un complesso doppio di gruppi abeliani con differenziali d

MAURIZIO CORNALBA

Sia K

un complesso doppio di gruppi abeliani con differenziali d

: K

→ K

e d

: K

→ K

, dove d

= d

= d

d

+ d

d

= 0. Indichiamo con K

il corrispondente complesso totale con differenziale d = d

+ d

e K

= ⊕

K

. Supponiamo che K

sia a gradi positivi, nel senso che K

= 0 se p < 0 o q < 0.

Poniamo B

= ker(d

: K

→ K

). Allora d

B

⊂ B

e · · · → B

0

→ B

→

B

→ · · · ` e un complesso.

Lemma 1. Se H

(K

) = 0 per ogni p e per ogni q > 0 l’inclusione B

,→ K

induce isomorfismi

α

: H

(B

) −→ H

(K

) per ogni p.

Dimostrazione. Dimostriamo in primo luogo che α

` e iniettiva. Se x ∈ B

, d

x = 0 e x = dy per qualche y ∈ K

, scriviamo y = P

i

y

dove y

∈ K

. Definiamo livello di y il massimo i tale che y

6= 0. Dire che x = dy equivale a dire che x = d

y

e d

y

+ d

y

= 0 per ogni i ≥ 0. In particolare, se ` ` e il livello di y, allora d

y

= 0. Se ` > 0, per le ipotesi del lemma y

= d

z per qualche z ∈ K

. Se poniamo y

= y − dz, allora x = dy

e il livello di y

non supera ` − 1. Ripetendo pi` u volte questa operazione si arriva a un y

di livello 0 tale che x = dy

. Ma allora y

∈ B

e x = d

y

. Questo mostra che α

` e iniettiva.

La dimostrazione della suriettivit` a di α

` e simile. Sia y ∈ K

tale che dy = 0 e sia ` il livello di y; dunque d

y

= 0. Se ` > 0 c’` e z ∈ K

tale che y

= d

z. Allora y e y − dz rappresentano la stessa classe in H

(K

) ma il livello di y − dz ` e minore di quello di y. Possiamo quindi supporre che y abbia livello zero, cio` e che appartenga a K

. Ma allora dire che dy = 0 equivale a dire che d

y = 0, cio` e che y ∈ B

, e che

d

y = 0. Dunque α

` e suriettiva. 

Sia X una variet` a differenziabile connessa, di Hausdorff e a base numerabile di di- mensione n. Per ogni aperto U di X indichiamo con A

(U ) lo spazio vettoriale reale delle p-forme differenziali lisce su U , e con C

(U, R) lo spazio delle p-cocatene singolari reali in U , cio` e il duale dello spazio vettoriale reale C

(U, R) delle p-catene singolari reali in U . In altre parole, un elemento di C

(U, R) `e il dato di un numero reale per ogni p-simplesso singolare in U . Nella versione standard della teoria singolare si con- siderano simplessi singolari continui, ma ` e utile considerare una versione della teoria in cui ci si limita a simplessi singolari lisci, cio` e applicazioni dal simplesso standard

∆

= {(x

, . . . , x

) ∈ R

: P x

= 1, x

≥ 0, i = 0, . . . , p)} in U che hanno una estensione C

a un intorno di ∆

nell’iperpiano di equazione P x

= 1. Come vedremo, nel nostro caso i gruppi di coomologia singolare

H

(X, R) = H

(C

(U, R))

calcolati usando simplessi continui o lisci coincidono. Dato un ricoprimento aperto V di X, si indica con C

(X, R) il sottospazio di C

(X, R) generato dai simplessi singolari con immagine in un aperto di V, e con C

(X, R) il suo duale. I C

(X, R) costituiscono un

Date: 28 dicembre 2016.

1

complesso, i cui gruppi di coomologia vengono indicati con H

(X, R). Ricordiamo che la mappa naturale

H

(X, R) → H

(X, R)

` e un isomorfismo, sia nella teoria continua che in quella liscia (cf. Hatcher, Algebraic topology, Proposition 2.21, per la versione in omologia di questo risultato). La coomologia del complesso A

(X) viene chiamata coomologia di de Rham di X e si pone H

(X) = H

(A

(X)).

Scegliamo una metrica riemanniana su X e un ricoprimento U = {U

}

di X che sia localmente finito e costituito da aperti geodeticamente convessi e a chiusura compatta.

Per ogni multiindice (i

, . . . , i

), i

∈ I, poniamo

U

= U

∩ · · · ∩ U

. Il complesso C

(U , R) `e dato dagli spazi vettoriali reali

C

(U , R) = Y

U_i0,...,iq6=∅

R e dal differenziale δ : C

(U , R) → C

(U , R) definito da

(1) (δϕ)

= X

j

(−1)

ϕ

0,..., bij,...,iq+1

Quello appena descritto viene chiamato complesso delle cocatene reali del ricoprimento U .

