Ottica geometrica

Ottica geometrica

La luce ` e un’onda, ma questo non si vede in tutti i fenomeni la direzione di propagazione rettilinea, con delle eccezioni

Per dimensioni degli oggetti e delle fenditure molto pi` u grandi della lunghezza d’onda, la natura ondulatoria pu` o essere trascurata per dimensioni inferiori, si ha diffrazione e comportamenti legati all’ottica ondulatoria

L’ottica geometrica descrive la luce come formata da raggi che si

propagano rettilineamente

Riflessione e rifrazione

Alla superficie di separazione tra due mezzi la luce pu` o essere riflessa o trasmessa (rifratta)

Le regole per stabilire l’angolo di riflessione e rifrazione si possono dedurre da principi fisici (di Huygens o di Fermat) oppure dalle equazioni dell’elettromagnetismo

Il raggio incidente, riflesso e trasmesso giacciono sullo stesso piano Il raggio incidente e quello riflesso fanno lo stesso angolo con la normale

Il raggio incidente e quello rifratto fanno, con la normale, angoli θ e ϕ,

legati dalla relazione n 1 sin(θ) = n 2 sin(ϕ)

Dimostrazione dal principio di Fermat

Il principio di Fermat dice che, per andare da un punto all’altro, la luce sceglie sempre il percorso pi` u breve (oppure quello che impiega pi` u tempo)

Nella figura, il tempo impiegato ` e L 1 /v 1 + L 2 /v 2

Ho scelto per` o L 1 cos(θ) = L 2 cos(ϕ) = h e L 1 sin(θ) + L 2 sin(ϕ) = costante

Voglio che il tempo impiegato per andare da A a B sia minimo

Derivando entrambe queste equazioni rispetto a θ si trova d ϕ

d θ = − v ₂ v ₁

 cos ϕ cos θ

 2 sin θ

sin ϕ e d ϕ

d θ = −  cos ϕ cos θ

 2

Confrontando le due equazioni si trova che v ₁ sin ϕ = v ₂ sin θ

e quindi, ricordando la definizione di indice di rifrazione

n ₁ sin θ = n ₂ sin ϕ

Dispersione

In generale, l’indice di roifrazione dipende leggermente dalla frequenza della radiazione. A parit` a di angolo di incidenza quindi, la luce rifratta sar` a deviata ad angoli diversi a seconda della frequenza (colore).

Questa ` e la dispersione della luce

La dispersione di un materiale si pu` o misurare in base alla differenza degli indici di rifrazione per luce blu-viola e rossa n _viola − n _rosso La deviazione media si misura come n _giallo − 1

Il rapporto tra queste due grandezze da’ il potere dispersivo di uno strumento ottico

L’arcobaleno ` e un fenomeno dovuto alla dispersione della luce nelle

goccioline d’acqua

Indici di rifrazione tipici

Sostanza n

Gas 1

Acqua 1.33

Acool etilico 1.36 Diamante 2.47-2.75

Vetro 1.5-1.6

Angolo limite

Dalla legge n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 trovo che per n 1 < n 2 non ` e consentito un angolo θ 2 arbitrariamente grande dato che

sin θ ₂ = n ₁ n 2

sin θ ₁ < n ₁ n 2

Ne segue che per θ 2 > arcsin

 n

n



(angolo limite) non ` e possibile trasmettere la luce, che viene interamente riflessa

Nota: cosa vede un pesce che guardi verso l’alto?

Funzionamento della fibra ottica

Immagini reali e virtuali

Se ci guardiamo allo specchio, vediamo la nostra immagine in una posizione dove la luce non pu` o arrivare

L’immagine si dice allora virtuale

Se la luce passa attraverso il luogo dove si forma l’immagine, questa ` e reale

I nostri occhi formano l’immagine di un oggetto l` a dove convergono i raggi di luce provenienti da quell’oggetto

L’immagine di un oggetto che si trova in un liquido di indice di

rifrazione n, si forma ad una profondit` a d /n, dove d ` e la profondit` a

dell’oggetto

Prisma

Se faccio passare la luce attraverso un prisma con un angolo γ tra le due facce, la luce che emerge non ` e parallela a quella incidente La luce viene deviata di un’angolo θ ₁ − ϕ ₁ + θ ₂ − ϕ ₂

Si trova che quest’angolo ha un’unico minimo, il che implica, per

reversibilit` a, che ϕ ₁ = ϕ ₂ , θ ₁ = θ ₂ , γ = 2ϕ

Superfici sferiche

Se la superficie di separazione dei mezzi ` e curva, in generale, i raggi provenienti da un oggetto non convergeranno in un punto, a meno che gli angoli in gioco siano piccoli

Posso definire l’asse principale come la retta che passa per in centro di curvatura ed ` e perpendicolare alla superficie

Un punto si chiama fuoco principale se tutti i raggi paralleli che vengono da questo punto vuoto, dopo la rifrazione, sono paralleli all’asse

Un punto si dice fuoco secondario se tutti i raggi paralleli all’asse, dopo la rifrazione convergono in questo punto

La distanza tra fuoco e superficie sferica si chiama distanza focale

Formazione delle immagini

Il fuoco ` e il punto dove convergono esattamente i raggi solo se questi fanno un angolo piccolo con l’asse (raggi parassiali)

In questo caso ` e possibile vedere come si forma un immagine,

tracciando i raggi che passano per il fuoco (paralleli) e per il centro di

curvatura (perpendicolari alla superficie)

Formazione delle immagini

Per capire come si forma l’immagine dispongo una freccia perpendicolarmente all’asse ottico e vedo dove si formano i punti immagine di punta e coda della freccia

Dato che ogni punto forma la propria immagine dove i raggi convergono, ` e sufficiente avere due raggi per vedere dove questo avvenga

i due raggi in questione possono essere quello parallelo, che, dopo la rifrazione, deve passare per il fuoco, e quello che passa per il centro di curvatura, inalterato

L’ingrandimento dell’immagina ` e dato da d ⁰ /d = (i − R)/(o + R)