m sg}

( R

_S1

+ Z

_P

)

legge di Ohm per l’impedenza complessiva sul source Procedendo allo steso modo utilizzato per il calcolo di A_R, si verifica che::

v

_sg

= v

_s

− v

_g

⇒ v

_sg

= − g v

_{m sg}

( R

_S

+ Z

_P

) − − [ A

_S

( R R )]

1 1 2 , ovvero:

v

_sg

+ g v

_{m sg}

( R

_S

+ Z

_P

) = A

_S

( R R )

1 1 2 dalla quale si determina il rapporto:

v A

R R

g R Z

sg

S m S P

= + +

( )

( )

1 2

1

1

Dalla relazione ora ottenuta, consegue che il nuovo guadagno di transresistenza AR*= VO/AS, può calcolarsi con la scrittura che di seguito si esplicita:

A v

A

g R v v

R R

g R Z

g R R R

g R Z

R o

S

m D sg

sg m S P

m D

m S P

*

( )

( )

( )

( )

= = ⋅

⋅ + + =

+ +

1 2

1

1 2

1 1

1

Alla frequenza fS = 20 Hz si richiede che sia soddisfatta la condizione

  A

R*

  > 0,9·A

R; pertanto, si deve procedere a dimensionare in modo adeguato il valore della capacità del condensatore C_S. Non resta che svolgere i passaggi algebrici ed i calcoli afferenti le scritture di seguito esplicitate:

g R R R

g R Z

g R R R g R

m D

m S P

m D m S

( )

( ) , ( )

( )

1 2

1

1 2

1 0 9

1

+ + > ⋅ 1

+ 1

1

0 9 1

1

1 1

0 9

1 1

1

1

2 2

+ + >

+ ⇒ +

+ +

+ g R Z g R >

g R

g R R

j C R

m S P m S

m S

m S

S S S

( )

,

( )

( )

( )

, ω

1 10 500

1 10 500 10 500

1 500

0 9 1 5

1 0 5 0 5

1 500

0 9

3

3 3

+ ⋅

+ ⋅ + ⋅

+

> ⇒

+ +

+

−

>

− −

j ω C

_S

j ω C

_S

, ,

, , ,

15

9 1 5 0 5

1 500

5 3

1 5 500 1 5 0 5

1 500

> +

+ ⇒ > + ⋅ +

, , , + , ,

j C

j C

j C

S

S

ω

S

ω

ω

, ed anche:

5 3

2 750

1 500

25 9

4 750

1 500

2 2 2

2 2 2

> +

+ ⇒ > +

+ j C

j C

C C

S S

S S

ω ω

ω

ω

da cui si ottengono le relazioni:

25 1 ⋅ + ( ω

²

C

_S²

500

²

) = ⋅ 9 ( 4 + ω

²

C

_S²

750

²

)

( 25 ⋅ ω

²

500

²

− ⋅ 9 ω

²

750

²

) ⋅ C

_S²

> 11

, ed in conclusione si posiziona quanto segue:

C

_S

> ⋅ C

_S

⋅ − ⋅ ⇒ >

⁻

⋅

1 11

25 500 9 750

10 2 20

11 1 1875

2 2

3

ω π ,

Pertanto, affinché il guadagno AR* calcolato alla frequenza fS =20Hz sia AR*>0,9·AR deve essere:

C

_S

> C

_S

C

_S

F

⋅ ⇒ > ⋅

⁻

⇒ >

9 26316 40 10

3 0435 10

125 6637 24 22

3

, ,

3

, ,

π µ