Ci serviranno due complessi doppi L

e K

definiti da:

L

= Y

U_i0,...,iq6=∅

A

(U

),

K

= Y

U_i0,...,iq6=∅

C

(U

, R),

I differenziali del primo complesso sono la differenziazione esterna d : L

→ L

e il differenziale “di ˇ Cech” δ : L

→ L

dato dalla (1), dove ϕ ` e il dato di una p-forma ϕ

per ogni U

non vuoto e ϕ

0,..., bij,...,iq+1

si intende ristretta a U

. Natu- ralmente, per garantire che le relazioni di commutazione richieste tra i differenziali siano soddisfatte, sar` a necessario cambiare questi ultimi per un segno, ad esempio rimpiazzan- do δ : L

→ L

con (−1)

δ. I differenziali del secondo complesso sono il cobordo in coomologia singolare ∂

: C

→ C

e ancora il differenziale “di ˇ Cech” dato da (1), dove, sempre per semplicit` a di notazione, si sottintende che ϕ

0,..., bij,...,iq+1

indica in realt` a il pullback ρ

(ϕ

0,..., bij,...,iq+1

) via l’inclusione ρ : U

→ U

0,..., bij,...,iq+1

. Anche in questo caso ` e necessario modificare il segno di δ come indicato sopra.

Lemma 2.

H

(L

) =

( C

(U , R) se p = 0 0 se p > 0 H

(L

) =

(

A

(X) se q = 0 0 se q > 0 H

(K

) =

( C

(U , R) se p = 0 0 se p > 0 H

(K

) =

( C

(X, R) se q = 0

0 se q > 0

Dimostrazione. Per ogni multiindice (i

, . . . , i

) l’aperto U

` e geodeticamente con- vesso, e quindi omeomorfo a un aperto stellato in R

. La prima affermazione segue allora dal lemma di Poincar´ e nella seguente versione.

Lemma 3 (Lemma di Poincar´ e). Sia V un aperto in R

, stellato intorno a v

∈ V . Sia ϕ ∈ A

(V ) una forma chiusa, tale cio` e che dϕ = 0. Se p = 0, allora ϕ ` e una funzione costante su V . Se p > 0 esiste ψ ∈ A

(V ) tale che ϕ = dψ. Pi` u esattamente, per ogni p > 0 esiste una applicazione lineare H : A

(V ) → A

(V ) tale che

η = H(dη) + dH(η) per ogni p-forma η su V .

Dimostrazione. La prima affermazione segue dall’osservazione che V ` e connesso per archi e ϕ localmente costante. Supponiamo che p > 0. Senza perdita di generalit` a si pu` o supporre che v

sia l’origine di R

. Indichiamo con x

, . . . , x

le coordinate in R

. Sia h : V × [0, 1] → V la mappa (v, t) 7→ tv. Allora h

(η) = η

+ dt ∧ η

, dove le forme η

η

sono combinazioni lineari, a coefficienti funzioni, di monomi della forma dx

, con I un multiindice. Poniamo

H(η) = Z

0

η

dt

dove si intende che ad essere integrati sono i coefficienti dei dx

. Data una forma α su V × [0, 1], sia d

α il differenziale esterno di α rispetto alle sole variabili x

, . . . , x

. Allora

h

(dη) = dh

(η) = d

η

+ dt ∧ ∂η

∂t − dt ∧ d

η

e quindi H(dη) =

Z

∂η

∂t dt − Z

0

(d

η

)dt = η

− η

− d Z

0

η

dt = η − dH(η) Se ϕ ` e una p-forma chiusa su V , ne segue che ϕ = dψ, con ψ = H(ϕ). 

Passiamo alla seconda affermazione del lemma. Sia α un elemento di L

, cio` e il dato di una p-forma α

per ogni multiindice (i

, . . . , i

) tale che U

sia non vuoto.

Supponiamo che δα = 0. Se q = 0 ci` o significa che α

= α

per ogni scelta di indici i

, i

, e quindi che esiste α

∈ A

(X) tale che la restrizione di α

a U

sia α

per ogni i. Questa p-forma ` e naturalmente unica. Supponiamo ora che q > 0. Scegliamo una partizione dell’unit` a {χ

}

liscia e subordinata al ricoprimento U . Se U

6= ∅ poniamo

β

= X

Ui,i0,...,iq−16=∅

χ

α

,

dove si sottintende che χ

α

viene posto uguale a zero su U

r U

. Si noti che tutti gli addendi della somma sono lisci e che ogni punto ha un intorno su cui solo un numero finito tra essi ` e non nullo, dato che U ` e localmente finito. I β

costituiscono un elemento β di L

e

(δβ)

= X

j

(−1)

β

0,..., bij,...,iq

= X

i

X

j

(−1)

χ

α

0,..., bij,...,iq

.

Dato che δα = 0 la somma interna ` e uguale a χ

α

e quindi, tenendo conto del fatto che P χ

≡ 1,

(δβ)

= α

Quindi α = δβ.

Occupiamoci ora della terza affermazione del lemma. ` E chiaro che H

(K

) = Y

U_i0,...,iq6=∅

H

(U

, R)

Dato che U

` e geodeticamente convesso, ` e anche contraibile. Dunque, per la pro- priet` a di omotopia, ha la stessa coomologia di un punto, cio` e nulla in grado positivo e pari a R in grado zero. Ne segue che

H

(K

) = (Q

U_i0,...,iq6=∅

R = C

(U , R) se p = 0

0 se p > 0

Resta da dimostrare l’ultima affermazione del lemma. Per farlo scriviamo diversa- mente il complesso doppio K

. Sia S

l’insieme dei p-simplessi singolari in X. Per ogni tale simplesso σ : ∆

→ X sia I

l’insieme degli i ∈ I tali che σ(∆

) ⊂ U

; ` e un insieme finito dato che il ricoprimento U ` e localmente finito e σ(∆

) ` e compatto. Notiamo che un elemento a di K

consiste del dato di un numero reale a

(σ) per ogni p-simplesso singolare σ in U

, tale cio` e che i

, . . . , i

∈ I

. Ricordiamo anche che il differenziale δ di K

` e

(2) δ(a)

(σ) = X

j

(−1)

a

0,..., bij,...,iq+1

(σ) Dunque

K

= Y

σ∈Sp

D

, dove

D

= Y

(i0,...,iq)∈Iσ^q+1

R

e δ : D

→ D

` e dato dalla (2). Per concludere baster` a dunque mostrare che H

(D

)

` e nullo per q > 0 e uguale a R per q = 0. Se a ∈ D

, dire che δa = 0 equivale a dire che a

= a

per ogni scelta di i, j ∈ I

. Questo mostra che H

(D

) = R. Indichiamo con k la cardinalit` a di I

. Se q > 0 e a ∈ D

poniamo

b

= 1 k

X

i∈Iσ

a

. Se δa = 0

(δb)

= 1 k

X

i∈Iσ

X

j

(−1)

a

0,..., bij,...,iq

= 1 k

X

i∈Iσ

a

= a

.

In altre parole, a = δb. 

Combinando i lemmi 1 e 2 si ottiene immediatamente il seguente risultato.

Corollario 1. Se L

e K

denotano i complessi totali associati, rispettivamente, a L

e K

, le inclusioni

A

(X) ,→ L

←- C

(U , R) ,→ K

←- C

(X, R) inducono isomorfismi in coomologia. In particolare,

H

(X) ' H

(U , R) ' H

(X, R).

Notiamo che questo risultato risulta valido, senza modifiche alla dimostrazione, sia che

si usino catene continue, sia che si usino catene lisce per calcolare la coomologia singolare

di X. Ne segue in particolare che la coomologia singolare di una variet` a differenziabile

si pu` o indifferentemente calcolare usando uno qualsiasi di questi due tipi di catene.

Il teorema di de Rham d` a forma esplicita all’isomorfismo tra gruppi di coomologia di de Rham e singolari la cui esistenza ` e stata appena dimostrata. Consideriamo l’applicazione P : A

(X) → C

(X, R) definita da

P (ϕ)(c) = Z

c

ϕ,

dove ϕ ` e una p-forma e c una p-catena singolare. Questa applicazione ` e chiaramente lineare. Inoltre

P (dα)(c) = Z

c

dα = Z

∂c

α = P (α)(∂c) = ∂

(P (α))(c)

per il teorema di Stokes. Dunque P d = ∂

P , cio` e P ` e un omomorfismo di complessi. Ne segue che P induce omomorfismi

P

: H

(X) → H

(X, R) per ogni q.

Teorema 1 (Teorema di de Rham). L’omomorfismo P

` e un isomorfismo per ogni q ≥ 0 e coincide con l’isomorfismo dato dal corollario 1.

L’omomorfismo P ha un analogo a livello dei complessi doppi L

e K

, dato dalla collezione degli omomorfismi P : A

(U

) → C

(U

, R) per ogni p ≥ 0 e ogni multiindice (i

, . . . , i

). Indicheremo questo omomorfismo L

→ K

con la stessa lettera P . Il teorema di de Rham segue immediatamente dal corollario 1 e dal seguente lemma.

Lemma 4. Il diagramma A

P

 //

L

P



C

(U , R)

ff α

xx β

C

(X, R)

C

(X, R)

K

`

e commutativo.

Dimostrazione. La commutativit` a del rettangolo di sinistra ` e ovvia. Dimostriamo la commutativit` a del triangolo di destra. Partiamo da un elemento a di C

(U , R), cio`e da una collezione di costanti reali {a

}, dove (i

, . . . , i

) varia tra tutti i multiindici di lunghezza q + 1. P (α(a)) ` e una collezione di 0-cocatene singolari sugli aperti {U

}.

Il valore su uno 0-simplesso singolare in {U

}, cio` e su un punto x di {U

}, della corrispondente cocatena ` e

Z

x

a

= a

.

Per contro β associa ad a

la 0-cocatena singolare su {U

} il cui valore su

qualsiasi 0-simplesso ` e a

.